Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 16.09.23, 2 ore, aula N4, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi.

• 17.09.23, 2 ore, aula N1, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta e di intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna, frontiera e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e positivamente omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizione di insieme limitato/illimitato, esempi. Relazioni tra (il)limitato e (in)finito.

• 23.09.23, 2 ore, aula N4, 6
  Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

• 24.09.23, 2 ore, aula N1, 8
  Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. I connessi in R, senza dimostrazione. I connessi in Rⁿ , senza dimostrazione. Insiemi compatti: definizone, esempi. Se un insieme è compatto allora è chiuso e limitato, con dimostrazione. Il viceversa vale in Rⁿ, senza dimostrazione.

• 30.09.23, 2 ore, aula N4, 10
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame conituià, limiti e punti isolati, con dimostrazione.

• 01.10.23, 2 ore, aula N1, 12
  Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostrazione in dettaglio. Definizione di funzione Lipschitz: significato, il caso di Analisi !, Esmpi. Definizione di contrazione. Introduzione al teorema delle contrazioni.

• 07.10.23, 2 ore, aula N4, 14
  Il Teorema delle Contrazioni: dimostrazione in dettaglio. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi.

• 08.10.23, 2 ore, aula N1, 16
  Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione.

• 14.10.23, 2 ore, aula N4, 18
  Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione.

• 15.10.23, 2 ore, aula N1, 20
  Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Derivate di ordine successivo al primo: notazione, problemi, casi più rilevanti. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato, esempi, senza dimostrazione.

• 21.10.23, 2 ore, aula N4, 22
  Il Teorema della Funzione Implicita: motivazioni, esempi, definizione di funzione definita implicitamente, nesso con il numero di gradi di libertà, il caso lineare, enunciato, il metodo di Newton, dimostrazione in dettaglio.

• 22.10.23, 2 ore, aula N1, 24
  Derivata della funzione implicita: una dimostrazione sbagliata. Il caso n=m=1, scamio tra x e y. Cenno alla determinazione del numero di gradi di libertà di un sistema. Introduzione ai problemi di ottimizzazione. Definizioni di massimo/minimo locale/assoluto. Teorema di Fermat, varie forme, con dimostraizone. Sviluppo di Taylor al secondo ordine, richiamo. Cenni sulle forme quadratiche: definizioni, proprietà elementari (con dimostrazioni), diagonalizzazione (senza dimostrazione).

• 28.10.23, 2 ore, aula N4, 26
  Condizione necessaria al secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo, con dimostrazione. Significato geometrico del gradiente in Rⁿ. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello in R², con dimostrazione. Cenno al teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Integrali doppi: metodo di calcolo; formula per il cambiamento di coordinate; il volume della sfera.

• 29.10.23, 2 ore, aula N1, 28
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinari in forma normale di ordine 1: significato dei termini, motivazioni, esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione. La crescita della popolazione umana sulla terra. Un problema di Cauchy senza soluzione.

• 04.11.23, 2 ore, aula N4, 30
  Risoluzione di equazioni ordinarie con il metodo di separazione delle variabili. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni, in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi, legame con le funzioni C¹, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy, in dettaglio. Il modello del ¹⁴C.

• 05.11.23, 2 ore, aula N1, 32
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy locale: esistenza e unicità, in dettaglio. Il problema del paracadutista: studio qualitativo.

• 11.11.23, 2 ore, aula N4, 34
  Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. dipendenza continua nel Teorema di Cauchy locale, con dimostrazione. Un problema di Cauchy con esistenza solo locale, in dettaglio. Il Teorema di Cauchy Globale, con dimostrazione. Cenno alla teoria del controllo, esempi. Esercizi.

• 12.11.23, 2 ore, aula N1, 36
  Il modello di Lotka Volterra: studio qualitativo (parziale). Introduzionea successioni e serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di convergenza puntuale, monotonia e positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione.

• 18.11.23, 2 ore, aula N4, 38
  Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. Un esempio di convergenza puntuale non uniforme. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata.

• 19.11.23, 2 ore, aula N1, 40
  L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità, con dimostrazione. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, senza dimostrazione. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione, il caso delle serie. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione.

• 25.11.23, 2 ore, aula N4, 42
  Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione.

• 26.11.23, 2 ore, aula N1, 44
  Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Calcolo dei coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica uniformemente convergente. Serie di Fourier come scrittura di una funzione in una "base". Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, inizio della dimostrazione.

• 02.12.23, 2 ore, aula N4, 46
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier: esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 03.12.23, 2 ore, aula N1, 48
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 09.12.23, 2 ore, aula N4
  

• 10.12.23, 2 ore, aula N1
  

• 16.12.23, 2 ore, aula N4
  

• 17.12.23, 2 ore, aula N1
  

Esercitazioni

• 18.09.24, 2 ore, aula N4, 2
  Esempi di applicazioni che sono metriche e di applicazioni che non lo sono, anche in dimensione infinita. Esercizi vari sugli spazi metrici.

• 25.09.24, 2 ore, aula N4, 4
  Metriche equivalenti e non equivalenti: esempi vari. Esercizi sugli spazi metrici completi.

• 03.10.24, 2 ore, aula Magna, 6
  Insiemi aperti e chiusi; determinazione del diametro di un insieme. Esempi di insiemi limitati e illimitati; esercizi sugli spazi metrici completi e compatti.

• 10.10.24, 2 ore, aula N4, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili ed esempi di limiti che non esistono.

• 16.10.24, 2 ore, aula N4, 10
  Caclolo di limiti con coordinaate polari. Calcolo di derivate parziali e direzionali. Esempio di funzione non continua ma derivabile in un punto, e viceversa.

• 23.10.24, 2 ore, aula N4, 12
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili.

• 30.10.24, 2 ore, aula N4, 14
  Risoluzione di esercizi tratti da temi d'esame sulla derivabilità parziale, direzionale e sulla differenziabilità per funzioni di più variabili.

• 07.11.24, 2 ore, aula N2,
  

• 13.11.24, 2 ore, aula N4,
  Ricerca dei punti di massimo, di minimo e di sella per funzioni di più variabili.

• 20.11.24, 2 ore, aula N4,
  Calcolo di integrali doppi mediante l'applicazione dei teoremi di riduzione.

• 27.11.24, 2 ore, aula N4,
  Calcolo di integrali doppi mediante l'ausilio delle coordinate polari e mediante altri cambiamenti di variabili.

• 04.12.24, 2 ore, aula N4,
  

• 11.12.24, 2 ore, aula N4,
  

• 18.12.24, 2 ore, aula N4,