Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 15.09.21, 2 ore, aula B0.3, 2
  Presentazione del corso. Notazione: intervalli, inclusione debole, ruolo del simbolo ∞. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di sfera aperta.

• 16.09.21, 2 ore, aula B3.1, 4
  Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato: esempi. Esempi di insiemi limitati/illimitati e finiti/infiniti. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è a sua volta uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Il complimentare di un aperto/chiuso è chiuso/aperto, senza dimostrazione.

• 20.09.21, 2 ore, aula B0.3, 6
  Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione.

• 21.09.21, 2 ore, aula B0.3, 8
  Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, con dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione.

• 22.09.21, 2 ore, aula B0.3, 10
  Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione.

• 27.09.21, 2 ore, aula B0.3, 12
  Continuità della composizione di funzioni, con dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi di R, senza dimostrazione, l'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi.

• 28.09.21, 2 ore, aula B0.3, 14
  Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il Teorema delle Contrazioni: motivazione, dimostrazione in dettaglio. Il caso di Analisi I.

• 29.09.21, 2 ore, aula B0.3, 16
  Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, senza dimostrazione. Il Teorema delle Contrazioni: esempi che mostrano la stretta necessità delle ipotesi. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione.

• 04.10.21, 2 ore, aula B0.3, 18
  Introduzone al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale: definizione, motivazione, notazione, esempi.

• 05.10.21, 2 ore, aula B0.3, 20
  Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione, differenziabilità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, senza dimostrazione.

• 06.10.21, 2 ore, aula B0.3, 22
  Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento: esempi. Una funzione con derivata nulla ma non costante.

• 11.10.21, 2 ore, aula B0.3, 24
  Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto stellato, su un aperto connesso, con definizioni e dimostrazioni. Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio.

• 13.10.21, 2 ore, aula B0.3, 26
  Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi, cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema, metodo delle tangenti per funzioni di una variabile. Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Implicita: dimostrazione dettagliata.

• 18.10.21, 2 ore, aula B0.3, 28
  Commenti al teorema della Funzione Implicita, esempi. Scambio delle coordinate, la derivata seconda, sviluppodi Taylor al secondo ordine. L'equazione di Keplero: esempi di calcolo delle derivate. Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione.

• 19.10.21, 2 ore, aula B0.3, 30
  Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione.

• 20.10.21, 2 ore, aula B0.3, 32
  Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: enunciato, dimostrazione.

• 25.10.21, 2 ore, aula B0.3, 34
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni.

• 26.10.21, 2 ore, aula B0.3, 36
  Definizione di funzione localmente Lipschitziana, esempi. Una funione C¹ è localmente Lipschitziana. Enunciato del Teorema di Cauchy, in dettaglio. Un esempio di crescita biologica limitata: studio qualitativo di Problemi di Cauchy.

• 02.11.21, 2 ore, aula B0.3, 38
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy: esistenza ed unicità, in dettaglio. Le poligonali di Eulero: descrizione. L'equazione per il decadimento radioattivo: studio qualitativo, tempo di dimezzamento, datazione con il ^14C.

• 03.11.21, 2 ore, aula B0.3, 40
  Il Lemma di Gronwall: motivazione, enunciato, dimostrazione in dettaglio.Esempi di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie: la caduta in un liquido, il paracadtista, il termometro: studi qualitativi ed applicazione del Teorema di Cauchy. Il sistema preda-predatore: studio qualitativo ed applicazione del Teorema di Cauchy.

• 08.11.21, 2 ore, aula B0.3, 42
  Un esercizio sulle equazioni differenziali ordinarie. Definizione di sublinearità, esempi. Il Teorema di Cauchy Locale: dimostrazione della dipendenza continua, in dettaglio. Un esempio di Problema di Cauchy con esistenza solo locale, in dettaglio. Ulteriori osservazioni sul sistema preda-predatore: costante del moto e suo ruole, per esercizio.

• 09.11.21, 2 ore, aula B0.3, 44
  Il Teorema di Cauchy globale: enunciato e dimostrazione, in dettaglio, esempi ed esercizi. Cenno ai sistemi autonomi: definizione, invarianza per traslazione temporale. Cenno alla teoria del controllo, esempio. Le soluzioni del sistema di Lotka-Volterra sono periodiche: uso della costante del moto. Cenno al modello SIR: presentazione e discussione critica.

• 10.11.21, 2 ore, aula B0.3, 46
  Introduzione agli integrali doppi, formule di riduzione, formula per il cambio di variabili, esercizi. Introduzione a successioni e serie di funzioni: notazione, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: esempi. Una metaproposizione.

• 15.11.21, 2 ore, aula B0.3, 48
  Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione.

• 16.11.21, 2 ore, aula B0.3, 50
  Una successione uniformemente convergente soddisfa alla condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, il caso continuo ed il caso non continuo, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio.

