ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Anno Accademico 2025-2026

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

15.09.25, 2 ore, aula N1, 2
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, definizione di diametro, esempi.

16.09.25, 2 ore, aula N3, 4
Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e positivamente omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra (il)limitato e (in)finito. Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi.

17.09.25, 2 ore, aula N2, 6
Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

23.09.25, 2 ore, aula N3, 8
Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. I connessi in R, senza dimostrazione. I connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone, esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione.

24.09.25, 2 ore, aula N2, 10
Se un insieme è compatto allora è limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

30.09.25, 2 ore, aula N3, 12
Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame conituià, limiti e punti isolati, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostrazione in dettaglio. Definizione di funzione Lipschitz: significato, il caso di Analisi 1, Esmpi.

01.10.25, 2 ore, aula N2, 14
Definizione di contrazione. Introduzione al teorema delle contrazioni. Il Teorema delle Contrazioni: dimostrazione in dettaglio. Limite della somma e somma dei limiti, dimostrazione per esercizio. Continuità della somma di funzioni continue, dimostrazione per esercizio. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi.

06.10.25, 2 ore, aula N1, 16
Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: definizione e principali proprietà, con dimostrazione. Introduzione al calcolo differenziale. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua.

07.10.25, 2 ore, aula N3, 18
Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, con dimostrazione, del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione.

08.10.25, 2 ore, aula N2,
Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Il teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Derivate di ordine successivo al primo: notazione, problemi, casi più rilevanti. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato, esempi, senza dimostrazione.

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22.09.25, 2 ore, aula N4, 2
Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari sugli spazi metrici.

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