Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi
Anno Accademico 2023-2024
Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi - Programma Dettagliato:
Lezioni
-
16.09.23, 2 ore, aula B1.7, 2
Presentazione del corso e delle modalità
d'esame. ripasso di analisi 2. Proprietà dei sistemi
autonomi. Il sistema di Lotka - Volterra: giustificazione, uso
del Teorema di Cauchy, soluzioni particolari,
positività delle soluzioni, presenza di una costante.
-
19.09.23, 2 ore, aula B2.2, 4
Il sistema di Lotka - Volterra: esistenza globale e
periodicità delle zoluzioni, studio qualitativo,
interpretazione. Il modella SIR: presentazione, uso del
Teorema di Cauchy, soluzioni particolari, positività
delle soluzioni, esistenza globale delle soluzioni, equazione
delle traiettorie, studio qualitativo.
-
23.09.23, 2 ore, aula B1.7, 6
Un modello ospite - virus - virofago (PNAS, 108, 15, 2011):
giustificazione. Studio analitico qualitativo: esistenza
locale, soluzioni particolari, positività, una funzione
di Lyapunov, esistenza globale. Le soluzioni sono periodiche?
Cenno al metodo di Eularo per l'integrazione numerica di
equazioni ordinarie.
-
26.09.23, 2 ore, aula B2.2, 8
Il modello ospite - virus - virofago (PNAS, 108, 15, 2011):
non ci sono orbite periodiche, dimostrazione analitica. Una
procedura numerica per il calcolo di soluzioni approssimate,
in dettaglio. Altri problemi su questo modello: estinzione del
virofago, confronto rigoroso con le soluzioni
del modelllo di Lotka - Volterra. Altri modelli ospite - virus
- virofago.
-
30.09.23, 2 ore, aula B1.7, 10
Introduzione al calcolo delle variazioni. Il lemma
fondamentale, con dimostrazione, estensioni varie. L'equazione
di Eulero - Lagrange: deduzione nel caso regolare. Definizione
di curva, curva regolare, esempi. Definizione di lunghezza di
una curva. Regola di calcolo della lunghezza di una curva,
senza dimostrazione. Il problema della geodetica.
-
03.10.23, 2 ore, aula B2.1, 12
L'equazione di Eulero - Lagrange: il caso meno regolare. Il
problema della brachistocorna. Ricerca di punti stazionari di
funzionali integrali con vincolo. Il problema della
catenaria. Formula per il calcolo dell'aria racchiusa da una
curva semplice chiusa, senza dimostrazione. Il problema
isoperimetrico.
-
07.10.23, 2 ore, aula B1.7, 14
Un problema di inseguimento: deduzione delle equazioni e loro
risoluzione. condizione per il raggiungimento. Cenni di teoria
delle distribuzioni. funzioni lineari e limitatezza, con
dimostrazione. Definizione di distribuzione, esempi, la delta
di Dirac, derivata di una distribuzione, derivata della
funzione di Heaviside.
-
14.10.23, 2 ore, aula B1.7, 16
Cenni di teoria della misura: definizioni di sigma algebra e
di misura astratta. Il caso della misura di Lebesue
in Rn: definizioni di insieme
di misura nulla, di proprietà che vale quasi ovunque,
di insieme misurabile. Esempio. l'insieme di Cantor e la
funzione di Cantor-Vitali.
-
16.10.23, 2 ore, ufficio, 18
Introduzione alle equazioni alle derivate parviali: equazioni
lineari al primo ordine a coefficienti costanti con sorgente
assegnata/lineare, con/senza bordo. Un modello per una
popolazione strutturata per età con natalità
assegnata: soluzione completa. Deduzione di una legge di
conservazione in Rn.
-
21.10.23, 2 ore, aula B1.7, 20
Presentazione di una tesi su leggi di conservazione non
locali. Equazione del calore. motivazione in dimensione 1, uso
del metodo della separazione delle variabili, costruzione in
dettaglio di una soluzione. Instabilità
dell'integrazione all'indietro nel tempo, con
dimostrazione. Uso del calcolo dimensionale.
-
23.10.23
Lezione soppressa causa commissione tesi.
-
28.10.23, 2 ore, aula B1.7, 22
Il problema di Cauchy per l'equazione del calore
su R con dato funzione di Heaviside; con dato
la delta di Dirac. Il nucleo del calore e formula generale di
risoluzione. Dimostrazione che la formula dà una
soluzione.
-
30.10.23, 2 ore, ufficio, 24
L'equazione del Calore. Il problema di Cauchy sulla retta reale.
-
04.11.23, 2 ore, aula B1.7, 26
Principio del massimo, locale e globale, con dimostrazione;
uso per dimostrare l'unicità. Problema di Dirichlet
(con dati al bordo costanti) e di Neumann (omogeneo):
risoluzione con gli sviluppi di Fourier. Disuguaglianza
ell'energia.
-
06.11.23, 2 ore, ufficio, 28
Equazione del calore come equazione per la
propagazione random. Giustificazione della
classificazione delle equazioni del secondo ordine, in
dettaglio.
-
11.11.23, 2 ore, aula B1.7, 30
Integrazione numerica dell'equazione del calore, anche con
sorgente. Metodo numerico, implementazione. Valutazione delle
proprietà qualitative delle soluzioni dell'equazione
del calore, con condizioni al bordo di Dirichlet e
con/senza sorgente.
-
13.11.23, 2 ore, ufficio, 32
Valutazione delle proprietà qualitative delle soluzioni
dell'equazione del calore, con condizioni al bordo di Neumann
e con/senza sorgente. Introduzione all'equazione delle
onde. Una motivazione: la corda vibrante. La formula di
d'Alembert, anche nel caso con sorgente, in dettaglio.
-
18.11.23, 2 ore, aula B1.7, 34
Equazione delle onde: uso degli sviluppi di
fourier. Valutazione delle proprietà qualitative delle
soluzioni delle equazioni delle onde, con vari tipi di
condizioni al bordo.
-
20.11.23, 2 ore, ufficio, 36
Introduzione alle leggi di conservazione. Riscalamento
iperbolico. Il modello LWR. Il caso lineare. Nascità di
discontinuità. Il Problema di riemann, inizio della
soluzione. Le condizioni di Rankine-Hugoniot.
-
25.11.23, 2 ore, aula B1.7
-
02.12.23, 2 ore, aula B1.7
-
09.12.23, 2 ore, aula B1.7
-
16.12.23, 2 ore, aula B1.7
