ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica, Ingegneria delle Telecomunicazioni, Ingegneria Fisica e Matematica
Anno Accademico 2026-2027
Analisi Matematica - Programma Dettagliato:
Lezioni
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14.09.26, 2 ore, aula MtA, 2
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi
metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di
insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra
(il)limitato e (in)finito, per esercizio.
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15.09.26, 2 ore, aula N4, 4
Definizione di distanze equivalenti, motivazione,
esempi. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni
di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione,
isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura;
definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme
contiene la sua parte interna ed è contenuto nella
chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato,
esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico
con una distanza invariante per traslazioni e positivamente
omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di
successione.
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17.09.26, 2 ore, sala Consiliare, 6
Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio
metrico, con dimostrazione. Un punto di un insieme o è
di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con
dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione
di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di
successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica,
esempi. Una definizione equivalente. Unicità del
limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di
accumulazione attraverso successioni, con
dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso
successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy:
motivazione, significato, definizione, esempi. Se una
successione converge allora è di Cauchy, con
dimostrazione. Esempi.
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21.09.26, 2 ore, aula MtA, 8
Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza
dimostrazioni). Se una successione è di Cauchy, allora
è limitata, con dimostrazione. Se una successione
è convergente, allora è limitata, con
dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi:
definizione. I connessi in R, senza
dimostrazione. Gli aperti connessi
in Rn
, senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone,
esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso
e limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale
in Rn, senza
dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della
definizione. Introduzione al calcolo dei limiti.
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22.09.26, 2 ore, aula N4, 10
Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze
tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di
limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate
polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni
reali di due variabili. Unicità del limite per
funzioni, con dimostrazione. Legame limiti di funzione - limit
di successioni, con dimostrazione in ettaglio. Definizione di
continuità: costruzione della definizione, una
definizione che "non funziona". Legame
continuià, limiti e punti isolati, con
dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione.
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24.09.26, 2 ore, aula N8, 12
La composizione di funzioni continue è continua,
costruzione dell'enunciato e dimostraizone in
dettaglio. L'immagine di un compatto attraverso una funzione
continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ),
con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori
reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione
continua è un connesso, senza dimostrazione,
significato geometrico. Definizione di funzione
Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi
1. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Una
funzione Lipschitz è continua, con
dimostrazione. Definizione di contrazione: esempi, differenze
rispetto alla Lipschitzianità. Il Teorema delle
Contrazioni, in dettaglio.
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05.10.26, 2 ore, aula MtA, 14
Il Teorema delle Contrazioni: necessità delle
ipotesi. Il Teorema delle Contrazioni con parametro, il caso
continuo, con dimostraizone in dettaglio. Limite della somma e
somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della
somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del
prodotto scalare per funzione, con dimostrazione per
esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti,
esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni
lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di
matrici e sua motivazione.
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06.10.26, 2 ore, aula N4, 16
Norma di una matrice: varie definizioni
equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma
per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme,
senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale.
Definizioni di derivate parziali e direzionali: il caso
generale, esempi. Definizione di derivabilità. Una
funzione derivabile non continua. Definizione di
differenziabilità: motivazione, esempi,
giustificazione, il caso generale e il
caso m=2, n=1, osservazioni. Unicità
della derivata totale, con dimostrazione.
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08.10.26, 2 ore, aula N8, 18
La differenziabilità implica la continuità, con
dimostrazione. Derivata della somma, con
dimostrazione. Derivata del prodotto scalare per funzione, con
dimostrazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare
attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione.
Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato,
dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del
prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di
matrici, senza dimostrazione. Il teorema del differenziale
totale: motivazione. Il teorema del differenziale totale:
motivazione, dimostrazione nel
caso n=2, m=1, enunciato nel caso generale.
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13.10.26, 2 ore, aula N4, 20
In dimensione finita, una funzione lineare è continua,
Lipschitziana, differenziabile; calcolo della sua derivata
totale. Definizione di segmento, di insieme convesso;
esempi. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2:
esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione,
dimostrazione. Una funzione con derivata nulla ma non
costante: esempio in dettaglio. Una funzione con derivata
totale nulla è costante su un segmento, su un aperto
convesso, su un aperto connesso, con definizioni e
dimostrazioni. Il Lemma di Schwarz: motivazione, passaggio al
caso n=2, m=1, enunciato.
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15.10.26, 2 ore, aula N8, 22
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19.10.26, 2 ore, aula MtA, 24
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20.10.26, 2 ore, aula N4, 26
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22.10.26, 2 ore, aula N8, 28
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26.10.26, 2 ore, aula MtA, 30
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28.10.26, 2 ore, aula N4, 32
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30.10.26, 2 ore, aula N8, 34
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02.11.26, 2 ore, aula MtA, 36
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03.11.26, 2 ore, aula N4, 38
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05.11.26, 2 ore, aula N8, 40
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09.11.26, 2 ore, aula MtA, 42
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10.11.26, 2 ore, aula N4, 44
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12.11.26, 2 ore, aula N8, 46
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16.11.26, 2 ore, aula MtA, 48
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17.11.26, 2 ore, aula N4, 50
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19.11.26, 2 ore, aula N8, 52
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23.11.26, 2 ore, aula MtA, 54
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24.11.26, 2 ore, aula N4, 56
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26.11.26, 2 ore, aula N8, 58
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30.11.26, 2 ore, aula MtA, 60
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29.11.26, 2 ore, aula N4, 62
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01.12.26, 2 ore, aula N8, 64
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03.12.26, 2 ore, aula N2, 66
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07.12.26, 2 ore, aula MtA, 68
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08.12.26, 2 ore, aula N4, 70
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10.12.26, 2 ore, aula N8, 72
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14.12.26, 2 ore, aula MtA, 74
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15.12.26, 2 ore, aula N4, 76
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17.12.26, 2 ore, aula N8, 78
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21.12.26, 2 ore, aula MtA, 80
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22.12.26, 2 ore, aula N4, 82
Esercitazioni
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14.09.26, 2 ore, aula N2, 2
Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che
non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari
sugli spazi metrici.
