Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 19.09.22, 2 ore, aula N1, 2
  Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di sfera aperta.

• 20.09.22, 2 ore, aula N1, 4
  Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato: esempi. Esempi di insiemi limitati/illimitati e finiti/infiniti. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è a sua volta uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi.

• 21.09.22, 2 ore, aula B3.1, 6
  Il complementare di un aperto/chiuso è chiuso/aperto, senza dimostrazione. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.

• 22.09.22, 2 ore, aula B2.1, 8
  Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, con dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

• 26.09.22, 2 ore, aula N1, 10
  Definizione di metriche equivalenti. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di continuità su tutto il dominio. Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Continuità della composizione di funzioni, con dimostrazione.

• 03.10.22, 2 ore, aula N1, 12
  L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi di R, senza dimostrazione, l'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz.

• 04.10.22, 2 ore, aula N1, 14
  Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Definizione di contrazione, legame con la definizione di funzione Lipschitz. Il Teorema delle Contrazioni: esempio in R, enunciato, dimostrazione in dettaglio, esempi sulla necessità delle ipotesi (punto fisso che non c'è o ce ne sono infiniti).

• 05.10.22, 2 ore, aula B3.1, 16
  Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, senza dimostrazione. Il Teorema delle Contrazioni: esempi che mostrano la stretta necessità delle ipotesi. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione.

• 10.10.22, 2 ore, aula N1, 18
  Introduzone al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale: definizione, motivazione, notazione, esempi.

• 11.10.22, 2 ore, aula N1, 20
  Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione, differenziabilità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione.

• 12.10.22, 2 ore, aula B3.1, 22
  Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento: esempi. Una funzione con derivata nulla ma non costante. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto stellato, su un aperto connesso, con definizioni e dimostrazioni.

• 17.10.22, 2 ore, aula N1, 24
  Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio, esempi. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi.

• 18.10.22, 2 ore, aula N1, 26
  Il teorema della funzione implicita: esempi. Significato/motivazione di "locale", unicità, due dimensioni uguali. Cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema. Metodo delle tangenti per funzioni di una variabile. Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Implicita: dimostrazione dettagliata.

• 19.10.22, 2 ore, aula B3.1, 28
  Conclusione della dimostrazione del Teorema della Funzione Implicita. Il caso più semplice, scambio di x con y. Derivata della funzione implicita: una dimostrazione sbagliata, in dettaglio. Il caso C^k, con dimostrazione. Esempi ed esercizi.

• 24.10.22, 2 ore, aula N1, 30
  Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi.

• 26.10.22, 2 ore, aula B3.1, 32
  Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni.

• 31.10.22, 2 ore, aula N1, 34
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: enunciato, dimostrazione, esempio in dettaglio. Introduzione agli integrali doppi, formule di calcolo, formula per il cambio di variabili, il volume della sfera.

• 02.11.22, 2 ore, aula N1, 36
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione. Definizione di soluzione di un Problema di Cauchy. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione.

• 07.11.22, 2 ore, aula N1, 38
  Un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Definizione di funzione localmente Lipschitziana, esempi. Una funzione C¹ è localmente Lipschitziana. Enunciato del Teorema di Cauchy, in dettaglio. Un esempio di crescita biologica limitata: studio qualitativo di Problemi di Cauchy.

• 08.11.22, 2 ore, aula N1, 40
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale: esistenza e unicità locali, in dettaglio. Esempi: il paracadutista; la legge del calore di Newton, per esercizio. Un problema di Cauchy con esistenza solo locale.

• 09.11.22, 2 ore, aula B3.1, 42
  Il Lemma di Gronwall: motivazione, dimostrazione. Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale: unicità globale. Esempi. Il Modello di Lotka--Volterra, in dettaglio.

• 14.11.22, 2 ore, aula N1, 44
  Un problema di Cauchy con soluzione solo locale. Definizione di sublinearità: esempi. Teorema di Cauchy Globale: enunciato, dimostrazione in dettaglio. Esempi di problemi senza sublinearità ma con soluzione globale. Cenno alla teoria del controllo. Il modello SIR (ODE), studio analitico dettagliato.

