ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni - Ingegneria Fisica e Matematica
Anno Accademico 2025-2026
Analisi Matematica - Programma Dettagliato:
Lezioni
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16.09.25, 2 ore, aula N8, 2
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi
metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di
insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra
(il)limitato e (in)finito, per esercizio. Definizione di
distanze equivalenti, motivazione, esempi.
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17.09.25, 2 ore, aula B0.5, 4
Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto
interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato;
definizione di parte interna, frontiera e chiusura;
definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme
contiene la sua parte interna ed è contenuto nella
chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato,
esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico
con una distanza invariante per traslazioni e positivamente
omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di
successione, esempi. Definizione di successione
limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in
uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi.
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18.09.25, 2 ore, aula N5, 6
Una definizione di limite equivalente. Unicità del
limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di
accumulazione attraverso successioni, con
dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso
successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy:
motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di
spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una
successione converge allora è di Cauchy, con
dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora
è limitata, con dimostrazione. Se una successione
è convergente, allora è limitata, con
dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi:
definizione.
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23.09.25, 2 ore, aula N8, 8
I connessi
in R, senza dimostrazione. I connessi
in Rn
, senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone,
esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso
e limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale
in Rn, senza
dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della
definizione. Unicità del limite per funzioni, con
dimostrazione. Notazioni in uso per funzioni definite
in R2 ed
in Rn, definizionbe di
grafico e di curva di livello. Commenti alla definizione di
limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie
di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo
dei "cammini" e delle coordinate polari. Esempi di
esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due
variabili.
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25.09.25, 2 ore, aula N5, 10
Esempio di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali
di due variabili. Esercizio sul calcolo dei limiti per
funzioni reali di due variabili. Definizione di
continuità: costruzione della definizione, una
definizione che "non funziona". Legame
continuià, limiti e punti isolati, con
dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue
è continua, costruzione dell'enunciato e dimostraizone
in dettaglio. L'immagine di un compatto attraverso una
funzione continua è un compatto (Teorema di
Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di
funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso
una funzione continua è un connesso, senza
dimostrazione, significato geometrico.
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26.09.25, 2 ore, aula N8, 12
Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il
caso di Analisi 1. Ruolo del valore numerico della costante di
Lipschitz. Una funzione Lipschitz è continua, con
dimostrazione. Definizione di contrazione: esempi, differenze
rispetto alla Lipschitzianità. Il Teorema delle
Contrazioni, in dettaglio. Necessità delle ipotesi.
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30.09.25, 2 ore, aula N8, 14
Limite della somma e somma dei limiti, con
dimostrazione. Continuità della somma di funzioni
continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per
funzione, con dimostrazione per esercizio. Continuità
del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione per
esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti,
esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni
lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di
matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice:
varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle
proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto
e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al
calcolo differenziale.
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01.10.25, 2 ore, aula B0.5, 16
Definizioni di derivate parziali e direzionali: il caso
generale, esempi. Definizione di derivabilità. Una
funzione derivabile non continua. Definizione di
differenziabilità: motivazione, esempi,
giustificazione, il caso generale e il
caso m=2, n=1, osservazioni. Unicità
della derivata totale, con dimostrazione. La
differenziabilità implica la continuità, con
dimostrazione. Derivata della somma, con
dimostrazione. Derivata del prodotto scalare per funzione, con
dimostrazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare
attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione.
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02.10.25, 2 ore, aula N5, 18
Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato,
dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del
prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di
matrici, senza dimostrazione. Il teorema del differenziale
totale: motivazione. Il teorema del differenziale totale:
motivazione, dimostrazione nel
caso n=2, m=1, enunciato nel caso
generale. Definizione di segmento, di insieme convesso;
esempi. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2:
esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione,
dimostrazione. Definizione di segmento: esempi.
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07.10.25, 2 ore, aula N8, 20
Una funzione con derivata nulla ma non costante. Una funzione
con derivata nulla è costante su un segmento, su un
aperto convesso, su un aperto connesso, con definizioni e
dimostrazioni. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e
dimostrazione in dettaglio, esempi. Il Lemma di Schwarz: il
caso generale. La matrice Hessiana: definizione, notazione,
simmetria. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula,
significato, esempi.
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08.10.25, 2 ore, aula B0.5, 22
Introduzione al Teorema della Funzione Implicita: significato,
esempi. Il Teorema della Funzione Implicita nel caso
lineare. dimostrazione in dettaglio. Enunciato del Teorema
della Funzione Implicita. Dimostrazione in dettaglio
dell'esistenza.
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09.10.25, 2 ore, aula N5, 24
Teorema della Funzione Implicita. Dimostrazione in dettaglio
dell'unicità. Regola di derivazone per la funzione
implicita: una dimostrazione sbagliata ma utile. Il
caso n=1, m=1: deduzione delle formule per
le derivate. Esempio di calcolo dello sviluppo di Taylor al
secondo ordine di una funzione implicita (equazione di
Keplero). Il problema del numero di gradi di
libertà. Introduzione ai problemi di
massimizzazione/minimizzazione, il ruolo
di R. Definizioni di massimo/minimo
assoluto/relativo. Significato di condizioni
necessarie/sufficienti al primo/secondo ordine.
