ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Anno Accademico 2020-2021
Analisi Matematica - Programma Dettagliato:
Lezioni
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14.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 2
Presentazione del corso. Notazione: intervalli, inclusione
debole, ruolo del simbolo ∞. Spazi metrici: motivazione,
definizione, esempi. Definizione di diametro, di insieme
limitato/illimitato.
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15.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 4
Esempi di insiemi limitati/illimitati e
finiti/infiniti. Definizione di sfera aperta, esempi. Ogni
sottoinsieme di uno spazio metrico è a sua volta uno spazio
metrico, con dimostrazione. Definizione di distanze
equivalenti, motvazione. Definizione di spazio normato. Ogni
spazio normato è anche uno spazio metrico con una
distanza invariante per traslazioni e omogenea, con
dimostrazione. Definizioni di punto interno, esterno, di
frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte
interna e chiusura. Esempi.
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16.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 6
Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto
nella chiusura, con dimostrazione; esempi; definizione di
insieme aperto e chiuso. Il complmentare di un aperto/chiuso
è chiuso/aperto, senza dimostrazione. Un punto di un
insieme o è di accumulazione o è isolato per
quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione,
esempi. Definizione di successione
limitata/illimitata. Definizione di limite: motivazione,
critica, esempi. Unicità del limite, con
dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione
attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione
della chiusura attraverso successioni, con
dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato,
definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo,
esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy,
con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy,
allora è limitata, con dimostrazione. Complementari di
aperti/chiusi, senza dimostrazione. Insiemi separati,
sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi.
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17.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 8
Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione,
definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi
in Rn, senza
dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione,
esempi. I compatti di Rn
sono i chiusi e limitati, con dimostrazione. In uno spazio
metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con
dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della
definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del
limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di
funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti
alla definizione di limite per funzioni: differenze tra
analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di
limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate
polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni
reali di due variabili.
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22.09.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 10
Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali
di due variabili. Definizione di continuità:
costruzione della definizione, una definizione che "non
funziona". Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione. Legame tra limiti e
continuità, con dimostrazione. Continuità della
composizione di funzioni, con dimostrazione. Legame
continuità - limiti di successioni, con
dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una
funzione continua è un compatto (Teorema di
Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di
funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi
di R, senza dimostrazione, l'immagine di un
connesso attraverso una funzione continua è un
connesso, senza dimostrazione, motivazione. Definizione di
funzione uniformemente continua, esempi.
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23.09.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 12
Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Una
funzione continua su un compatto è uniformemente
continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione
di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di
Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente
continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della
costante di Lipschitz. Definizione di contrazione,
commenti. Il Teorema delle Contrazioni: motivazione, esempi
che mostrano la stretta necessità delle ipotesi,
dimostrazione in dettaglio. Il caso di Analisi I.
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24.09.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 14
Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un
parametro: motivazione, senza dimostrazione. Limite della
somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità
della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite
del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per
esercizio. Continuità del prodotto scalare per
funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di
indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi.
Continuità di funzioni di più variabili:
esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni
lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di
matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice:
varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle
proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto
e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al
calcolo differenziale. Derivate parziali: definizione,
motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione
derivabile. Una funzione definita
su R2 derivabile e con tutte le
derivate direzionali ma non continua.
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29.09.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 16
Derivate direzionali: definizione, motivazione, notazione,
esempi. Una funzione definita
su R2 derivabile e con tutte le
derivate direzionali ma non continua. Definizione
di o piccolo. Definizione di derivata
totale. Unicià della derivata totale, con
dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua,
con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche
derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con
dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le
derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità
della somma, con dimostrazione, differenziabilità del
prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio.
Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato,
dimostrazione, osservazioni sulla notazione.
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30.09.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 18
Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il
prodotto di matrici, dimostrazione per esercizio. Il teorema
del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel
caso n=2, m=1, come passare al
caso m>1 e n>1, enunciato nel caso
generale. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2:
esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione,
dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso,
esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su
un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con
dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque
è definita, con derivata nulla, non costante.
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05.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 20
Ripetizione: come calcolare la derivata totale,
esempi. Proprietà delle funzoni lineari:
continuità, differenziabilità, calcolo della
derivata totale. Problema del calcolo di derivate di ordine
superiore al primo. Il Lemma di Schwarz: enunciato generale,
particolarizzazione, dimostrazione in dettaglio, esempi.
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06.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 22
Il teorema della funzione implicita: motivazione, equazione
di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi,
cenno al problema del calcolo del numero di gradi di
libertà di un sistema, metodo delle tangenti per
funzioni di una variabile. Il Teorema della funzione
Implicita: dimostrazione dettagliata. Esempi. Notazione per le
derivate.
