Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 18.09.23, 2 ore, aula N10, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi.

• 19.09.23, 2 ore, aula B2.1, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è a sua volta uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi.

• 21.09.23, 2 ore, aula B0.4, 6
  Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato: esempi. Esempi di insiemi limitati/illimitati e finiti/infiniti. Il complementare di un aperto/chiuso è chiuso/aperto, senza dimostrazione. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione.

• 25.09.23, 2 ore, aula N10, 8
  Definizione di spazio metrico completo, esempi.
Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione.

• 26.09.23, 2 ore, aula B2.1, 10
  Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di continuità su tutto il dominio. Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione.

• 28.09.23, 2 ore, aula B0.4, 12
  Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Una funzione Lipschitz è continua, con dimostrazione. Definizione di contrazione, legame con la definizione di funzione Lipschitz. Il Teorema delle Contrazioni: esempio in R, enunciato, dimostrazione in dettaglio, esempi sulla necessità delle ipotesi (punto fisso che non c'è o ce ne sono infiniti).

• 02.10.23, 2 ore, aula N10, 14
  Il Teorema delle Contrazioni: esempio in R, esempi sulla necessità delle ipotesi (punto fisso che non c'è o ce ne sono infiniti). Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Continuità del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante.

• 03.10.23, 2 ore, aula B2.1, 16
  Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale: definizione, motivazione, notazione, esempi. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione

• 05.10.23, 2 ore, aula B0.4, 18
  Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, enunciato nel caso generale.

• 09.10.23, 2 ore, aula N10, 20
  Il teorema del differenziale totale: come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento: esempi. Una funzione con derivata nulla ma non costante. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto stellato, su un aperto connesso, con definizioni e dimostrazioni. Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio, esempi.

• 10.10.23, 2 ore, aula B2.1, 24
  La matrice Hessiana è simmetrica, in dettaglio. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi. Significato/motivazione di "locale", unicità, due dimensioni uguali. Metodo delle tangenti per funzioni di una variabile. Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Implicita: dimostrazione dettagliata.

• 12.10.23, 2 ore, aula B0.4, 26
  Il Teorema della Funzione Implicita. Il caso più semplice, scambio di x con y. Derivata della funzione implicita: una dimostrazione sbagliata, in dettaglio. Il caso C^k, con dimostrazione. Esempi ed esercizi. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione.

• 16.10.23, 2 ore, aula N10, 28
  Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: stime principali (con dimostrazione). Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni.

• 17.10.23, 2 ore, aula B2.1, 30
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: enunciato, dimostrazione, esempio in dettaglio. Introduzione agli integrali doppi, formule di calcolo, formula per il cambio di variabili, il volume della sfera. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale ordinaria in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione. Definizione di soluzione di un Problema di Cauchy. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione.

• 19.10.23, 2 ore, aula B0.4, 32
  Problema di Cauchy: giustificazione, esempi, definizione di soluzione. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione. Definizione di funzione localmente Lipschitziana, esempi. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Equazioni a variabili separabili: metodo di soluzione, esempi. Una funzione C¹ è localmente Lipschitziana. Enunciato del Teorema di Cauchy, introduzione, ruolo della continuità nel tempo.

• 23.10.23, 2 ore, aula N10, 34
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale: esistenza in dettaglio. Un esempio di crescita biologica limitata: studio qualitativo di un Problema di Cauchy.

• 24.10.23, 2 ore, aula B2.1
  Lezione soppressa.

• 26.10.23, 2 ore, aula B0.4, 36
  Esercitazioni

• 30.10.23, 2 ore, aula N10, 38
  Teorema di Cauchy: unicità in grande, dimostrazione in dettaglio. Il problema del paracadutista: studio qualitativo. Esempi di dipendenza continua, solo su intervalli di tempo limitati. Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Il decadimento radioattivo: studio qualitativo e soluzione completa, tempo di dimezzamento.

• 31.10.23, 2 ore, aula B2.1, 40
  Un problema di Cauchy con soluzione non globale. Definizione di sublinearità. Teorema di Cauchy: esistenza globale, con dimostrazione. Cenni alla teoria del controllo. Esempi di problemi di Cauchy: esistenza globale senza sublinearità, il sistema preda - predatore, il sistema SIR.

