Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni - Ingegneria Fisica e Matematica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 16.09.25, 2 ore, aula N8, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra (il)limitato e (in)finito, per esercizio. Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi.

• 17.09.25, 2 ore, aula B0.5, 4
  Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e positivamente omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi.

• 18.09.25, 2 ore, aula N5, 6
  Una definizione di limite equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: definizione.

• 23.09.25, 2 ore, aula N8, 8
  I connessi in R, senza dimostrazione. I connessi in Rⁿ , senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone, esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso e limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Notazioni in uso per funzioni definite in R² ed in Rⁿ, definizionbe di grafico e di curva di livello. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 25.09.25, 2 ore, aula N5, 10
  Esempio di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Esercizio sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame continuià, limiti e punti isolati, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostraizone in dettaglio. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico.

• 26.09.25, 2 ore, aula N8, 12
  Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Una funzione Lipschitz è continua, con dimostrazione. Definizione di contrazione: esempi, differenze rispetto alla Lipschitzianità. Il Teorema delle Contrazioni, in dettaglio. Necessità delle ipotesi.

• 30.09.25, 2 ore, aula N8, 14
  Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale.

• 01.10.25, 2 ore, aula B0.5, 16
  Definizioni di derivate parziali e direzionali: il caso generale, esempi. Definizione di derivabilità. Una funzione derivabile non continua. Definizione di differenziabilità: motivazione, esempi, giustificazione, il caso generale e il caso m=2, n=1, osservazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. La differenziabilità implica la continuità, con dimostrazione. Derivata della somma, con dimostrazione. Derivata del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione.

• 02.10.25, 2 ore, aula N5, 18
  Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, enunciato nel caso generale. Definizione di segmento, di insieme convesso; esempi. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento: esempi.

• 07.10.25, 2 ore, aula N8, 20
  Una funzione con derivata nulla ma non costante. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con definizioni e dimostrazioni. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio, esempi. Il Lemma di Schwarz: il caso generale. La matrice Hessiana: definizione, notazione, simmetria. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, significato, esempi.

• 08.10.25, 2 ore, aula B0.5, 22
  Introduzione al Teorema della Funzione Implicita: significato, esempi. Il Teorema della Funzione Implicita nel caso lineare. dimostrazione in dettaglio. Enunciato del Teorema della Funzione Implicita. Dimostrazione in dettaglio dell'esistenza.

• 09.10.25, 2 ore, aula N5, 24
  Teorema della Funzione Implicita. Dimostrazione in dettaglio dell'unicità. Regola di derivazone per la funzione implicita: una dimostrazione sbagliata ma utile. Il caso n=1, m=1: deduzione delle formule per le derivate. Esempio di calcolo dello sviluppo di Taylor al secondo ordine di una funzione implicita (equazione di Keplero). Il problema del numero di gradi di libertà. Introduzione ai problemi di massimizzazione/minimizzazione, il ruolo di R. Definizioni di massimo/minimo assoluto/relativo. Significato di condizioni necessarie/sufficienti al primo/secondo ordine.

• 14.10.25, 2 ore, aula N8, 26
  Il Teorema di Fermat, con dimostrazione. Richiami sulla forme quadratiche: definizione, proprietà elementari (con dimostraizoni), diagonalizzazione, forme (semi)definite positive/negative, esempi. Condizione necessaria al secondo ordine, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine, con dimostrazione. Significato geometrico del gradiente in Rⁿ.

• 15.10.25, 2 ore, aula B0.5
  Lezione soppressa.

• 16.10.25, 2 ore, aula N5, 28
  Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello in R², con dimostrazione. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, con dimostrazione. Integrali doppi: metodo di calcolo; formula per il cambiamento di coordinate; il volume della sfera.

• 21.10.25, 2 ore, aula N8, 30
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinari in forma normale di ordine 1: significato dei termini, motivazioni, esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione. La crescita della popolazione umana sulla terra. Un problema di Cauchy senza soluzione.

• 22.10.25, 2 ore, aula B0.5, 32
  Risoluzione di equazioni ordinarie con il metodo di separazione delle variabili. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni, in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi, legame con le funzioni C¹, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy, in dettaglio. Il modello del ¹⁴C.

• 23.10.25, 2 ore, aula N5, 34
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio: esistenza. Il problema del paracadutista.

• 28.10.25, 2 ore, aula N8, 36
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio: unicità. Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Esempi di dipendnza continua in problemi di Cauchy: solo su intervalli limitati. Teorema di Cauchy: dimostrazione della dipendenza continua. Esempi.