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07.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 24
Commenti al teorema della Funzione Implicita. Il Teorema
della Funzione Implicita: il caso lineare, ruolo delle
dimensioni. Esempi. Derivata della funzione implicita: una
dimostrazione sbagliata. Legame con il numero di
gradi di libertà. Il Teorema della funzione Inversa:
enunciato, dimostrazione nel
caso C1, regola di
derivazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il
perché del caso m=1, definizioni di
massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di
massimi/minimi liberi. Enunciato del Teorema di
Fermat.
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14.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 26
Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché
del caso m=1, definizioni di massimo/minimo
locale/assoluto, ricerca di
massimi/minimi liberi. Enunciato del Teorema di
Fermat, dimostrazione. Forme quadratiche: motivazione,
definizione, esempi, proprietà principali (con
dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative,
diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione).
Definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di
massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo
ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione.
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15.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 28
Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Il
significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Condizioni
necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia
di massimo/minimo, con dimostrazioni. Il gradiente è
perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Il
teorema dei moltiplicatori di Lagrange: enunciato,
dimostrazione.
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20.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 30
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie:
significato dei termini, esempi. Definizione di equazione
differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma
normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione
di soluzione. Necessità della condizione iniziale,
esempio. Una equazione senza soluzione, Esempio di studio
grafico: la popolazione umana sulla terra,
il 14C, un modello SIR.
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21.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 32
Cenno alla teoria del controllo, esempi. Definizione di
funzione localmente Lipschiotziana, esempi. Il Teorema di
Cauchy Locale: enunciato ed inizio della dimostrazione.
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22.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 34
Il Teorema di Cauchy Locale: conclusione della dimostrazione
di esistenza e unicità, in dettaglio. Il Lemma di
Gronwall: motivazione, enunciato, dimostrazione. Un modello di
crescita logistica, studio qualitativo, in dettaglio.
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27.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 36
Conclusione del Teorema di Cauchy Locale: dipendenza continua,
dimostrazione in dettaglio. Un problema di Cauchy con
soluzionesolo locale, esempio in dettaglio. Definizione di
funzione sublineare, esempi, legame con la continuità.
e con la limitatezza. Il problema del paracadutista: studio
qualitatio completo. Il Teorema di Cauchy Globale: enunciato e
dimostrazione completa.
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28.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 38
Equazioni differenziali autonome: definizione; esempi;
invarianza per traslazione temporale, con
dimostrazione. Esempio dettagliato di studio qualitative di
una equazione autonoma del primo ordine, ruolo del Teorema di
Cauchy. Il sistema di Lotka-Volterra, studio qualitativo in
dettaglio: applicabilità del Teorema di Cauchy,
positività delle soluzioni, forma delle soluzioni,
costante del moto. Sistema SIR: introduzione allo studio
qualitativo.
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28.10.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 40
Cenno alla teoria del controllo per equazioni differenziali
ordinarie. Integrali multipli: motivazione, regole di calcolo,
regola per il cambiamento di coordinate. Successioni e serie
di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di
convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione,
esempio. Una metaproposizione tipica.
Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia,
positività, non la continuità, con dimostrazione
ed esempio. La convergenza uniforme: necessità,
definizione, formulazione equivalente. Relazione tra
convergenza uniforme e convergenza puntuale, con
dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non
uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza
in C0, in dettaglio.
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03.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 42
La continuità passa al limite uniforme, con
dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza
uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso
delle serie di funzioni. Una successione di Cauchy per la
convergenza uniforme è uniformemente convergente, con
dimostrazione. C0 è
completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con
dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema
di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio
in dettaglio.
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04.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 44
La derivazione da un punto di vista funzionale:
linearità e non continuità (in ogni punto),
dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista
funzionale: linearità e
lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al
segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, il
caso continuo ed il caso non continuo, con
dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di
limitatezza del dominio. Un legame tra convergenza uniforme e
derivazione, con dimostrazione.
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10.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 46
Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme. Definizione
di convergenza totale. La convergenza totale implica la
convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle
serie di potenze: ruolo di C. La convergenza
in un punto implica la convergenza su un cerchio, con
dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non
convergenza fuori da un cerchio, con
dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso
il sup, perché non attraverso l'inf?
Criterio del rapporto e criterio della radice, senza
dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro
raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni
trigonometriche, con dimostrazione. eπ
i +1=0. Raggio di convergenza della serie delle
derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di
potenze si studiano in C.
