Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella & Francesca Marcellini

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 16.09.19, 2 ore, aula B3.1, 2 (Colombo)
  Presentazione del corso. Notazione: intervalli, inclusione debole, ruolo del simbolo ∞. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato: esempi. Esempi di insiemi limitati/illimitati e finiti/infiniti. Definizione di sfera apert, esempi.

• 17.09.19, 2 ore, aula N10
  Lezione sospesa.

• 19.09.19, 2 ore, aula B0.4
  Lezione sospesa.

• 23.09.19, 2 ore, aula N5, 4 (Colombo)
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di distanze equivalenti, motvazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Definizione di successione limitata/illimitata.

• 24.09.19, 2 ore, aula N5, 6 (Colombo)
  Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Una definizione equivalente. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi (senza dimostrazioni). Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione.

• 26.09.19, 2 ore, aula Consiliare, 8 (Colombo)
  Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

• 30.09.19, 2 ore, aula N8, 10 (Colombo)
  Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Legame continuità - successioni, con dimostrazione.

• 01.10.19, 2 ore, aula N5, 12 (Colombo)
  L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Enunciato del Teorema delle Contrazioni. applicazione nel caso reale.

• 03.10.19, 2 ore, aula B0.4, 14 (Colombo)
  Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione, necessità delle ipotesi. Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi.

• 07.10.18, 2 ore, aula N8, 16 (Colombo)
  Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione.

• 08.10.19, 2 ore, aula N5, 18 (Colombo)
  Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, con dimostrazione. Teorema del differenziale totale, enunciato, ruolo, dimostrazione.

• 14.10.19, 2 ore, aula N10, 20 (Colombo)
  Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio.

• 15.10.19, 2 ore, aula N5, 22 (Colombo)
  Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi. Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, inizio della dimostrazione di esistenza e continuità

• 17.10.19, 2 ore, aula B0.6, 24 (Colombo)
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi. Notazione per le derivate. Il Teorema della Funzione Inversa: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C¹, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita.

• 21.10.19, 2 ore, aula N8, 26 (Colombo)
  Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi.

• 22.10.19, 2 ore, aula N5, 28 (Colombo)
  Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione); definizioni di forme semidefinite/definite positive/negative. Diagonalizzazione di Gram - Schmidt: senza dimostrazione. Condizione necessaria e condizione suficiente al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazioni, esempi. Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato

• 23.10.19, 2 ore, aula N10, 30 (Colombo)
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione in dettaglio. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie in forma normale di ordine 1: significato dei termini, esempi.

• 24.10.19, 2 ore, aula B0.5, 32 (Marcellini)
  Introduzione agli integrali doppi, formule di riduzione, esercizi.

• 28.10.19, 2 ore, aula N8, 34 (Colombo)
  Un problema di Cauchy con infinite soluzioni: esempio in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi. Se una funzione è C¹ allora è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Se una funzione è localmente Lipschitz allora è continua. Enunciato del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio. Cenno alle poligonali di Eulero. Un esempio di crescita biologica limitata: studio qualitativo ed uso del Teorema di Cauchy.

• 29.10.19, 2 ore, aula N5, 36 (Colombo)
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy: esistenza ed unicità, in dettaglio.

• 31.10.19, 2 ore, aula B0.5, 38 (Colombo)
  Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Dipendenza continua delle soluzioni di un problema di Cauchy da dato iniziale e dalla funzione, con dimostrazione, ruolo ed effetto dell'esponenziale. Esempi di dipendenza continua della soluzione da dato iniziale e funzione in problemi di Cauchy, ruolo della limitatezza dell'intervallo temporale. Un Problema di Cauchy con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi. Legami lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione.

• 04.11..19, 2 ore, aula N8, 40 (Colombo)
  Un problema di Cauchy senza sublinearità ma con esistenza globale, in dettaglio. Il problema del paracadutista, in dettaglio. Equazioni autonome: definizione. Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Esempio di integrazione di un problema di Cauchy assegnato mediante un grafico.

• 07.11.19, 2 ore, aula B0.5, 42 (Marcellini)
  Integrali doppi:

• 11.11.19, 2 ore, aula N8, 44 (Colombo)
  Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di integrale, monotonia e positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 12.11.19, 2 ore, aula N5, 46 (Colombo)
  Un esempio di convergenza puntuale non uniforme. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione; enunciato anche nel caso specifico delle serie.

