Rinaldo M. Colombo

Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi

Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 15.09.25, 2 ore, aula B2.9, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Curve di inseguimento: presentazione, calcoli in un caso particolare.

• 18.09.25, 3 ore, aula B1.8, 5
  Ripasso di analisi 2. Proprietà dei sistemi autonomi. Il sistema di Lotka - Volterra: giustificazione, uso del Teorema di Cauchy, soluzioni particolari, positività delle soluzioni, presenza di una costante. Un modello SIR: giustificazione, esistenza locale e globale delle soluzioni, positività, comportamento qualitativo delle soluzioni. Modello cellula - virus - virofago: un esempio.

• 22.09.25, 2 ore, aula B2.9, 7
  Precisazione sulle conseguenze dell'esistenza di una costante del moto in una equazione differenziale ordinaria. Definizione di curva, esempi, regola di calcolo diella lunghezza di una curva regolare. Introduzione al calcolo delle variazioni: definizione di funzionale integrale, esempi. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione, estensioni varie. Altri lemmi repaparatori per l'equazione di Eularo - Lagrange, con dimostrazioni.

• 25.09.25, 2 ore, aula B1.8, 9
  Equazione di Eularo - Lagrange: dimostrazione in dettaglio. Esempi: l'equazione del pendolo, la geodetica, la brachistocrona.

• 29.09.25, 3 ore, aula B2.9, 12
  Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange, con dimostraizone. L'equazione di Eulero - Lagrange con vincolo, con dimostrazione. Esempi: il problema isoperimetrico nel piano, la catenaria. Un articolo di Kolmogorov sulle equazioni di Volterra. Primi cenni alla teoria delle distribuzioni.

• 02.10.25, 2 ore, aula B1.7, 14
  Precisazioni su un articolo di Kolmogorov sulle equazioni di Volterra. Introduzione alla teoria delle distribuzioni: definizioni di base, esempi, derivazione nel senso delle distribuzioni, proprietà delle derivate distribuzionali. Un primo esempio di equazione alle derivate parziali: lineare al primo ordine a coefficienti costanti.

• 06.10.25, 3 ore, aula B2.9, 17
  Richiami sulle distribuizionim, prodotto di una funzione smooth per una distribuzione. Derivazione di una funzione definita attraverso un integrale, senza dimostrazione. Derivate della soluzione di un'equazione ordinaria rispetto al dato ed all'istante iniziali, deduzione della formula. Soluzione generale di una equazione alle derivate parziali lineare con sorgente affine: calcolo in dettaglio. Esempi.

• 09.10.25, 2 ore, aula B1.7, 19
  Esempio in dettaglio di calcolo di una soluzione di una legge di conservazione lineare, anche nel caso di una funzione non derivabile: uso della definizione di soluzione debole. Principali tipi di equazioni alle derivate parziali. Introduzione all'equazione del calore: motivazione, scrittura, prime proprietà, diversi tipi di condizioni al bordo.