ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica
Anno Accademico 2020-2021
Analisi Matematica - Programma Dettagliato:
Lezioni
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14.09.19, 2 ore, lezione "a distanza", 2
Presentazione del corso. Notazione: intervalli, inclusione
debole, ruolo del simbolo ∞. Spazi metrici: motivazione,
definizione, esempi.
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16.09.19, 2 ore, lezione "a distanza", 4
Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato:
esempi. Esempi di insiemi limitati/illimitati e
finiti/infiniti. Definizione di sfera apert, esempi. Ogni
sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio
metrico, con dimostrazione. Definizione di distanze
equivalenti, motvazione. Definizione di spazio normato. Ogni
spazio normato è anche uno spazio metrico con una
distanza invariante per traslazioni e omogenea, con
dimostrazione. Definizioni di punto interno, esterno, di
frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte
interna e chiusura; definizione di insieme aperto e
chiuso. Esempi. Complementari di aperti/chiusi, senza
dimostrazione. Un insieme contiene la sua parte interna ed
è contenuto nella chiusura, con dimostrazione;
esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o
è isolato per quell'insieme, con dimostrazione.
Definizione di successione, esempi. Definizione di successione
limitata/illimitata.
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17.09.19, 2 ore, lezione "a distanza", 6
Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico:
motivazione, critica, esempi. Una definizione
equivalente. Unicità del limite, con
dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione
attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione
della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione.
Complementari di aperti/chiusi, senza
dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato,
definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo,
esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge
allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una
successione è di Cauchy, allora è limitata, con
dimostrazione. Se una successione è convergente, allora
è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati,
sconnessi e connessi: motivazione, definizioni,
esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi
in Rn, senza
dimostrazione.
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21.09.19, 2 ore, lezione "a distanza", 8
Risposte a domande degli studenti. Definizione di insieme
compatto: motivazione, esempi. I compatti
di Rn sono i chiusi e
limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico,
compattezza implica chiusura e limitatezza, con
dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della
definizione, sua giustificazione, esempi. Commenti alla
definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e
2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo
dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul
calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Legame
tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con
dimostrazione.
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24.09.19, 2 ore, lezione "a distanza", 10
Definizione di continuità: costruzione della
definizione, una definizione che "non
funziona". Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue
è continua: costruzione dell'enunciato,
dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione. Legame continuità -
successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto
attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema
di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso
di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso
attraverso una funzione continua è un connesso, senza
dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi
1. Definizione di funzione uniformemente continua,
esempi. Legame uniforme continuità - continuità,
con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto
è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con
dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana:
motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione
Lipschitz è uniformemente continua, con
dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di
Lipschitz.
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28.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 12
Ruolo del valore numerico della costante di
Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Enunciato del
Teorema delle Contrazioni. applicazione nel caso reale. Il
teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato,
dimostrazione, necessità delle ipotesi. Il teorema
delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro:
motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della
somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità
della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite
del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per
esercizio. Continuità del prodotto scalare per
funzione, dimostrazione per esercizio.
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05.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 14
Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti,
esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni
lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di
matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al
calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali:
definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di
funzione derivabile. Una funzione definita
su R2 derivabile e con tutte le
derivate direzionali ma non continua. Definizione
di o piccolo. Definizione di derivata
totale. Unicità della derivata totale, con
dimostrazione. La differenziabilità implica la
continuità, con dimostrazione. Regole di derivazione:
derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per
funzione, con dimostrazione. Una funzione differenziabile
è anche derivabile parzialmente ed è derivabile
in ogni direzione, enunciato.
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08.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 16
Una funzione differenziabile è anche derivabile
parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con
dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le
derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la
derivata direzionale attraverso la derivata totale, con
dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione
dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla
notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare
attraverso il prodotto di matrici, con dimostrazione. Teorema
del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione. Il
Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema
degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Una
funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita,
con derivata nulla, non costante. Definizione di segmento, di
insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla
è costante su un segmento, su un aperto convesso.