• 14.11.19, 2 ore, aula MTA, 48 (Marcellini)
  Integrali doppi.

• 18.11.19, 2 ore, aula N8, 50 (Colombo)
  Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica, sue proprietà, con dimostrazione.

• 19.11.19, 2 ore, aula N5, 52 (Colombo)
  Ripetizione dei punti principali della lezione precedente. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione.

• 21.11.19, 2 ore, aula MTA, 54 (Marcellini)
  Integrali doppi.

• 25.11.19, 2 ore, aula N8, 56 (Colombo)
  Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier della combinazione lineare di 2 funzioni, coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari, con dimostrazione. Esempio di calcolo di serie di Fourier.

• 26.11.19, 2 ore, aula N5, 58 (Colombo)
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Soluzione di esercizi proposti dagli studenti e di esercizi presi da temi d'esame.

• 28.11.19, 2 ore, aula MTA, 60 (Colombo)
  Introduzione al calcolo delle variazioni. definizione di lunghezza di una curva, regola di calcolo per curve C¹. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione anche nel caso vettoriale. Equazione di eulero Lagrange per un funzionale integrale, con dimostraione. Il problema della geodetica, in dettaglio. Risoluzione di un esercizio proposto dagli studenti.

• 18.12.19, 2 ore, aula MTB, 62 (Colombo)
  Il problema della brachistocrona, senza tutti i conti. Risoluzione di esercizi proposti dagli studenti.

• 19.12.19, 2 ore, aula B0.5, 64 (Colombo)
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 18.09.19, 2 ore, aula N10
  Lezione sospesa.

• 25.09.19, 2 ore, aula N10, 2 (Marcellini)
  Esercizi sugli spazi metrici: distance, sfere, metriche equivalenti.

• 02.10.19, 2 ore, aula N10, 4 (Marcellini)
  Esercizi sugli spazi metrici: punti interni, esterni, di accumulazione; limiti di successioni, completezza.

• 09.10.19, 2 ore, aula, 6 (Casella)
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, esempi di limiti che non esistono, calcolo di limiti mediante il passaggio alle coordinate polari.

• 10.10.19, 2 ore, aula B0.5, 8 (Marcellini)
  Esercizi sugli spazi metrici: limiti, completezza, compattezza, funzioni uniformemente continue, Lipschitzm contrazioni.

• 16.10.19, 2 ore, aula N10, 10 (Casella)
  Continuità di una funzione di più variabili, calcolo di derivate parziali e direzionali, anche tratti da temi d'esame.

• 30.10.19, 2 ore, aula N9, 12 (Casella)
  Esercizi sulla differenziabilità per funzioni di più variabili, anche tratti da temi d'esame

• 05.11.19, 2 ore, aula N10, 14 (Casella)
  Esercizi sulla differenziabilità per funzioni a valori vettoriali. Esercizi sulla differenziabilità della funzione composta, anche per funzioni a valori vettoriali.

• m 06.11.19, 2 ore, aula MTB, 16 (Casella)
  Ricerca dei punti di massimo e minimo liberi per funzioni di più variabili, anche tratti da temi d'esame.

• m 13.11.19, 2 ore, aula MTB, 18 (Casella)
  Ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati per funzioni di più variabili, anche tratti da temi d'esame.

• m 20.11.19, 2 ore, aula MTB, 20 (Casella)
  Ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati tratti da temi d'esame.

• 27.11.19, 2 ore, aula MTB, 22 (Casella)
  Ricerca dei punti di massimo e minimo liberi per funzioni di più variabili con curve di livello, anche tratti da temi d'esame.

• 03.12.19, 2 ore, aula N5, 24 (Casella)
  Esercizi sulla funzione implicita, anche tratti da temi d'esame.

• 04.12.19, 2 ore, aula MTB, 26 (Casella)
  Esercizi sull'invertibilità locale e globale, anche tratti da temi d'esame.

• 10.12.19, 2 ore, aula N5, 28 (Casella)
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni.

• 11.12.19, 2 ore, aula MTB, 30 (Casella)
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni.

• 17.12.19, 2 ore, aula N5, 32 (Casella)
  Esercizi sui problemi di Cauchy, applicazioni dei teoremi di esistenza e unicità di Cauchy locale e globale.