Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi

Anno Accademico 2026-2027

Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi - Programma Dettagliato:

15.09.26, 2 ore, aula B1.5, 2
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Curve di inseguimento: presentazione, calcoli in un caso particolare.

17.09.26, 3 ore, aula B1.9, 5
Richiami sul Teorema di Cauchy. Proprietà dei sistemi autonomi. Il sistema di Lotka - Volterra: giustificazione, uso del Teorema di Cauchy, soluzioni particolari, positività delle soluzioni, presenza di una costante. Periodo approssimato delle soluzioni vicino al puntostazionario. Un modello SIR: giustificazione, esistenza locale e globale delle soluzioni, positività, comportamento qualitativo delle soluzioni. Modello cellula - virus - virofago: un esempio.

22.09.26, 2 ore, aula B1.1, 7
Definizione di curva, esempi, regola di calcolo diella lunghezza di una curva regolare. Introduzione al calcolo delle variazioni: definizione di funzionale integrale, esempi. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione ed estensioni varie.

24.09.26, 3 ore, aula B1.9, 10
Lemmi preaparatori per l'equazione di Eularo - Lagrange, con dimostrazioni. Equazione di Eularo - Lagrange: dimostrazione in dettaglio. Esempi: l'equazione del pendolo, la geodetica (in dettaglio), la brachistocrona (omettendo i calcoli finali). Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange, con dimostraizone.

06.10.26, 2 ore, aula B1.1, 12
L'equazione di Eulero - Lagrange con vincolo, esempi: il problema isoperimetrico nel piano (in dettaglio), la catenaria (omettendo i calcoli finali). Introduzione alla teoria delle distribuzioni: definizioni di base, esempi, derivazione nel senso delle distribuzioni, proprietà delle derivate distribuzionali.

08.10.26, 3 ore, aula B1.9, 15
Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. L'equazione lineare al primo ordine a coefficienti costanti in una dimensione spaziale: soluzione forte, formulazione distribuzionale dell'equazione, formulazione debole del problema di Cauchy, scrittura della soluzione, conti in dettaglio. Scrittura della soluzione per un'equazione di trasporto con sorgente affine.

13.10.26, 2 ore, aula B1.1, 17
Precisazioni sulla soluzione dell'equazione di trasporto. Deduzione di una legge di conservazione lineare. Differenze tra equazione di trasporto e legge di conservazione lineare, in dettaglio. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: motivazioni, esempi. L'equazione del calore: deduzione dell'equazione per l'evoluzione della temperatura in una sbarra omogenea. Prime proprietà dell'equazione del calore. Vari tipi di prblemi e di condizioni al bordo,

15.10.26, 3 ore, aula B1.9, 20
Equazione del calore: il metodo di separazione delle variabili per il problema di Cauchy su R. Uso delle serie di Fourier, in dettaglio. Instabilità della soluzione all'indietro dell'equazione del calore. Soluzione dell'equazione del calore con la funzione di Heaviside come dato iniziale, in dettaglio. Esempio sulla propagazione a velocità infinita nelle soluzioni dell'equazione del calore.

20.10.26, 2 ore, aula B1.1, 22
L'equazione del calore con una delta per dato iniziale: uso del calcolo dimensionale, formula per la soluzione, nucleo del calore, dato iniziale generale. Cenno al caso di n dimensioni spaziali. Equazioni alle derivate parziali che si riducono all'equazione del calore: esempi per esercizio. Introduzione al principio del massimo per l'equazione del calore su un segmento con estremi variabili, motivazione, enunciato.

22.10.26, 3 ore, aula B1.9, 25
Il principio del massimo per l'equazione del calore su un segmento con estremi variabili, motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio. L'equazione del calore come equazione di diffusione, in dettaglio; cenno al moto Browniano. Il principio di Duhamel: soluzione dell'equazione del calore con sorgente dipendente a t e x.

27.10.26, 2 ore, aula B1.1, 27
La "soluzione" costruita attraverso la convoluzione con il nucleo del calore è una soluzione forte, dimostrazione in dettaglio. Il principio del massimo globale, dimostrazione in dettaglio.

29.10.26, 3 ore, aula B1.9, 30
Metodo FTCS per risolvere numericamente l'equazione del calore. Esempi di integrazioni dell'equazione del calore con diversi dati iniziali e al bordo, anche con sirgente.

03.11.26, 2 ore, aula B1.1, 32
Introduzione all'equazione delle onde: la corda vibrante. La formula di d'Alembert, in dettaglio. Esempi di soluzioni: ruolo del dato iniziale sulla funzione e sulla sua derivata. Simmetrie dell'equazione delle onde.

05.11.26, 3 ore, aula B1.9, 35
Equazione delle onde con sorgente, soluzione completa. Confronti tra i ruoli del dato sulla funzione, sulla derivta e sulla sorgente. Dominio di influenza e di dipendenza: esempi. Velocità di propagazione finita nell'equazione del calore, dimostrazione. Conservazione dell'energia nell'equazione del calore, dimostrazione. Equazione del calore su un segmento con condizioni al bordo di Dirichlet: uso delle serie di Fourier, scrittura della soluzione. Il caso delle condizioni di Neumann: cenno.

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