Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 18.09.23, 2 ore, aula N4, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi.

• 19.09.23, 2 ore, aula N4, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Esempi. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione per esercizio.

• 20.09.23, 2 ore, aula N4, 6
  Definizione di insieme limitato/illimitato. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

• 26.09.23, 2 ore, aula N4, 8
  Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi.

• 27.09.23, 2 ore, aula N4, 10
  Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame conituià, limiti e punti isolati, con dimostrazione.

• 03.10.23, 2 ore, aula N4, 12
  Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1.

• 04.10.23, 2 ore, aula N4, 14
  La composizione di funzioni continue è continua, costruzione dell'enunciato e dimostrazione in dettaglio. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale.

• 10.10.23, 2 ore, aula N4, 16
  Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione.

• 11.10.23, 2 ore, aula N4, 18
  Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante.

• 17.10.23, 2 ore, aula N4, 20
  Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Derivate di ordine successivo al primo: notazione, problemi, casi più rilevanti. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato, esempi, senza dimostrazione. Introduzione al problema della funzione implicita: equazione di Keplero, esempi. Necessità di una costruzione locale, problemi con l'unicità. Il caso lineare (affine), in dettaglio. Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità.

• 18.10.23, 2 ore, aula N4, 22
  Il Teorema della Funzione Implicita: una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi, vari commenti, scambio delle coordinate, il caso n==1, il calcolo ella derivata seconda e dello sviluppo di Taylor al secondo ordine. Notazione per le derivate. Esempio di uso del Teorema della Funzione Implicita, sviluppo di Taylor della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Una proposizione sulla forme quadratiche definite (stima da sotto), con dimostrazione. Condizione necessaria e condizione sufficiente al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazioni, esempi.

• 24.10.23, 2 ore, aula N4, 24
  significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Introduzione agli integrali doppi, formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, esercizi. Calcolo del volume di una sfera. Definizione di equazione differenziale ordinaria in forma normale del primo ordine: significato dei termini, esempi.

• 25.10.23, 2 ore, aula N4, 26
  Problema di Cauchy: necessità della condizione iniziale, definizione di soluzione. La popolazione umana sulla Terra: equazione, studio qualitativo. Integrazione delle equazioni a variabili separabili, esempi. Un problema di Cauchy senza soluzione. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione. Un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi, una funzione C¹ è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Il Teorema di Peano: enunciato, senza dimostrazione. Il Teorema di Cauchy: enunciato completo in dettaglio.

• 31.10.23, 2 ore, aula N4, 28
  Teorema di Cauchy locale: dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità locale, in dettaglio. Il decadimento radioattivo: studio qualitativo, soluzione, l'esame del ¹⁴C.

• 14.11.23, 2 ore, aula N4, 30
  Unicità in grande nel Teorema di Cauchy Locale: dimostrazione in dettaglio. Il Lemma di Gronwall, motivazione, dimostrazione. Dipendenza continua nel Teorema di Cauchy Locale, dimostrazione, commenti e critiche. dipendenza continua su intervalli limitati: esempi. Il paracadutista, in dettaglio.

• 15.11.23, 2 ore, aula N4, 32
  Un problema di Cauchy con esistenza solo locale, in dettaglio. Definizione di sublinearità, motivazione, esempi e significato geometrico. Il Torema di Cauchy globale: enunciato e dimostrazione in dettaglio. Cenno alla Teoria del Controllo. Il modello di Lotka-Volterra, cenni. Un modello SIR: cenni. Introduzionea successioni e serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di integrale.

• 21.11.23, 2 ore, aula N4, 34
  Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Proprietà che passano al limite sotto al segno di convergenza puntuale, monotonia e positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale e uniforme. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. Un esempio di convergenza puntuale non uniforme. C⁰ è completo, con dimostrazione.

• 22.11.23, 2 ore, aula N4, Complementi
  C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione.

• 28.11.23, 2 ore, aula N4, Complementi
  Un legame tra convergenza uniforme e derivazione nel caso specifico delle serie. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione.

• 29.11.23, 2 ore, aula N4, Complementi
  Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione.

• 05.12.23, 2 ore, aula N4, 36
  Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Calcolo dei coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica uniformemente convergente. Serie di Fourier come scrittura di una funzione in una "base". Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, inizio della dimostrazione.

• 06.12.23, 2 ore, aula N4, 38
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier: esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.23, 2 ore, aula N4, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti.

• 13.12.23, 2 ore, aula N4, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti.

• 19.12.23, 2 ore, aula N4, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 25.09.23, 2 ore, aula N4, 2
  Esempi e verifiche di applicazioni che sono metriche, anche in dimensione infinita. Esempi di applicazioni che non sono metriche.

• 02.10.23, 2 ore, aula N4, 4
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Insiemi aperti e chiusi, frontiera, parte interna e chiusura di un insieme: esercizi vari.

• 09.10.23, 2 ore, aula N4, 6
  Successioni di Cauchy e successioni convergenti in spazi metrici, spazi metrici connessi, completi e compatti.

• 16.10.23, 2 ore, aula N4, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, esempi di limiti che non esistono. Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 23.10.23, 2 ore, aula N4, 10
  Continuità e derivabilità per funzioni di più variabili. Esercizi tratti da temi d'esame.

• 06.11.23, 2 ore, aula N4, 12
  Derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili.

• 08.11.23, 2 ore, aula N4, 14
  Ricerca di punti di max/min liberi per funzioni di due variabili.

• 13.11.23, 2 ore, aula N4, 16
  Ricerca di punti di max/min liberi per funzioni di due variabili, risoluzione di esercizi tratti da temi d'esame.

• 20.11.23, 2 ore, aula N4, 18
  Ricerca dei punti di massimo e minimo liberi per funzioni di più variabili e per funzioni in dominii con bordo.

• 27.11.23, 2 ore, aula N4, 20
  Calcolo di integrali doppi applicando in modo opportuno i teoremi di riduzione.

• 04.12.23, 2 ore, aula N4, 22
  Calcolo di integrali doppi mediante opportuni cambiamenti di variabili: uso delle coordinate polari e cambiamenti lineari.

• 13.12.23, 2 ore, aula Magna, 24
  Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari.

• 18.12.23, 2 ore, aula N4, 26
  Risoluzione di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine con opportune sostituzioni.

• 20.12.23, 2 ore, aula N2, 28
  Analisi e studio qualitativo di problemi di Cauchy.