• 02.11.23, 2 ore, aula N10, 42
  Introduzione a successioni e serie di funzioni: notazione, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: esempi. Una metaproposizione. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazioni equivalenti. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione.

• 13.11.23, 2 ore, aula N.10, 44
  Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio.

• 14.11.23, 2 ore, aula B2.5, 46
  Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di potenze si studiano in C.

• 16.11.23, 2 ore, aula B0.4, 48
  Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 20.11.23, 2 ore, aula N10, 50
  Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Osservazioni su sviluppi di Taylor e di Fourier. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione.

• 21.11.23, 2 ore, aula B2.5, 52
  Il polinomio di Fourier di una funzione fornisce la migliore approssimazione di quella funzione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione in dettaglio. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier, in dettaglio.

• 27.11.23, 2 ore, aula N10, 54
  Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier: esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 28.11.23, 2 ore, aula B2.5, Preparazione Scritto
  Esercizi presi da un tema d'esame.

• 30.11.23, 2 ore, aula B0.4, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 04.12.23, 2 ore, aula N10, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 05.12.23, 2 ore, aula B2.5, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 11.12.23, 2 ore, aula N10, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 12.12.23, 2 ore, aula B2.1, Preparazione Scritto
  Esercizi presi da un tema d'esame.

• 14.12.23, 2 ore, aula B0.4, Preparazione Scritto
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

Esercitazioni

• 22.09.23, 2 ore, aula B0.3, 2
  Esempi e verifiche di applicazioni che sono metriche, anche in dimensione infinita. Esempi di applicazioni che non sono metriche.

• 29.09.23, 2 ore, aula B0.3, 4
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Insiemi aperti, chiusi, frontiera, parte interna e chiusura di un insieme: esercizi vari.

• 06.10.23, 2 ore, aula B0.3, 6
  Successioni di Cauchy e successioni convergenti in spazi metrici, spazi metrici connessi, completi e compatti.

• 13.10.23, 2 ore, aula B0.3, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, esempi di limiti che non esistono. Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 20.10.23, 2 ore, aula B0.3, 10
  Continuità e derivabilità per funzioni di più variabili. Esercizi tratti da temi d'esame.

• 26.10.23, 2 ore, aula B0.3, 12
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità tratti da temi d'esame.

• 03.11.23, 2 ore, aula B0.3, 14
  Esercizi vari sulla funzione implicita.

• 07.11.23, 2 ore, aula B0.3, 16
  Esercizi vari sulla funzione implicita, tratti da temi d'esame.

• 08.11.23, 2 ore, aula B0.3, 18
  Ricerca di punti di max/min liberi per funzioni di due variabili.

• 09.11.23, 2 ore, aula B0.3, 20
  Ricerca di punti di max/min liberi per funzioni di due variabili, risoluzione di esercizi tratti da temi d'esame.

• 10.11.23, 2 ore, aula B0.3, 22
  Esercizi sulla ricerca di max/min per funzioni definite in domini con il bordo, parametrizzazione e analisi del bordo.

• 17/11/2023, 2 ore, aula B03, 24
  Esercizi sulla ricerca di punti di massimo e minimo in dominii con il bordo. Calcolo di integrali doppi

• 23/11/23, 2 ore, aula B04, 26
  Calcolo di integrali doppi applicando i teoremi di riduzione

• 24/11/23, 2 ore, aula B03, 28
  Calcolo di integrali doppi mediante opportuni cambiamenti di variabili: uso delle coordinate polari e cambiamenti lineari.

• 29/11/23, 2 ore, aula consiliare, 30
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Esercizi tratti anche da temi d'esame.

• 01/12/23, 2 ore, aula B03, 32
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Esercizi tratti anche da temi d'esame.

• 06/12/23, 2 ore, aula Consiliare, 34
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Analisi e studio di problemi di Cauchy.

• 07/12/23, 2 ore, aula B04, 36
  Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari ed equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.

• 15/12/23, 2 ore, aula B05, 38
  Risoluzione di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine con opportune sostituzioni.

• 19/12/23, 2 ore, aula B25, 40
  Analisi e studio qualitativo di problemi di Cauchy.