Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 15.09.25, 2 ore, aula N1, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, definizione di diametro, esempi.

• 16.09.25, 2 ore, aula N3, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e positivamente omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra (il)limitato e (in)finito. Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi.

• 17.09.25, 2 ore, aula N2, 6
  Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

• 23.09.25, 2 ore, aula N3, 8
  Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. I connessi in R, senza dimostrazione. I connessi in Rⁿ , senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone, esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione.

• 24.09.25, 2 ore, aula N2, 10
  Se un insieme è compatto allora è limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 30.09.25, 2 ore, aula N3, 12
  Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame conituià, limiti e punti isolati, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostrazione in dettaglio. Definizione di funzione Lipschitz: significato, il caso di Analisi 1, Esmpi.

• 01.10.25, 2 ore, aula N2, 14
  Definizione di contrazione. Introduzione al teorema delle contrazioni. Il Teorema delle Contrazioni: dimostrazione in dettaglio. Limite della somma e somma dei limiti, dimostrazione per esercizio. Continuità della somma di funzioni continue, dimostrazione per esercizio. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi.

• 06.10.25, 2 ore, aula N1, 16
  Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: definizione e principali proprietà, con dimostrazione. Introduzione al calcolo differenziale. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua.

• 07.10.25, 2 ore, aula N3, 18
  Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, con dimostrazione, del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione.

• 08.10.25, 2 ore, aula N2, 20
  Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Il teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Derivate di ordine successivo al primo: notazione, problemi, casi più rilevanti. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato, esempi, senza dimostrazione.

• 14.10.25, 2 ore, aula N3, 22
  Il Teorema della Funzione Implicita: motivazioni, esempi, definizione di funzione definita implicitamente, nesso con il numero di gradi di libertà, il caso lineare, enunciato, il metodo di Newton, dimostrazione dell'esistenza in dettaglio.

• 15.10.25, 2 ore, aula N2, 24
  Il Teorema della Funzione Implicita: dimostrazione dell'unicità in dettaglio. Derivata della funzione implicita: una dimostrazione sbagliata. Il caso n=m=1, scamio tra x e y. Cenno alla determinazione del numero di gradi di libertà di un sistema. Introduzione ai problemi di ottimizzazione. Definizioni di massimo/minimo locale/assoluto. Teorema di Fermat, varie forme, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine, richiamo. Cenni sulle forme quadratiche: definizioni, prime proprietà elementari (con dimostrazioni).

• 21.10.25, 2 ore, aula N3, 26
  Cenni sulle forme quadratiche: definizioni, proprietà elementari (con dimostrazioni), diagonalizzazione (senza dimostrazione). Condizione necessaria al secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo, con dimostrazione. Significato geometrico del gradiente in Rⁿ. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello in R², senza dimostrazione. Integrali doppi: metodo di calcolo; formula per il cambiamento di coordinate; il volume della sfera.

• 22.10.25, 2 ore, aula N2, 28
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinari in forma normale di ordine 1: significato dei termini, motivazioni, esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione. La crescita della popolazione umana sulla terra. Un problema di Cauchy senza soluzione.

• 28.10.25, 2 ore, aula N3, 30
  Risoluzione di equazioni ordinarie con il metodo di separazione delle variabili. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni, in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi, legame con le funzioni C¹, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy, in dettaglio. Il modello del ¹⁴C.

• 29.10.25, 2 ore, aula N2, 32
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy locale: esistenza, in dettaglio. Il problema del paracadutista: studio qualitativo.

• 04.11.25, 2 ore, aula N3, 34
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy locale: unicità, in dettaglio. Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Dipendenza continua nel Teorema di Cauchy locale, con dimostrazione. Cenno alla teoria del controllo, esempi.

• 05.11.25, 2 ore, aula N2, 36
  Un problema di Cauchy con esistenza solo locale, in dettaglio. Il Teorema di Cauchy Globale, con dimostrazione. Esercizi. Il modello di Lotka Volterra: formulazione. Il modello SIR, una formulazione elementare.

• 11.11.25, 2 ore, aula N3, 38
  Introduzionea successioni e serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di convergenza puntuale, monotonia e positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Unicità del limite uniforme. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Un esempio di convergenza puntuale non uniforme.

• 12.11.25, 2 ore, aula N2, 40
  Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità, con dimostrazione. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale nel caso continuo, con dimostrazione.

• 18.11.25, 2 ore, aula N3, 42
  Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, senza dimostrazione. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione, il caso delle serie. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Perché le serie di potenze si studiano in C. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione.

• 19.11.25, 2 ore, aula N2, 44
  Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica. Teorema sulle proprietà delle funzioni analitiche, dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa.

• 25.11.25, 2 ore, aula N3, 46
  

• 26.11.25, 2 ore, aula N2, 48
  

• 02.12.25, 2 ore, aula N3, 50
  

• 09.12.25, 2 ore, aula N3, 54
  

• 10.12.25, 2 ore, aula N2, 56
  

• 16.12.25, 2 ore, aula N3, 60
  

• 17.12.25, 2 ore, aula N2, 62
  

Esercitazioni

• 22.09.25, 2 ore, aula N1, 2
  Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari sugli spazi metrici.

• 29.09.25, 2 ore, aula N1, 4
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Natura geometrica della sfera aperta in spazi di dimensione finita e infinita, rispetto a diverse metriche.

• 13.10.25, 2 ore, aula N1, 6
  Insiemi aperti e chiusi. Diametro di un insieme. Successioni convergenti in spazi metrici; spazi metrici completi e non, compatti e non.

• 20.10.25, 2 ore, aula N1, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Esempi di limiti che non esistono. Uso delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 27.10.25, 2 ore, aula N1, 10
  Calcolo di derivate parziali e direzionali. Differenziabilità di una funzione in un punto. Legame tra differenziabilità, derivabilità e continuità.

• 04.11.25, 2 ore, aula N9, 12
  Ricerca dei punti di massimo e minimo liberi (locali e assoluti) per funzioni di più variabili.

• 10.11.25, 2 ore, aula N1, 14
  

• 17.11.25, 2 ore, aula N1, 16
  

• 24.11.25, 2 ore, aula N1, 46
  

• 25.11.25, 2 ore, aula polifunzionale, 18
  

• 03.12.25, 2 ore, aula N2, 20
  

• 15.12.25, 2 ore, aula N1, 22