ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica, Ingegneria delle Telecomunicazioni, Ingegneria Fisica e Matematica
Anno Accademico 2026-2027
Analisi Matematica - Programma Dettagliato:
Lezioni
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14.09.26, 2 ore, aula MtA, 2
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi
metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di
insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra
(il)limitato e (in)finito, per esercizio.
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15.09.26, 2 ore, aula N4, 4
Definizione di distanze equivalenti, motivazione,
esempi. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni
di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione,
isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura;
definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme
contiene la sua parte interna ed è contenuto nella
chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato,
esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico
con una distanza invariante per traslazioni e positivamente
omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di
successione.
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17.09.26, 2 ore, sala Consiliare, 6
Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio
metrico, con dimostrazione. Un punto di un insieme o è
di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con
dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione
di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di
successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica,
esempi. Una definizione equivalente. Unicità del
limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di
accumulazione attraverso successioni, con
dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso
successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy:
motivazione, significato, definizione, esempi. Se una
successione converge allora è di Cauchy, con
dimostrazione. Esempi.
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21.09.26, 2 ore, aula MtA, 8
Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza
dimostrazioni). Se una successione è di Cauchy, allora
è limitata, con dimostrazione. Se una successione
è convergente, allora è limitata, con
dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi:
definizione. I connessi in R, senza
dimostrazione. Gli aperti connessi
in Rn
, senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone,
esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso
e limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale
in Rn, senza
dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della
definizione. Introduzione al calcolo dei limiti.
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22.09.26, 2 ore, aula N4, 10
Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze
tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di
limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate
polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni
reali di due variabili. Unicità del limite per
funzioni, con dimostrazione. Legame limiti di funzione - limit
di successioni, con dimostrazione in ettaglio. Definizione di
continuità: costruzione della definizione, una
definizione che "non funziona". Legame
continuià, limiti e punti isolati, con
dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione.
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24.09.26, 2 ore, aula N8, 12
La composizione di funzioni continue è continua,
costruzione dell'enunciato e dimostraizone in
dettaglio. L'immagine di un compatto attraverso una funzione
continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ),
con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori
reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione
continua è un connesso, senza dimostrazione,
significato geometrico. Definizione di funzione
Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi
1. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Una
funzione Lipschitz è continua, con
dimostrazione. Definizione di contrazione: esempi, differenze
rispetto alla Lipschitzianità. Il Teorema delle
Contrazioni, in dettaglio.
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05.10.26, 2 ore, aula MtA, 14
Il Teorema delle Contrazioni: necessità delle
ipotesi. Il Teorema delle Contrazioni con parametro, il caso
continuo, con dimostraizone in dettaglio. Limite della somma e
somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della
somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del
prodotto scalare per funzione, con dimostrazione per
esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti,
esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni
lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di
matrici e sua motivazione.
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06.10.26, 2 ore, aula N4, 16
Norma di una matrice: varie definizioni
equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma
per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme,
senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale.
Definizioni di derivate parziali e direzionali: il caso
generale, esempi. Definizione di derivabilità. Una
funzione derivabile non continua. Definizione di
differenziabilità: motivazione, esempi,
giustificazione, il caso generale e il
caso m=2, n=1, osservazioni. Unicità
della derivata totale, con dimostrazione.
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08.10.26, 2 ore, aula N8, 18
La differenziabilità implica la continuità, con
dimostrazione. Derivata della somma, con
dimostrazione. Derivata del prodotto scalare per funzione, con
dimostrazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare
attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione.
Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato,
dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del
prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di
matrici, senza dimostrazione. Il teorema del differenziale
totale: motivazione. Il teorema del differenziale totale:
motivazione, dimostrazione nel
caso n=2, m=1, enunciato nel caso generale.
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13.10.26, 2 ore, aula N4, 20
In dimensione finita, una funzione lineare è continua,
Lipschitziana, differenziabile; calcolo della sua derivata
totale. Definizione di segmento, di insieme convesso;
esempi. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2:
esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione,
dimostrazione. Una funzione con derivata nulla ma non
costante: esempio in dettaglio. Una funzione con derivata
totale nulla è costante su un segmento, su un aperto
convesso, su un aperto connesso, con definizioni e
dimostrazioni. Il Lemma di Schwarz: motivazione, passaggio al
caso n=2, m=1, enunciato.
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15.10.26, 2 ore, aula N8, 22
Il Lemma di Schwarz: enunciato e dimostrazione in dettaglio,
esempi. Il Lemma di Schwarz: il caso generale. La matrice
Hessiana: definizione, notazione, simmetria. Sviluppo di
Taylor al secondo ordine: formula, significato, esempi.
Introduzione al Teorema della Funzione Implicita: significato,
esempi. Equazione di Keplero.
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19.10.26, 2 ore, aula MtA, 24
Il Teorema della Funzione Implicita nel caso
lineare. dimostrazione in dettaglio. Enunciato del Teorema
della Funzione Implicita. Dimostrazione in dettaglio
dell'esistenza. Teorema della Funzione
Implicita. Dimostrazione in dettaglio
dell'unicità. Regola di derivazone per la funzione
implicita: una dimostrazione sbagliata ma utile. Il
caso n=1, m=1: deduzione delle formule per
le derivate. Il problema del numero di gradi di
libertà, cenno.
