Rinaldo M. Colombo

Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi

Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 15.09.25, 2 ore, aula B2.9, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Curve di inseguimento: presentazione, calcoli in un caso particolare.

• 18.09.25, 3 ore, aula B1.8, 5
  Ripasso di analisi 2. Proprietà dei sistemi autonomi. Il sistema di Lotka - Volterra: giustificazione, uso del Teorema di Cauchy, soluzioni particolari, positività delle soluzioni, presenza di una costante. Un modello SIR: giustificazione, esistenza locale e globale delle soluzioni, positività, comportamento qualitativo delle soluzioni. Modello cellula - virus - virofago: un esempio.

• 22.09.25, 2 ore, aula B2.9, 7
  Precisazione sulle conseguenze dell'esistenza di una costante del moto in una equazione differenziale ordinaria. Definizione di curva, esempi, regola di calcolo diella lunghezza di una curva regolare. Introduzione al calcolo delle variazioni: definizione di funzionale integrale, esempi. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione, estensioni varie. Altri lemmi repaparatori per l'equazione di Eularo - Lagrange, con dimostrazioni.

• 25.09.25, 2 ore, aula B1.8, 9
  Equazione di Eularo - Lagrange: dimostrazione in dettaglio. Esempi: l'equazione del pendolo, la geodetica, la brachistocrona.

• 29.09.25, 3 ore, aula B2.9, 12
  Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange, con dimostraizone. L'equazione di Eulero - Lagrange con vincolo, con dimostrazione. Esempi: il problema isoperimetrico nel piano, la catenaria. Un articolo di Kolmogorov sulle equazioni di Volterra. Primi cenni alla teoria delle distribuzioni.

• 02.10.25, 2 ore, aula B1.7, 14
  Precisazioni su un articolo di Kolmogorov sulle equazioni di Volterra. Introduzione alla teoria delle distribuzioni: definizioni di base, esempi, derivazione nel senso delle distribuzioni, proprietà delle derivate distribuzionali. Un primo esempio di equazione alle derivate parziali: lineare al primo ordine a coefficienti costanti.

• 06.10.25, 3 ore, aula B2.9, 17
  Richiami sulle distribuizionim, prodotto di una funzione smooth per una distribuzione. Derivazione di una funzione definita attraverso un integrale, senza dimostrazione. Derivate della soluzione di un'equazione ordinaria rispetto al dato ed all'istante iniziali, deduzione della formula. Soluzione generale di una equazione alle derivate parziali lineare con sorgente affine: calcolo in dettaglio. Esempi.

• 09.10.25, 2 ore, aula B1.7, 19
  Esempio in dettaglio di calcolo di una soluzione di una legge di conservazione lineare, anche nel caso di una funzione non derivabile: uso della definizione di soluzione debole. Principali tipi di equazioni alle derivate parziali. Introduzione all'equazione del calore: motivazione, scrittura, prime proprietà, diversi tipi di condizioni al bordo.

• 13.10.25, 3 ore, aula B2.9, 21
  Cenno al prodotto di convoluzione. L'equazione del calore: costruzione di soluzioni di equazioni ad essa collegate. Costruzioni di soluzioni: usando il riscalamento parabolico, usando la conservazione dell'energia ed il calcolo dimensionale, usando la separazione delle variabili e le serie di Fourier, in dettaglio. Cenno al nucleo del calore e sue proprietà. Dimostrazione che quanto ottenuto con le serie di Fourier è una soluzione forte.

• 16.10.25, 2 ore, aula B1.7
  Lezione soppressa.

• 20.10.25, 3 ore, aula B2.9, 24
  Soluzioni stazionarie dell'equazione del calore. Precisazioni sull'uso dello sviluppo in serie di Fourier. Instabilità dell'equazione del calore col segno sbagliato, in dettaglio. Precisazioni sulla formula risolutiva con il nucleo del calore, il caso di Rⁿ. Il principi del massimo locale, con dimostrazione. I problemi di Dirichlet e di Neumann con condizioni omogenee, risoluzione completa, dissipazione dell'energia.

• 23.10.25, 2 ore, aula B1.7, 26
  Principio del massimo globale, solo enunciato. Cenni al metodo FTCS, esempi di integrazioni numeriche,

• 27.10.25, 3 ore, aula B2.9, 29
  L'equazione del calore come equazione di diffusione, in dettaglio. Integrazioni di esempi di problemi di Cauchy con condizioni di Neumann o Dirichlet, anche con sorgente (equazione di Fisher).