• 30.10.25, 2 ore, aula N5, 38
  Soluzione di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, lineari, a coefficienti variabili, non omogenee. Un problema di Cauchy con esistenza solo locale, in dettaglio. Il Teorema di Cauchy Globale, con dimostrazione. Cenno alla teoria del controllo, esempi. Esercizi.

• 04.11.25, 2 ore, aula N8, 40
  Definizione di sistema autonomo e invarianza per traslazione temporale delle soluzioni. Il teorema dell'energia cinetica.Cenno al sistema di Lotka-Volterra e al modello SIR. Introduzione a successioni e serie di funzioni: notazione, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: esempi. Una metaproposizione. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazioni equivalenti.

• 06.11.25, 2 ore, aula N5, 42
  La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazioni equivalenti. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy.

• 11.11.25, 2 ore, aula N8, 44
  Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione.

• 13.11.25, 2 ore, aula N5, 46
  Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di potenze si studiano in C. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio.

• 18.11.25, 2 ore, aula N8, 48
  Proprietà delle funzioni analitiche: ripetizione della dimostrazione, in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Criterio di Wierstrass, senza dimostrazione. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, con dimostrazione. Come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione.

• 19.11.25, 2 ore, aula B0.5
  Lezione persa a causa dell'inaugurazione dell'anno accademico.

• 20.11.25, 2 ore, aula N5, 50
  Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Osservazioni su sviluppi di Taylor e di Fourier. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier, in dettaglio. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Il polinomio di Fourier di una funzione fornisce la migliore approssimazione di quella funzione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione in dettaglio.

• 25.11.25, 2 ore, aula N8, 52
  

• 26.11.25, 2 ore, aula B0.5, 54
  

• 27.11.25, 2 ore, aula N5, 56
  

• 02.12.25, 2 ore, aula N8, 58
  

• 04.12.25, 2 ore, aula N5, 60
  

• 09.12.25, 2 ore, aula N8, 62
  

• 11.12.25, 2 ore, aula N5, 64
  

• 16.12.25, 2 ore, aula N8, 66
  

• 18.12.25, 2 ore, aula N5, 68
  

Esercitazioni

• 19.09.25, 2 ore, aula N8, 2
  Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari sugli spazi metrici.

• 24.09.25, 2 ore, aula B05, 4
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Natura geometrica della sfera aperta in spazi di dimensione finita e infinita, rispetto a diverse metriche.

• 03.10.25, 2 ore, aula N8, 6
  nsiemi aperti, chiusi, punti isolati e d'accumulazione per un insieme. Successioni di Cauchy e successioni convergenti in spazi metrici. Esempi di spazi metrici completi e non completi, compatti e non compatti.

• 10.10.25, 2 ore, aula N8, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche con l'ausilio delle coordinate polari. Esempi di limiti che non esistono. Continuità di una funzione di più variabili.

• 15.10.25, 2 ore, aula B05, 10
  Calcolo di derivate parziali e differenziabilità per funzioni di più variabili. Legame tra differenziabilità, derivabilità e continuità. Controesempi vari.

• 17.10.25, 2 ore, aula N8, 12
  Esercizi vari sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili tratti da temi d'esame.

• 24.10.25, 2 ore, aula N8, 14
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili, calcolo di derivate di ordine superiore al primo. Ricerca dei punti di max/min per funzioni di più variabili.

• 29.10.25, 2 ore, aula B0.5, 16
  Ricerca dei punti di massimo e minimo liberi (locali e assoluti) per funzioni di più variabili.

• 31.10.25, 2 ore, aula N8, 18
  Ricerca dei punti di massimo e di minimo liberi (locali e assoluti) e dei punti di sella per funzioni di più variabili.

• 05.11.25, 2 ore, aula B0.5, 20
  Calcolo di integrali doppi, applicando i teoremi di riduzione.

• 07.11.25, 2 ore, aula N8, 22
  Calcolo di integrali doppi, mediante opportune sostituzioni (coordinate polari, cambiamento lineare).

• 12.11.25, 2 ore, aula B0.5, 24
  

• 14.11.25, 2 ore, aula N8, 26
  

• 21.11.25, 2 ore, aula N8, 28
  

• 28.11.25, 2 ore, aula N8, 30
  

• 03.12.25, 2 ore, aula B0.5, 32
  

• 05.12.25, 2 ore, aula N8, 28
  

• 10.12.25, 2 ore, aula B0.5, 34
  

• 12.12.25, 2 ore, aula N8, 36
  

• 17.12.25, 2 ore, aula B0.5, 38