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12.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 18
Una funzione con derivata nulla è costante su un aperto
connesso, con dimostrazioni. Il Lemma di Schwarz: motivazione,
enunciato e dimostrazione in dettaglio. Una funzione lineare
su Rn
→ Rn é
continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile,
con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il teorema
della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero,
esempi. Definizione di funzione implicita, esempi. Il Teorema
della Funzione Implicita: il caso lineare; enunciato generale
in dettaglio.
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15.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 20
Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio,
dimostrazione di esistenza e continuità, una
dimostrazione sbagliata della
differenziabilità. Esempi. Notazione per le
derivate. Esercizio sul teorema della funzione
implicita. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula,
esempi.
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19.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 22
Il Teorema della funzione Inversa: enunciato nel
caso C1, senza
dimostrazione, regola di derivazione (calcolo). Esercizio sul
teorema della funzione implicita. Forme quadratiche:
motivazione, definizione, esempi, proprietà principali
(con dimostrazione); definizioni di forme
semidefinite/definite positive/negative. Diagonalizzazione di
Gram - Schmidt: senza dimostrazione. Condizioni
necessarie/sufficienti al secondo ordine per punti di
massimo/minimo: enunciati, dimostrazioni, esempi. Introduzione
ai problemi di ottimizzazione vincolata ed al teorema dei
moltiplicatori di Lagrange. Significato geometrico del
gradiente, dimostrazione.
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22.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 24
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie:
significato dei termini, esempi. Forma normale, ordine:
definizione, esempi. Riduzione in forma normale (Teorema della
Funzione Implicita). Riduzione al primo ordine, esempi,
significato. La crescita umana sulla Terra, studio
qualitativo, esempi di crescita esponenziale. Un Problema di
Cauchy senza soluzione. Un Problema di Cauchy con infinite
soluzioni. Il modello SIR.
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26.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 26
Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange: visione geometrica,
enunciato, dimostrazione in dettaglio nel
caso n=2. Equazioni differenziali ordinarie: termini,
definizione di soluzione, Teorema di Peano (solo
enuinciato). Funzioni localmente Lipschitziane: definizione,
esempi, relazioni con Lipschitzianità e
continuità. Nozione di Problema Ben Posto. Teorema di
Cauchy Locale: introduzione, enunciato.
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29.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 28
Dimostrazione, in dettaglio, del Teorema di Cauchy Locale:
esistenza e unicità. Il Lemma di Gronwall: motivazione,
enunciato, dimostrazione. Il lancio di un paracadutista:
modello e studio qualitativo.
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02.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 30
Dipendenza continua delle soluzioni di un problema di Cauchy
da dato iniziale e dalla funzione, con dimostrazione, ruolo ed
effetto dell'esponenziale. Un Problema di Cauchy con
esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare,
esempi. Legami lipschitzianità - sublinearità e
limitatezza - sublinearità, con
dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale:
motivazione, scelta di Rn,
dimostrazione. Un modello di cresciat biologica, studio
qualitativo rigoroso. Il sistema di Lotka-Volterra:
formulazione, significato, studio qualitativo, costante del
moto.
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05.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 32
Cenno alla teoria del controllo per equazioni differenziali
ordinarie. Qualche informazione sul modello SIR, nella
versione più semplice. Introduzione agli integrali
multipli: regole di calcolo, regola per il cambiamento di
coordinate. Esempio: il calcolo del volume della sfera.
Introduzione a successioni e serie di funzioni.
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09.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 34
Successioni e serie di funzioni: motivazioni, esempi, come
intendere le serie di funzioni. Definizione di convergenza
puntuale: visualizzazione, motivazione,
esempio. Una meta-proposizione: proprietà che
passano al limite sotto al segno di integrale, monotonia e
positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme:
necessità, definizione, formulazione
equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza
puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente
puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza
uniforme e convergenza in C0, in
dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con
dimostrazione.
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12.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 36
Una successione di Cauchy per la
convergenza uniforme è uniformemente convergente, con
dimostrazione. Un esempio di convergenza puntuale non uniforme.