• 16.11.22, 2 ore, aula B3.1, 46
  Introduzione a successioni e serie di funzioni: notazione, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: esempi. Una metaproposizione. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazioni equivalenti. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione.

• 21.11.22, 2 ore, aula N1, 48
  Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Una successione uniformemente convergente soddisfa alla condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e lipschitzianità.

• 23.11.22, 2 ore, aula B3.1, 50
  Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, il caso continuo ed il caso non continuo, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza.

• 28.11.22, 2 ore, aula N1, 52
  Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di potenze si studiano in C. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 29.11.22, 2 ore, aula N1, 54
  Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Osservazioni su sviluppi di Taylor e di Fourier. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier di una funzione fornisce la migliore approssimazione di quella funzione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione.

• 30.11.22, 2 ore, aula B3.1, 56
  Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier, in dettaglio. Sviluppi di funzioni pari/dispari. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale di serie di Fourier e caratterizzazione del limite, senza dimostrazione.

• 05.12.22, 2 ore, aula N1, 58
  Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier: esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 06.12.22, 2 ore, aula N1, 60
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 07.12.22, 2 ore, aula B3.1, 62
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 12.12.22, 2 ore, aula N1, 64
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 14.12.22, 2 ore, aula B3.1, 66
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 19.12.22, 2 ore, aula N1, 68
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

• 21.12.22, 2 ore, aula B3.1, 70
  Risposte a domande degli studenti. Risoluzione di esercizi dati in temi d'esame.

Esercitazioni

• 27 Settembre (2h), 2
  Esempi di applicazioni che sono metriche ed esempi di applicazioni che non lo sono, sia in dimensione finita sia in dimensione infinita. Insiemi aperti e chiusi, frontiera di un insieme.punti isolati e d' accumulazione per un insieme.

• 29 Settembre (2h), 4
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti. Risoluzione di esercizi vari sugli spazi metrici tratti da temi d'esame. Calcolo del diametro di un insieme.

• 6 Ottobre (2h), 6
  Esercizi sulle successioni in spazi metrici, esempi di spazi metrici completi e non completi, compatti e non compatti. Risoluzione di esercizi anche tratti da temi d'esame.

• 13 Ottobre (2h), 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, esempi di limiti che non esistono, utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 20 Ottobre (2h), 10
  Esercizi sulla continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili.

• 03 Novembre (2h), 12
  Esercizi sulla ricerca di punti di massimo e minimo liberi per funzioni di più variabili.à

• 10/11/22 (2h), 14
  Esercizi sulla ricerca di punti di massimo, di minimo e di sella locali e assoluti per funzioni di due variabili, anche vincolati.

• 15/11/22 (2h mattino), 16
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi vincolati, anche tratti da temi d'esame.

• 15/11/22 (2h pomeriggio lezione con gli informatici), 18
  I teoremi di riduzione e calcolo di integrali doppi.

• 18/11/22 (2h), 20
  Calcolo di integrali doppi, risolti mediante opportuni cambiamenti di variabili tra cui il passaggio alle coordinate polari.

• 22/11/22 (2h), 22
  Calcolo di integrali doppi. Esercizi sul teorema della funzione implicita, anche tratti da temi d'esame.

• 24/11/22 (2h), 24
  Esercizi sul teorema della funzione implicita, anche tratti da temi d'esame.

• 01/12/22 (2h), 26
  Risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili e lineari.

• 06/12/22 (2h pomeriggio lezione fatta con gli informatici), 28
  Risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. Studio qualitativo di problemi di Cauchy, applicando il teorema di Cauchy locale e globale.

• 13/12/22 (2h), 30
  Studio qualitativo di problemi di Cauchy, applicando il teorema di Cauchy locale e globale.

• 15/12/22 (2h), 32
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni.

• 20/12/22 (2h), 34
  Il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, tratti da temi d'esame.

• 23/12/22 (2h), 36
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, tratti da temi d'esame.