Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 19.09.22, 2 ore, aula N2, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di sfera aperta.

• 20.09.22, 2 ore, aula N4, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di distanze equivalenti, motvazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi.

• 21.09.22, 2 ore, aula , 6
  Il complementare di un chiuso/aperto è aperto/chiuso, senza dimostrazione. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi.

• 26.09.22, 2 ore, aula N2, 8
  Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione.

• 03.10.22, 2 ore, aula N2, 10
  Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Legame continuità - successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1.

• 05.10.22, 2 ore, aula N3, 12
  Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Enunciato del Teorema delle Contrazioni. applicazione nel caso reale. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione, necessità delle ipotesi. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione.

• 10.10.22, 2 ore, aula N2, 14
  Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua.

• 12.10.22, 2 ore, aula N9, 16
  Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione.

• 17.10.22, 2 ore, aula N2, 18
  Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale.

• 19.10.22, 2 ore, aula N9, 20
  Derivate di ordine successivo al primo: notazione, problemi, cenni allo sviluppo di Taylor, casi più rilevanti. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato, esempi, senza dimostrazione. Introduzione al problema della funzione implicita: equazione di Keplero, esempi. Necessità di una costruzione locale, problemi con l'unicità. Il caso lineare (affine), in dettaglio.

• 24.10.22, 2 ore, aula N2, 22
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi, vari commenti, scambio delle coordinate, il caso n==1, l'equazione di Keplero, il calcolo ella derivata seconda e dello sviluppo di Taylor al secondo ordine. Notazione per le derivate.

• 26.10.22, 2 ore, aula N9, 24
  Esempio di uso del Teorema della Funzione Implicita, sviluppo di Taylor della funzione implicita. Il Teorema della funzione Inversa: il caso lineare, enunciato, cenno alla dimostrazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione); definizioni di forme semidefinite/definite positive/negative. Diagonalizzazione di Gram - Schmidt: senza dimostrazione.

• 31.10.22, 2 ore, aula N2, 26
  Una proposizione sulla forme quadratiche definite (stima da sotto), con dimostrazione. Condizione necessaria e condizione sufficiente al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazioni, esempi. Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione in dettaglio.

• 02.11.22, 2 ore, aula N9, 28
  Esercizio sui moltiplicatori di Lagrange. Introduzione agli integrali doppi, formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, esercizi. Calcolo del volume di una sfera. Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini, esempi.

• 07.11.22, 2 ore, aula N2, 30
  Un problema di Cauchy senza soluzione. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi, una funzione C¹ è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Il Teorema di Peano: enunciato, senza dimostrazione. Il Teorema di Cauchy: enunciato completo. Studio qualitativo rigoroso di un Problema di Cauchy (crescita logistica, in dettaglio.

• 09.11.22, 2 ore, aula N9, 32
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale: esistenza e unicità locali, in dettaglio. Esempi: il paracadutista; la legge del calore di Newton, per esercizio.

• 14.11.22, 2 ore, aula N2, 34
  Unicità in grande nel Teorema di Cauchy Locale: dimostrazione in dettaglio. Il Lemma di Gronwall, motivazione, dimostrazione. Dipendenza continua nel Teorema di Cauchy Locale, dimostrazione, commenti e critiche. Il modello di Lotka-Volterra, studio analitico: soluzioni "semplici", positivitù delle soluzioni, costante del moto, cicli.

• 16.11.22, 2 ore, aula N9, 36
  Definizione di sublinearità, motivazione e significato geometrico. Il Torema di Cauchy globale: enunciato e dimostrazione in dettaglio. Cenno alla Teoria del Controllo. Un modello SIR: studio analitico. Introduzionea successioni e serie di funzioni.

• 21.11.22, 2 ore, aula N2, 38
  Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di convergenza puntuale, monotonia e positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. Un esempio di convergenza puntuale non uniforme. C⁰ è completo, con dimostrazione.

• 23.11.22, 2 ore, aula N9, 40
  Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione; enunciato anche nel caso specifico delle serie.

• 28.11.22, 2 ore, aula N2, 42
  Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica.

• 30.11.22, 2 ore, aula N9, 44
  Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, inizio della dimostrazione.

• 05.12.22, 2 ore, aula N2, 46
  Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Calcolo dei coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica uniformemente convergente. Serie di Fourier come scrittura di una funzione in una "base". Definizione di funzione continua a tratti, esempi.

• 07.12.22, 2 ore, aula N9, 48
  Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier: esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.22, 2 ore, aula N2, 50
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 14.12.22, 2 ore, aula N9, 52
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 19.12.22, 2 ore, aula N2
  Attività didattica sospesa per inaugurazione dell'anno accademico.

• 21.12.22, 2 ore, aula N9, 54
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

Esercitazioni

• 28 Settembre (2h), 2
  Esempi di applicazioni che sono metriche ed esempi di applicazioni che non lo sono, sia in dimensione finita sia in dimensione infinita. Insiemi aperti e chiusi, frontiera di un insieme.punti isolati e d' accumulazione per un insieme.

• 30 Settembre (2h), 4
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Risoluzione di esercizi vari sugli spazi metrici tratti da temi d'esame.

• 4 Ottobre (1h), 5
  Esercizi sulle successioni in spazi metrici, esempi di spazi metrici completi e non completi, compatti e non compatti.

• 11 Ottobre (2h), 7
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, esempi di limiti che non esistono, utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 25/10/22 (2h), 9
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di due variabili.

• 28/10/22 (2h), 11
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità tratti da temi d'esame. Ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni regolari di due variabili.

• 08/11/22 (2h), 13
  Ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni regolari di due variabili, anche tratti da temi d'esame.

• 15/11/22 (2h lezione fatta con gli elettronici), 15
  I teoremi di riduzione per il calcolo di integrali doppi.

• 22/11/22 (2h), 17
  Calcolo di integrali doppi mediante opportuni cambiamenti di variabili, tra cui il passaggio alle coordinate polari.

• 29/11/22 (2h), 19
  Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari.

• 06/12/22 (2h lezione fatta con gli elettronici), 21
  Risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.

• 13/12/22 (2h), 23
  Studio qualitativo di problemi di Cauchy.

• 20/12/22 (2h), 25
  Studio qualitativo di problemi di Cauchy.