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11.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 48
Perché le serie di potenze si studiano
in C. Definizione di funzione
analitica. Proprietà delle funzioni analitiche, con
dimostrazione in dettaglio. Sviluppo in serie di Taylor,
esempi. Una funzione C∞ non
analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di
fourier. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e
coseni (relazioni di ortogonalità), senza
dimostrazione.
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17.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 50
Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione
periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni
costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione
definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica
su R, come trasformare una
funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica,
con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e
di serie trigonometrica. analogia tra sviluppi di Fourier e
scrittura dei vettori di R2
o R3, in dettaglio.
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18.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 52
Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie
di Fourier uniformemente convergente, con
dimostrazione. Interpretazione geometrica del polinomio di
Fourier (migliore approssimazione nel senso della distanza
quadratica), con dimostrazione.
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19.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 54
Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi
sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier,
esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per
la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione.
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24.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 56
Introduzione al Calcolo delle Variazioni: il problema della
geodetica ed il problema della brachistocrona. Il Lemma
Fondamentale del Calcolo delle Variazioni, con
dimostraione. Il problema della Geodetica: definizione di
curcva, di lunghezza di una curva e regola per il suo
calcolo. Risposte a domande degli studenti e svolgimento di
esercizi presi da temi d'esame.
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25.11.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 58
Estensioni del Lemma Fondamentale del Calcolo delle Variazioni
ai casi vettoriali e C1, co
dimostrazione. Il Teorema sull'Equazione di Eulero - Lagrange,
con dimostrazione. Il caso della geodetica. Svolgimento di
esercizi presi da temi d'esame.
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01.12.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 60
Il problema della Brachistocrona: inquadramento,
formalizzazione, equazione di eulero-Lagrange, forma della
cicloide. Risposte a domande degli studenti.
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03.12.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 62
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
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08.12.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 64
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
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09.12.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 66
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
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15.12.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 68
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
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16.12.2020, 2 ore, lezione "a distanza", 70
Risposte a domande degli studenti e svolgimento di temi d'esame.
Esercitazioni
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21.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 2
Esempi di spazi metrici e verifica di metriche, anche in spazi
di dimensione infinita. Natura geometrica della sfera aperta in R^2,
rispetto ad alcune metriche.
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28.09.20, 2 ore, lezione "a distanza", 4
Esercizi sugli insiemi aperti, chiusi, sulla frontiera e sulla
chiusura di un insieme. Esempi di metriche equivalenti e non
equivalenti. Esercizi sulla convergenza di successioni in
spazi metrici.
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01.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 6
Esercizi sulle contrazioni e sulle funzioni lipschitziane.
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Esempi di limiti che
non esistono.
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08.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 8
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche
mediante il passaggio alle coordinate polari. Esercizi sulla
derivabilità parziale e direzionale per funzioni di più
variabili.
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09.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 10
Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni
di più variabili, anche tratti da temi d'esame. Applicazioni del
teorema del differenziale totale.
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12.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 12
Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni di più
variabili, tratti da temi d'esame.
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19.10.20, 2 ore, lezione "a distanza", 14
Esercizi sulla differenziabilità per funzioni a valori
vettoriali, anche tratti da temi d'esame.
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02.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 15
Esercizi sulla funzione implicita, anche tratti da temi d'esame.
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05.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 17
Esercizi sulla funzione implicita e sull'invertibilità locale
e globale.
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06.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 19
Esercizi sull'invertibilità locale e globale,
esercizi sulla ricerca dei punti di massimo e di minimo.
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09.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 21
Esercizi sulla ricerca di punti di massimo e di minimo liberi
per funzioni di più variabili.
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12.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 23
Esercizi sulla ricerca di punti di massimo e minimo vincolati,
mediante la parametrizzazione del bordo.
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13.11.20, 2 ore, lezione "a distanza", 25
Esercizi sulla ricerca di punti di massimo e minimo per funzioni di
più variabili mediante le curve di livello.
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16.11.20, 2 ore, lezion "a distanza", 27
Calcolo di integrali doppi, applicando i teoremi di riduzione.
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23.11.20, 2 ore, lezion "a distanza", 29
Calcolo di integrali doppi, anche mediante opportuni cambiamenti di coordinate.
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30.11.20, 2 ore, lezion "a distanza", 31
Esercizi sulle successioni di funzioni
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07.12.20, 2 ore, lezion "a distanza", 33
Esercizi sulle successioni di funzioni.
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10.12.20, 2 ore, lezion "a distanza", 35
Esercizi sulle serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale.
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14.12.20, 2 ore, lezion "a distanza", 37
Esercizi sulle serie di potenze.
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17.12.20, 2 ore, lezion "a distanza", 39
Esercizi sulle serie di Fourier.