• 17.11.21, 2 ore, aula B0.3, 52
  Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0.

• 22.11.21, 2 ore, aula B0.3, 54
  Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di potenze si studiano in C. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 23.11.21, 2 ore, aula B0.3, 56
  Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 25.11.21, 2 ore, aula B0.3, 58
  Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier, in dettaglio. Il polinomio di Fourier di una funzione fornisce la migliore approssimazione di quella funzione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione.

• 29.11.21, 2 ore, aula B0.3, 60
  Osservazioni su sviluppi di Taylor e di Fourier. Sviluppi di funzioni pari/dispari. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Esercizi presi da un tema d'esame.

• 30.11.21, 2 ore, aula B0.3, 62
  Definizione di curva, di lunghezza di una curva, esempi. Regola di calcollo della lunghezza di una curva, senza dimostrazione. Introduzione al calcolo delle variazioni: motivazione, ambientamento. Il lemma fondamentale dela calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Risposte a domande degli studenti.

• 01.12.21, 2 ore, aula B0.3, 64
  L'equazione di Eulero-Lagrange: motivazione, deduzione rigorosa, esempi. Il problema della geodetica: stazionarietà.Risposte a domande degli studenti.

• 06.12.21, 2 ore, aula B0.3, 66
  Il problema della brachistocrona, anche con attrito. Risposte a domande degli studenti.

• 13.12.21, 2 ore, aula B0.3, 68
  Problemi di calcolo delle variazioini con vincolo integrale: giustificazione dell'equazione di Eulero-Lagrange con vincolo. Il problema isoperimetrico. Risposte a domande degli studenti.

• 14.12.21, 2 ore, aula B0.3, 70
  Risposte a domande degli studenti.

• 20.12.21, 2 ore, aula B0.3, 72
  Cenno al problema della catenaria. Risposte a domande degli studenti.

• 21.12.21, 2 ore, aula B0.3, 74
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 23/09/21 (2h)
  Spazi metrici: esercizi sugli spazi metrici, verifica di applicazioni che sono metriche sia in dimensione finita sia in dimensione infinita.

• 30/09/21 (1h)
  Intorno sferico in spazi di dimensione finita e infinita rispetto a metriche diverse. Insiemi aperti e chiusi, frontiera di un insieme,.. Risoluzione di temi d'esame.

• 07/10/21 (2h)
  Diametro di un insieme, esempi di metriche equivalenti e non equivalenti; esempi di spazi metrici completi e non completi. Risoluzione di esercizi anche tratti da temi d'esame.

• 12/10/21 (2h)
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili; esempi di limiti che non esistono. Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di limiti.

• 14/10/21 (2h)
  Studio della continuità di una funzione in un punto. Calcolo di derivate direzionali e parziali. Esempi di funzioni continue in un punto, ma non derivabili in tale punto ed esempi di funzioni derivabili in un punto, ma ivi non continue.

• 21/10/21 (2h)
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili. Risoluzione di esercizi anche tratti da temi d'esame.

• 27/10/21 (2h)
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili tratti da temi d'esame, controesempio al teorema del differenziale totale e controesempio al lemma di Schwartz.

• 28/10/21 (2h)
  Esercizi sulla differenziabilità per funzioni a valori vettoriali, esercizi sulla differenziabilità per la composizione di funzioni.

• 04/11/21 (2h)
  Esercizi sul teorema della funzione implicita, anche tratti da temi d'esame.

• 05/11/21 (2h)
  Esercizi sul teorema della funzione implicita, esercizi sull'invertibilità locale e globale.

• 11/11/21 (2h)
  Esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili.

• 18/11/21 (2h)
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi liberi ed esercizi sulla ricerca di massimi e minimi vincolati.

• 19/11/21 (2h)
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi in domini con bordo, parametrizzazione del bordo, ricerca di massimi in domini compatti.

• 24/11/21 (2h)
  Ricerca dei punti di max/min vincolati mediante le curve di livello, calcolo di semplici integrali doppi applicando i teoremi di riduzione.

• 02/12/21 (2h)
  Calcolo di integrali doppi mediante opportuni cambiamenti di variabili e sfruttando le simmetrie del dominio.

• 03/12/21 (2h)
  Esercizi sulla convergenza puntuale ed uniforme per successioni di funzioni. Il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

• 07/12/21 (2h)
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 09/12/21 (2h)
  Studio della convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale per serie di funzioni.

• 15/12/21 (2h)
  Esercizi sulle serie di potenze, calcolo del raggio di convergenza. Esercizi anche tratti da temi d'esame.

• 16/12/21 (2h)
  Esercizi sulle serie di Fourier, calcolo dei coefficienti di Fourier, calcolo della somma di una serie di Fourier.