ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Anno Accademico 2026-2027

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

14.09.26, 2 ore, aula N3, 2
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi.

17.09.26, 2 ore, aula N9, 4
Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, definizione di diametro, esempi. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e positivamente omogenea, con dimostrazione. Esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata.

21.09.26, 2 ore, aula N3, 6
Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

24.09.26, 2 ore, aula N2, 8
Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, sempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza imostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. I connessi in R, senza dimostrazione. I connessi in Rⁿ, senza imostrazione. Insiemi compatti: definizone, esempi. Se un nsieme è compatto allora è chiuso, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione. Se un insieme è compatto allora è limitato, con dimostrazione. Il viceversa valein Rⁿ, senza dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

05.10.26, 2 ore, aula N3, 10
Un esempio di calcolo di limite. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame conituià, limiti e punti isolati, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostrazione in dettaglio. Definizione di funzione Lipschitz: significato, il caso di Analisi 1, Esmpi. Definizione di contrazione. Introduzione al teorema delle contrazioni.

08.10.26, 2 ore, aula N2, 12
Il Teorema delle Contrazioni: dimostrazione in dettaglio. Necessità delle ipotesi, esempi. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza continua da un parametro: motivazione, enunciato, dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio.

15.10.26, 2 ore, aula N2, 14
Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale. Definizioni di derivate parziali e direzionali: il caso generale, esempi. Definizione di derivabilità. Una funzione derivabile non continua. Definizione di differenziabilità: motivazione, esempi, giustificazione, il caso generale e il caso n=2, m=1, osservazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione.

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18.09.26, 2 ore, aula N1, 2
Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari sugli spazi metrici.

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