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20.10.26, 2 ore, aula N4, 26
Osservazioni sul teorema della funzione implicita. Esempi di
calcolo dello sviluppo di Taylor al secondo ordine di una
funzione implicita (equazione di Keplero). Scambio
tra x e y. Introduzione ai problemi di
massimizzazione/minimizzazione, il ruolo
di R. Definizioni di massimo/minimo
assoluto/relativo. Significato di condizioni
necessarie/sufficienti al primo/secondo ordine. Il Teorema di
Fermat, con dimostrazione. Richiami sulla forme quadratiche:
definizione, proprietà elementari (con dimostraizoni),
forme (semi)definite positive/negative, esempi.
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22.10.26, 2 ore, aula N8, 28
Diagonalizzazione di una forma quadratica: esempi e metodo.
Condizione necessaria al secondo ordine, con
dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine, con
dimostrazione. Significato geometrico del gradiente
in Rn. Il gradiente
è perpendicolare alle curve di livello
in R2, con dimostrazione.
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26.10.26, 2 ore, aula MtA, 30
Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, con
dimostrazione. Integrali doppi: metodo di calcolo; formula per
il cambiamento di coordinate; il volume della
sfera. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie:
significato dei termini, motivazioni, esempi.
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27.10.26, 2 ore, aula N4, 32
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie in forma
normale di ordine 1: significato dei termini, motivazioni,
esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione. La
crescita della popolazione umana sulla terra. Un problema di
Cauchy senza soluzione. Risoluzione di equazioni ordinarie con
il metodo di separazione delle variabili. Un problema di
Cauchy con infinite soluzioni, in dettaglio. Definizione di
funzione localmente Lipschitz.
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30.10.26, 2 ore, aula N8, 34
Funzioni localmente Lipschitz: esempi, legame con le
funzioni C1, con
dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy, in
dettaglio. Il modello del 14C. Risoluzione di
equazioni differenziali ordinarie al primo ordine a
coefficienti variabili, in dettaglio.
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02.11.26, 2 ore, aula MtA, 36
Il teorema di Cauchy: dimostrazione dell'esistenza della
soluzione e dell'uncità in piccolo, in dettaglio. Il
problema del paracadutista: studio qualitativo in dettaglio.
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03.11.26, 2 ore, aula N4, 38
Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale: unicità, in
dettaglio. Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Un
Problema di Cauchy con esistenza solo locale. Esempi di
dipendnza continua in problemi di Cauchy: solo su intervalli
limitati, per esercizio.
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05.11.26, 2 ore, aula N8, 40
Un problema di Cauchy senza soluzione. Esempi di dipendnza
continua in problemi di Cauchy: solo su intervalli limitati,
svolgimento. Teorema di Cauchy: dipendenza continua, con
dimostrazione. Soluzione di equazioni differenziali ordinarie
del primo ordine, lineari, a coefficienti variabili, non
omogenee. Definizione di sublinearità, esempi. Il Teorema di
Cauchy Globale, con dimostrazione. Cenno alla teoria del
controllo, esempi.
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09.11.26, 2 ore, aula MtA, 42
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10.11.26, 2 ore, aula N4, 44
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12.11.26, 2 ore, aula N8, 46
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16.11.26, 2 ore, aula MtA, 48
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17.11.26, 2 ore, aula N4, 50
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19.11.26, 2 ore, aula N8, 52
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23.11.26, 2 ore, aula MtA, 54
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24.11.26, 2 ore, aula N4, 56
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26.11.26, 2 ore, aula N8, 58
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30.11.26, 2 ore, aula MtA, 60
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29.11.26, 2 ore, aula N4, 62
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01.12.26, 2 ore, aula N8, 64
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03.12.26, 2 ore, aula N2, 66
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07.12.26, 2 ore, aula MtA, 68
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08.12.26, 2 ore, aula N4, 70
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10.12.26, 2 ore, aula N8, 72
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14.12.26, 2 ore, aula MtA, 74
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15.12.26, 2 ore, aula N4, 76
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17.12.26, 2 ore, aula N8, 78
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21.12.26, 2 ore, aula MtA, 80
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22.12.26, 2 ore, aula N4, 82
Esercitazioni
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18.09.26, 2 ore, aula N9, 2
Esercizi sugli spazi metrici. Esempi di applicazioni che sono
metriche ed esempi di applicazioni che non lo sono. Esempi di
metriche anche in dimensione infinita.
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25.09.26, 2 ore, aula N9, 4
Esercizi sugli spazi metrici. Esempi di metriche equivalenti e
non equivalenti, anche in dimensione infinita. Intorno
sferico: natura geometrica di un intorno sferico in R^2
rispetto a varie metriche. Esercizi sugli insiemi aperti e
chiusi, sulla parte interna di un insieme, sulla chiusura di
un insieme e sulla frontiera di un insieme.
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25.09.26, 1 ore, aula N11, 5
Diametro di un insieme, esempi di insieme limitati e
illimitati. Risoluzione di esercizi sugli spazi metrici tratti
dai temi d'esame.
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28.09.26, 2 ore, aula MTA, 7
Esercizi sugli spazi metrici completi e non completi, compatti
e non compatti. Esercizi vari tratti dai temi d'esame.
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02.10.26, 3 ore, aula N9, 10
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Esempi di
limiti che non esistono, calcolo di limiti con l'utilizzo
delle coordinate polari. Continuità di una funzione in un
punto del dominio.
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09.10.26, 2 ore, aula N9, 12
Calcolo di derivate parziali e direzionali . Esempio di una
funzione non continua in un punto interno del dominio, ma ivi
derivabile. Esercizi vari tratti dai temi d'esame.
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16.10.26, 3 ore, aula N9, 15
Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni
di due variabili. Legame tra differenziabilità e continuità,
legame tra differenziabilità e derivabilità. Esercizi vari
tratti dai temi d'esame.