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14.10.25, 2 ore, aula N8, 26
Il Teorema di Fermat, con dimostrazione. Richiami sulla forme
quadratiche: definizione, proprietà elementari (con
dimostraizoni), diagonalizzazione, forme (semi)definite
positive/negative, esempi. Condizione necessaria al secondo
ordine, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo
ordine, con dimostrazione. Significato geometrico del
gradiente in Rn.
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15.10.25, 2 ore, aula B0.5
Lezione soppressa.
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16.10.25, 2 ore, aula N5, 28
Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello
in R2, con dimostrazione. Il
teorema dei moltiplicatori di Lagrange, con
dimostrazione. Integrali doppi: metodo di calcolo; formula per
il cambiamento di coordinate; il volume della sfera.
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21.10.25, 2 ore, aula N8, 30
Introduzione alle equazioni differenziali ordinari in forma
normale di ordine 1: significato dei termini, motivazioni,
esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione. La
crescita della popolazione umana sulla terra. Un problema di
Cauchy senza soluzione.
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22.10.25, 2 ore, aula B0.5, 32
Risoluzione di equazioni ordinarie con il metodo di
separazione delle variabili. Un problema di Cauchy con
infinite soluzioni, in dettaglio. Definizione di funzione
localmente Lipschitz, esempi, legame con le
funzioni C1, con
dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy, in
dettaglio. Il modello del 14C.
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23.10.25, 2 ore, aula N5, 34
Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio:
esistenza. Il problema del paracadutista.
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28.10.25, 2 ore, aula N8, 36
Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio:
unicità. Il Lemma di Gronwall, con
dimostrazione. Esempi di dipendnza continua in problemi di
Cauchy: solo su intervalli limitati. Teorema di Cauchy:
dimostrazione della dipendenza continua. Esempi.
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30.10.25, 2 ore, aula N5, 38
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04.11.25, 2 ore, aula N8, 40
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06.11.25, 2 ore, aula N5, 42
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11.11.25, 2 ore, aula N8, 44
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12.11.25, 2 ore, aula B0.5, 46
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13.11.25, 2 ore, aula N5, 48
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18.11.25, 2 ore, aula N8, 50
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19.11.25, 2 ore, aula B0.5, 52
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20.11.25, 2 ore, aula N5, 54
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25.11.25, 2 ore, aula N8, 56
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26.11.25, 2 ore, aula B0.5, 58
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27.11.25, 2 ore, aula N5, 60
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02.12.25, 2 ore, aula N8, 62
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03.12.25, 2 ore, aula B0.5, 64
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04.12.25, 2 ore, aula N5, 66
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09.12.25, 2 ore, aula N8, 68
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10.12.25, 2 ore, aula B0.5, 70
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11.12.25, 2 ore, aula N5, 72
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16.12.25, 2 ore, aula N8, 74
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17.12.25, 2 ore, aula B0.5, 76
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18.12.25, 2 ore, aula N5, 78
Esercitazioni
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19.09.25, 2 ore, aula N8, 2
Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che
non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari
sugli spazi metrici.
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24.09.25, 2 ore, aula B05, 4
Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Natura
geometrica della sfera aperta in spazi di dimensione finita e
infinita, rispetto a diverse metriche.
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03.10.25, 2 ore, aula N8, 6
nsiemi aperti, chiusi, punti isolati e d'accumulazione per un
insieme. Successioni di Cauchy e successioni convergenti in
spazi metrici. Esempi di spazi metrici completi e non
completi, compatti e non compatti.
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10.10.25, 2 ore, aula N8, 8
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche con
l'ausilio delle coordinate polari. Esempi di limiti che non
esistono. Continuità di una funzione di più variabili.
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15.10.25, 2 ore, aula B05, 10
Calcolo di derivate parziali e differenziabilità per funzioni
di più variabili. Legame tra differenziabilità, derivabilità e
continuità. Controesempi vari.
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17.10.25, 2 ore, aula N8, 12
Esercizi vari sulla derivabilità e differenziabilità per
funzioni di più variabili tratti da temi d'esame.
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24.10.25, 2 ore, aula N8, 14
Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni
di più variabili, calcolo di derivate di ordine superiore al primo.
Ricerca dei punti di max/min per funzioni di più variabili.
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29.10.25, 2 ore, aula B0.5, 16
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31.10.25, 2 ore, aula N8, 18
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05.11.25, 2 ore, aula B0.5, 20
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07.11.25, 2 ore, aula N8, 22
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14.11.25, 2 ore, aula N8, 22
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21.11.25, 2 ore, aula N8, 24
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28.11.25, 2 ore, aula N8, 26
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05.12.25, 2 ore, aula N8, 28
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12.12.25, 2 ore, aula N8, 30
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19.12.25, 2 ore, aula N8, 32
