Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 14.09.26, 2 ore, aula N3, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi.

• 17.09.26, 2 ore, aula N9, 4
  Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, definizione di diametro, esempi. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e positivamente omogenea, con dimostrazione. Esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata.

• 21.09.26, 2 ore, aula N3, 6
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

• 24.09.26, 2 ore, aula N2, 8
  Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, sempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza imostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. I connessi in R, senza dimostrazione. I connessi in Rⁿ, senza imostrazione. Insiemi compatti: definizone, esempi. Se un nsieme è compatto allora è chiuso, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione. Se un insieme è compatto allora è limitato, con dimostrazione. Il viceversa valein Rⁿ, senza dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 05.10.26, 2 ore, aula N3, 10
  Un esempio di calcolo di limite. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame conituià, limiti e punti isolati, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostrazione in dettaglio. Definizione di funzione Lipschitz: significato, il caso di Analisi 1, Esmpi. Definizione di contrazione. Introduzione al teorema delle contrazioni.

• 08.10.26, 2 ore, aula N2, 12
  Il Teorema delle Contrazioni: dimostrazione in dettaglio. Necessità delle ipotesi, esempi. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza continua da un parametro: motivazione, enunciato, dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio.

• 15.10.26, 2 ore, aula N2, 14
  Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale. Definizioni di derivate parziali e direzionali: il caso generale, esempi. Definizione di derivabilità. Una funzione derivabile non continua. Definizione di differenziabilità: motivazione, esempi, giustificazione, il caso generale e il caso n=2, m=1, osservazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione.

• 19.10.26, 2 ore, aula N3, 16
  Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, con dimostrazione, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Cenno alla derivata del prodotto scalare. Una funzione lineare è continua, Lipschitziana e differenziabile, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Un segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Il teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione della disuguaglianza di base.

• 22.10.26, 2 ore, aula N2, 18
  Una funzione con derivata nulla è costante su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Derivate di ordine successivo al primo: notazione, problemi, casi più rilevanti. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato, esempi, senza dimostrazione. Il Teorema della Funzione Implicita: motivazioni, esempi, definizione di funzione definita implicitamente. Il caso lineare, enunciato e dimostrazione.

• 26.10.26, 2 ore, aula N3, 20
  Il Teorema della Funzione Implicita: motivazioni, enunciato, il metodo di Newton, dimostrazione dell'esistenza in dettaglio, dimostrazione dell'unicità in dettaglio. Derivata della funzione implicita: una dimostrazione sbagliata. Il caso n=m=1, scambio tra x e y. Sviluppo di Taylor della soluzione dell'equazione di Keplero. Cenno alla determinazione del numero di gradi di libertà di un sistema, esempi, definizione di funzione definita implicitamente, nesso con il numero di gradi di libertà, il caso lineare,

• 29.10.26, 2 ore, aula N2, 22
  Cenni sulle forme quadratiche: definizioni, prime proprietà elementari (con dimostrazioni). Cenni sulle forme quadratiche: definizioni, proprietà elementari (con dimostrazioni), diagonalizzazione (senza dimostrazione). Introduzione ai problemi di ottimizzazione. Definizioni di massimo/minimo locale/assoluto. Teorema di Fermat, varie forme, con dimostrazione. Condizione necessaria al secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo, con dimostrazione. Introduzione alla teoria dell'integrazione.

• 02.11.26, 2 ore, aula N3, 24
  Integrali doppi: metodo di calcolo; formula per il cambiamento di coordinate; il volume della sfera. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie in forma normale di ordine 1: significato dei termini, motivazioni, esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione. La crescita della popolazione umana sulla terra. Risoluzione di equazioni ordinarie con il metodo di separazione delle variabili.

• 05.11.26, 2 ore, aula N2, 26
  Un problema di Cauchy senza soluzione. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni, in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi. Enunciato del Teorema di Cauchy, in dettaglio. Soluzione di equazioni lineari al primo ordine con coefficienti variabili, formula risolutiva. Il modello del ¹⁴C.

• 09.11.26, 2 ore, aula N3, 28
  

• 12.10.26, 2 ore, aula N2, 30
  

• 16.11.26, 2 ore, aula N2, 32
  

• 19.10.26, 2 ore, aula N2, 34
  

• 23.11.26, 2 ore, aula N3, 36
  

• 26.10.26, 2 ore, aula N2, 38
  

• 30.11.26, 2 ore, aula N3, 40
  

• 03.12.26, 2 ore, aula N2, 42
  

• 07.11.26, 2 ore, aula N3, 44
  

• 10.12.26, 2 ore, aula N2, 46
  

• 14.11.26, 2 ore, aula N3, 48
  

• 17.12.26, 2 ore, aula N2, 50
  

• 21.11.26, 2 ore, aula N3, 52
  

Esercitazioni

• 16.09.26, 2 ore, aula N2, 2
  Esercizi sugli spazi metrici. Esempi di applicazioni che sono metriche ed esempi di applicazioni che non lo sono. Esempi di metriche anche in dimensione infinita.

• 23.09.26, 2 ore, aula N2, 4
  Esercizi sugli spazi metrici. Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti, anche in dimensione infinita. Intorno sferico: natura geometrica di un intorno sferico in R^2 rispetto a varie metriche. Esercizi sugli insiemi aperti e chiusi, sulla parte interna di un insieme, sulla chiusura di un insieme e sulla frontiera di un insieme.

• 28.09.26, 2 ore, aula N3, 6
  Diametro di un insieme, esempi di insieme limitati e illimitati. Risoluzione di esercizi sugli spazi metrici tratti dai temi d'esame. Esercizi sugli spazi metrici completi e non completi, compatti e non compatti. Esercizi vari tratti dai temi d'esame.

• 30.09.26, 2 ore, aula N2, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Esempi di limiti che non esistono, calcolo di limiti con l'utilizzo delle coordinate polari. Continuità di una funzione in un punto del dominio.

• 07.10.26, 2 ore, aula N2, 10
  Calcolo di limiti. Calcolo di derivate parziali. Esempio di una funzione non continua in un punto interno del dominio, ma ivi derivabile. Esercizi vari tratti dai temi d'esame.

• 14.10.26, 2 ore, aula N2, 12
  Esercizi sulla derivabilità (parziale e direzionale) e sulla continuità per funzioni di due variabili. Esercizi vari tratti dai temi d'esame.

• 21.10.26, 2 ore, aula N2, 14
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di due variabili. Esercizi vari tratti dai temi d'esame.

• .26, 2 ore, aula N2, 2
  

• .26, 2 ore, aula N2, 2
  

• .26, 2 ore, aula N2, 2
  

• .26, 2 ore, aula N2, 2