Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 15.09.21, 2 ore, aula B0.3, 2
  Presentazione del corso. Notazione: intervalli, inclusione debole, ruolo del simbolo ∞. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di sfera aperta.

• 20.09.21, 2 ore, aula N9, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di distanze equivalenti, motvazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi.

• 21.09.21, 2 ore, aula N3, 6
  Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione.

• 27.09.21, 2 ore, aula N9, 8
  Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

• 28.09.21, 2 ore, aula N3, 10
  Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Legame continuità - successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione.

• 04.10.21, 2 ore, aula N9, 12
  Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Enunciato del Teorema delle Contrazioni. applicazione nel caso reale. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione, necessità delle ipotesi.

• 05.10.21, 2 ore, aula N1, 14
  Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione, motivazione, notazione, esempi.

• 11.10.21, 2 ore, aula N9, 16
  Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione.

• 12.10.21, 2 ore, aula B3.1, 18
  Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione. Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante.

• 18.10.21, 2 ore, aula N9, 20
  Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio. Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi. Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, esempi, cenno alla definizone di numero di gradi di liberà.

• 19.10.21, 2 ore, aula N3, 22
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi, vari commenti, scambio delle coordinate, il caso n==1, l'equazione di Keplero, il calcolo ella derivata seconda e dello sviluppo di Taylor al secondo ordine. Notazione per le derivate.

• 25.10.21, 2 ore, aula N9, 24
  Il Teorema della Funzione Inversa: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione.

• 26.10.21, 2 ore, aula N3, 26
  Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione); definizioni di forme semidefinite/definite positive/negative. Diagonalizzazione di Gram - Schmidt: senza dimostrazione. Condizione necessaria e condizione sufficiente al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazioni, esempi. Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione in dettaglio.

• 02.11.21, 2 ore, aula N3, 28
  Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini, esempi. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni.

• 03.11.21, 2 ore, aula N1, 30
  Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi, una funzione C¹ è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Il Teorema di Peano: enunciato, senza dimostrazione. Il Teorema di Cauchy: enunciato completo. Studio qualitativo rigoroso di un Problema di Cauchy (crescita logistica, in dettaglio.

• 08.11.21, 2 ore, aula N9, 32
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy locale: esistenza e unicità, in dettaglio. Le poligonali di Eulero: definizione e cenni alle loro proprietà.

• 09.11.21, 2 ore, aula N3, 34
  Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Dipendenza continua delle soluzioni di un problema di Cauchy da dato iniziale e dalla funzione, con dimostrazione, ruolo ed effetto dell'esponenziale. Esempi di dipendenza continua della soluzione da dato iniziale e funzione in problemi di Cauchy, ruolo della limitatezza dell'intervallo temporale. Il decadimento radioattico: l'esame del ¹⁴C, il tempo di dimezzamento, in dettaglio. Il problema del paracadutista: studio qualitativo.

• 15.11.21, 2 ore, aula N9, 36
  Un Problema di Cauchy con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi. Legami lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione. Esempio di studio qualitativeo. Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Un modello SIR: definizione, osservazioni di vase, critiche.

• 16.11.21, 2 ore, aula N3, 38
  Introduzione agli integrali doppi, formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, esercizi. Successioni e serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di integrale, monotonia e positività, con dimostrazione.

• 22.11.21, 2 ore, aula N9, 40
  La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Integrazione grafica di un problema di Cauchy: esempio in dettaglio.

• 23.11.21, 2 ore, aula N3, 42
  Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. Un esempio di convergenza puntuale non uniforme. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata.

• 24.11.21, 2 ore, aula N1, 44
  L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione; enunciato anche nel caso specifico delle serie. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione.

• 29.11.21, 2 ore, aula N9, 46
  Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica, sue proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 30.11.21, 2 ore, aula N3, 48
  Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 07.12.21, 2 ore, aula N3, 52
  Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione.

• 13.12.21, 2 ore, aula N9, 54
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Risposte a domande degli studenti.

• 14.12.21, 2 ore, aula N3, 56
  Risposte a domande degli studenti.

• 21.12.21, 2 ore, aula N9, 58
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 22/09/21 (2h)
  Esercizi sugli spazi metrici: esempi di applicazioni che sono metriche sia in spazi di dimensione finita sia in spazi di dimensione infinita.

• 29/09/21 (2h)
  Intorno sferico in spazi di dimensione finita e infinita rispetto a metriche diverse. Insiemi aperti e chiusi, frontiera di un insieme. Risoluzione di esercizi tratti da temi d'esame.

• 06/10/21 (2h)
  Diametro di un insieme, esempi di metriche equivalenti e non equivalenti; esempi di spazi metrici completi e non completi. Risoluzione di esercizi anche tratti da temi d'esame.

• 13/10/21 (2h)
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Esempi di limiti che non esistono. Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 20/10/21 (2h)
  Esercizi sul calcolo di derivate parziali, derivate direzionali e sulla differenziabilità per funzioni di due variabili.

• 27/10/21 (2h)
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili tratti da temi d'esame.

• 10/11/21 (2h)
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili. Esercizi in cui si applica il teorema della funzione implicita.

• 17/11/21 (2h)
  Esercizi sulla funzione implicita, anche tratti da temi d'esame.

• 01/12/21 (2h)
  Ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili.

• 06/12/21 (2h)
  Ricerca dei punti di massimo e minimo in dominii con bordo, anche tratti da temi d'esame. Utilizzo delle curve di livello per la ricerca di max/min vincolati.

• 15/12/21 (2h)
  Calcolo di integrali doppi, applicando i teoremi di riduzione e sfruttando eventuali simmetrie del dominio di integrazione e della funzione integranda.

• 20/12/21 (2h)
  Risoluzione di integrali doppi mediante cambiamenti di coordinate.