Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi

Anno Accademico 2023-2024

Equazioni Differenziali: Modelli e Metodi - Programma Dettagliato:

18.09.23, 2 ore, aula B1.9, 1
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Il sistema preda-predatore: applicazione del Teorema di Cauchy Locale, invarianza per traslazioni temporali (con dimostrazione), positività delle soluzioni (con dimostrazione), costante del moto (per esercizio).

21.09.23, 2 ore, aula B0.7, 3
Il modello preda - predatore: le soluzioni sono periodiche, con dimostrazione. Il modello SIR: presentazione, esistenza locale delle soluzioni, positività, esistenza globale, studio qualitative in R², con dimostrazioni; significati delle proprietà qualitative delle soluzioni, possibili estensioni.

25.09.23, 2 ore, aula B1.9, 5
Definizione di curva in Rⁿ, regola di calcolo, senza dimostrazione. Il problema della geodetica: formulazione. Il lemma fondamentale del calcolo delle Variazioni, con dimostrazione. Funzionali integrali: forma, motivazione, esempi. Equazione di Eulero - Lagrange come condizione di stazionarietà di un funzionale integrale, con dimostrazione.

28.09.23, 2 ore, aula B0.7, 7
Il problema della geodetica: formulazione variazionale, equazione di Eulero, soluzione, in dettaglio. Il problema della brachistocrona: formulazione variazionale, soluzione. L'equazione di Eulero in caso di vincoli, cenno di dimostrazione. Il problema isoperimetrico nel piano: formula per l'area, formulazione varazionale, soluzione in dettaglio. Il problema della catenaria: formulazione variazionale, soluzione.

02.10.23, 2 ore, aula B1.9, 9
Un'equazione per l'evoluzione di una popolazione strutturata per età; natalità e mortalità; scrittura di un problema di Cauchy con frontiera e dato al bordo dipendente dalla soluzione in mdo non locale. Definizione di insieme di misura nulla nel piano ed inRⁿ. Ogni insieme numerabile ha misura nulla, con dimostrazione. L'insieme di Cantor: definizione, ha misura nulla, ha la cardinalità del continuo, con dimostrazione. Definizione di L^p: l'uguaglianza q.o. è una relazione di equivalenza, con dimostrazione. Definizione di norma e distanza in L^p.

05.10.23, 2 ore, aula B0.7, 11
Risoluzione del problema con frontiera e dato al bordo funzione del tempo assegnata, in dettaglio.

09.10.23, 2 ore, aula B1.9, 13
Funzioni BV: definizione, principali proprietà ed esempi. La funzione che al dato al bordo associa la soluzione di un IBVP assume valori in C⁰(R;L¹(I;R)) è ben definita.

12.10.23, 2 ore, aula B0.7, 15
Il Teorema della Divergenza, senza dimostrazione. Deduzione dell'equazione di continuità, esempi (pedoni e traffico stradale). Confronto tra equazioni di trasporto e leggi di consrvazione, in dettaglio. Applicazioni lineari e limitatezza della norma, con diostrazione. Duale di spazi "più grossi", con dimostrazione. Cenno alla teoria delle distribuzioni: definizione; ogni funzione continua è una distribuzione, con dimostrazione; derivata di una distribuzione; la funzione di Heaviside e la delta di Dirac.

16.10.23, 2 ore, aula B1.9, 17
L'algoritmo di Lax-Friedrichs: deduzione, giustificazione. Condizione CFL: formulazione, giustificazione. Esempi di integrazioni numeriche di leggi di conservazioe: listati per il calcolo, il controllo e la creazione di grafici/filmati delle soluzioni. Il caso di equazioni lineari. Il caso del modello LWR, introduzione.

19.10.23, 2 ore, aula B2.7, 19
Nascita di songolarità in leggi di conservazione: ilc aso del traffico. Definizione di soluzione forte e soluzione devole. Una soluzione forte è anche deole, con dimostrazione. Condizioni di Rankine-Hugoniot: deduzione dalla conservazione e dalla definizione di soluzione debole, in dettaglio. Onde di shock in una legge di conservazione scalare 1d.

23.10.23, 2 ore, aula B1.9, 21
Onde di rarefazione in una legge di conservazione scalare 1d. Scelta tra shock e rarefazione: stabilità. L'esempio del traffico: espressioni di shock e rarefazioni, il particle path attraverso shock e rarefazioni, in dettaglio.

30.10.23, 2 ore, aula B1.9, 25
Leggi di conservazione scalari nel piano: denni, metodo di integrazione (dimensional splitting), esempi. Il paradosso di Braess, in dettaglio.

02.11.23, 2 ore, aula B2.7, 27
Autovalori, autovettori destri e sinistri: richiami. Esistenza e regolarità delle funzioni autovalore ed autovettore di una matrice dipendente da parametri, con dimostrazione. Rarefazioni nella soluzione di un problema di Riemann per un sistema di leggi di conservazione, in dettaglio.

13.11.23, 2 ore, aula B1.9, 29
Problema di Riemann per un sistema di leggi di conservazione: rarefazioni e shocks, in dettaglio.

16.11.23, 2 ore, aula B2.7, 31
Problema di Riemann per un sistema di leggi di conservazione: rarefazioni e shocks, in dettaglio. Introduzione al p-sistema.

20.11.23, 2 ore, aula B1.9, 33
Il problema di Riemann per il p-sistema: i casi γ=1 e γ>1, in dettaglio

23.11.23, 2 ore, aula B2.7, 35
Equazione del calore: separazione delle variabili, uso delle serie di Fourier.

27.11.23, 2 ore, aula B1.9, 37
Equazione del calore: soluzione fondamentale e nucleo del calore.

04.12.23, 2 ore, aula B1.9, 41
Metodo FCTS per integrare l'equazione del calore: deduzione, programmazione, esempi. Problema di Cauchyper l'equazione del calore su R: esistenza e alcune proprietà della soluzione, con dimostrazione in dettaglio.

07.12.23, 2 ore, aula B2.7, 43
Unicità della soluzione dell'equazione del calore su R.

11.12.23, 2 ore, aula B1.9, 45
Equazione del calore con condizioni di Dirichlet/Neumann: problemi al contorno, stima dell'energia, stabilità, unicità. Classificazione delle equazioni al secondo ordine.

14.12.23, 2 ore, aula B2.7, 47
Esempi di integrazioni con condizioni di Neumann. L'equazione delle onde: motivazione; formula di d'Alembert, anche con sorgente.

18.12.23, 2 ore, aula B2.7, 49
Eqazione delle onde: condizioni di Dirichlet omogenee, uso delle serie di Fourier, esempi. Integrazione numerica dell'equazione delle onde: algoritmo, varie condizioni al bordo, esempi.

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