C0 è completo, con
dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto,
esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista
funzionale: linearità e non continuità (in ogni
punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto
di vista funzionale: linearità e
Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al
segno di integrale, il caso continuo ed il caso non
continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione,
con dimostrazione; enunciato anche nel caso specifico delle
serie.
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16.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 38
Definizione di convergenza totale. La convergenza
totale implica la convergenza uniforme, con
dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo
di C. La convergenza in un punto implica la
convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non
convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un
cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di
convergenza attraverso il sup, perché non attraverso
l'inf? Criterio del rapporto e criterio della
radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze
notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale -
funzioni trigonometriche, con
dimostrazione. eπ i
+1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza
dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di
variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica,
sue proprietà, con dimostrazione.
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19.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 40
Riepilogo dei punti principali delle lezioni precedenti. Un
esempio di funzione C∞ non
analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier:
definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il
caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione
di una funzione definita su un intervallo limitato ad una
funzione periodica su R, come trasformare una
funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica,
con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e
di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di
prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità),
senza dimostrazione.
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23.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 42
Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base
ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una
serie di Fourier. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore
approssimazione nel senso della distanza quadratica, con
dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti,
esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle
serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione.
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27.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 44
Linearità dei coefficienti di Fourier, coefficienti di
Fourier di funzioni pari/dispari, funzioni diverse con gli
stessi coefficienti di fourier: esempi.Introduzione al calcolo
delle variazioni. Definizione di curva, di lunghezza di una
curva. Regola di calcolo della lunghezza per
funzioni C1. Risposte a domande degli
studenti e svolgimento di temi d'esame.
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30.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 46
Il Lemma Fondamentale del Calcolo delle Variazioni: con
dimostrazione, anche nel caso vettoriale, con
variazione C0
e C1. Le equazioni di Eulero -
Lagrange di un funzionale integrale, con
dimostrazione. L'esempio della geodetica. Risposte a domande
degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
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03.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 48
Il Problema della Brachistocrona, in dettaglio. Risposte a
domande degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
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07.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 50
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi
d'esame.
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10.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 52
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi
d'esame.
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14.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 54
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi
d'esame.
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17.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 56
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi
d'esame.
Esercitazioni
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23.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 2
Esempi di spazi metrici e verifica di metriche, anche in spazi
di dimensione infinita. Natura geometrica della sfera aperta in R^2,
rispetto ad alcune metriche.
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30.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 4
Esercizi sugli insiemi aperti, chiusi, sulla frontiera e sulla
chiusura di un insieme. Esempi di metriche equivalenti e non
equivalenti. Esercizi sulla convergenza di successioni in spazi
metrici.
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07.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 6
Esercizi sulle contrazioni e sulle funzioni lipschitziane.
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, esempi di
limiti che non esistono.
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14.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 8
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche
mediante il passaggio alle coordinate polari. Esercizi sulla
derivabilità parziale e direzionale per funzioni di più variabili.
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21.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 10
Esercizi sulla continuità e derivabilità per funzioni di più
variabili, anche tratti da temi d'esame.
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28.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 12
Esercizi sulla differenziabilità per funzioni di più
variabili, anche tratti da temi d'esame.
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04.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 14
Esercizi sulla differenziabilità per la funzione composta e
per funzioni a valori vettoriali.
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07.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 15
Esercizi sulla funzione implicita.
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11.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 17
Esercizi sulla funzione implicita.
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27.11.20, 4 ore, lezione "a distanza", 21
Ricerca dei punti di max\min liberi.
Correzione del tema d'esame del 19.11.2020.
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02.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 23
Ricerca dei punti di max\min vincolati.
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09.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 25
Risoluzione di integrali applicando i teoremi di riduzione.
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11.12.20, 1 ora, lezione "a distanza", 26
Calcolo di integrali doppi, risolubili anche mediante
cambiamenti di variabili.
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16.12.20, 2 ore, lezione "a distanza", 28
Calcolo di integrali doppi, tratti anche da temi d'esame.
