Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella & Francesca Marcellini

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 16.09.18, 2 ore, aula N10, 2 (Colombo)
  Presentazione del corso. Notazione: intervalli, inclusione debole, ruolo del simbolo ∞. Spazi metrici: motivazione, definizione, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato: esempi. Esempi di insiemi limitati/illimitati e finiti/infiniti. Definizione di sfera aperta, esempi. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è a sua volta uno spazio metrico, con dimostrazione.

• 18.09.18, 3 ore, aula N5
  Lezione sospesa.

• 19.09.18, 2 ore, aula N11
  Lezione sospesa.

• 23.09.19, 2 ore, aula N5, 4 (Colombo)
  Definizione di distanze equivalenti, motvazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura; definizione di insieme aperto e chiuso. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione, esempi. Definizione di successione limitata/illimitata.

• 25.09.19, 3 ore, aula N5, 7 (Colombo)
  Il complimentare di un aperto/chiuso è chiuso/aperto, senza dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, con dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione.

• 26.09.19, 2 ore, aula N11, 9 (Colombo)
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esempi di esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 30.09.19, 2 ore, aula N10, 11 (Colombo)
  Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Continuità della composizione di funzioni, con dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi di R, senza dimostrazione, l'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi.

• 02.10.19, 3 ore, aula N5, 14 (Colombo)
  Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il Teorema delle Contrazioni: motivazione, esempi che mostrano la stretta necessità delle ipotesi, dimostrazione in dettaglio. Il caso di Analisi I. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, senza dimostrazione.

• 07.10.18, 2 ore, aula N10, 16 (Colombo)
  Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua.

• 09.10.18, 3 ore, aula N5, 19 (Colombo)
  Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione, differenziabilità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, con dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio.

• 14.10.19, 2 ore, aula N8, 21 (Colombo)
  Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il Lemma di Schwarz: motivazione, enunciato e dimostrazione in dettaglio.

• 16.10.19, 3 ore, aula N5, 24 (Colombo)
  Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi, cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema, metodo delle tangenti per funzioni di una variabile. Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Implicita: dimostrazione dettagliata. Esempi. Notazione per le derivate.

• 17.10.19, 2 ore, aula N11, 26 (Colombo)
  Commenti al teorema della Funzione Implicita, esercizio. Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione).

• 21.10.19, 2 ore, aula N10, 28 (Colombo)
  Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni.

• 23.10.19, 3 ore, aula N5, 31 (Colombo)
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: enunciato, dimostrazione. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Un'equazione senza soluzione, Esempio di studio grafico: la popolazione umana sulla terra.

• 24.10.19, 2 ore, aula N11, 33 (Marcellini)
  Introduzione agli integrali doppi, formule di riduzione, esercizi.

• 28.10.19, 2 ore, aula N10, 35 (Colombo)
  Un problema di Cauchy con infinite soluzioni: esempio in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi. Se una funzione è C¹ allora è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Se una funzione è localmente Lipschitz allora è continua. Enunciato del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio. Cenno alle poligonali di Eulero. Un esempio di crescita biologica limitata: studio qualitativo ed uso del Teorema di Cauchy.

• 30.10.19, 3 ore, aula N5, 38 (Colombo)
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy: esistenza ed unicità, in dettaglio. L'equazione del calore di Newton: studio qualitativo. Il lemma di Gronwall, con dimostrazione.

• 31.10.19, 2 ore, aula B0.5, 40 (Colombo)
  Dipendenza continua delle soluzioni di un problema di Cauchy da dato iniziale e dalla funzione, con dimostrazione, ruolo ed effetto dell'esponenziale. Esempi di dipendenza continua della soluzione da dato iniziale e funzione in problemi di Cauchy, ruolo della limitatezza dell'intervallo temporale. Un Problema di Cauchy con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi. Legami lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione. Esempio di studio qualitativeo.

• 04.11.19, 2 ore, aula N10, 42 (Colombo)
  Un problema di Cauchy senza sublinearità ma con esistenza globale, in dettaglio. Il problema del paracadutista, in dettaglio. Equazioni autonome: definizione. Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Esempio di integrazione di un problema di Cauchy assegnato mediante un grafico.

• 06.11.19, 3 ore, aula N5, 45 (Colombo)
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una metaproposizione tipica. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni.

• 07.11.19, 2 ore, aula B0.5, 47 (Marcellini)
  Integrali doppi.

• 11.11.19, 2 ore, aula N10, 49 (Colombo)
  Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, il caso continuo ed il caso non continuo, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio.

• 13.11.19, 3 ore, aula N5, 52 (Colombo)
  Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di potenze si studiano in C. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio.

• 14.11.19, 2 ore, aula B0.5, 54 (Marcellini)
  Integrali doppi:

• 18.11.19, 2 ore, aula N10, 56 (Colombo)
  Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 20.11.19, 3 ore, aula N5, 59 (Colombo)
  Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier della combinazione lineare di 2 funzioni, coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari, con dimostrazione. Esempio di calcolo di serie di Fourier.

• 21.11.19, 2 ore, aula B0.5, 61 (Marcellini)
  Integrali doppi.

• 25.11.19, 2 ore, aula N10, 63 (Colombo)
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione. Esercizi proposti dagli studenti.

• 27.11.19, 3 ore, aula N5, 66 (Colombo)
  Introduzione al calcolo delle variazioni. Il lemma fondamentale del calcolo delle Variazioni, con dimostrazione. Equazione di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica. Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 28.11.19, 2 ore, aula B0.5, 68 (Colombo)
  Il problema della brachistocrona, senza tutti i conti. Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 18.12.19, 3 ore, aula N5, 71 (Colombo)
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 19.12.19, 2 ore, aula B0.5, 73 (Colombo)
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 17.09.19, 2 ore, aula B0.5
  Lezione sospesa

• 24.09.19, 2 ore, aula B0.5, 2 (Marcellini)
  Esercizi sugli spazi metrici: distance, sfere, metriche equivalenti.

• 01.10.19, 2 ore, aula B0.5, 4 (Casella)
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili ed esempi di limiti che non esistono.

• 03.10.19, 2 ore, aula N11, 6 (Marcellini)
  Esercizi sugli spazi metrici: punti interni, esterni, di accumulazione; limiti di successioni, completezza.

• 08.10.19, 2 ore, aula B0.5, 8(Casella)
  Calcolo di limiti mediante il passaggio alle coordinate polari, continuità di una funzione di più variabili, calcolo di derivate parziali.

• 10.10.19, 2 ore, aula, 10 (Marcellini)
  Esercizi sul calcolo di derivate direzionali e sulla differenziabilità per funzioni di due variabili, anche tratti da temi d'esame.

• 10.10.19, 2 ore, aula N11, 12 (Casella)
  Esercizi sugli spazi metrici: limiti, completezza, compattezza, funzioni uniformemente continue, Lipschitzm contrazioni.

• 15.10.19, 2 ore, aula B0.5, 14 (Casella)
  Esercizi tratti da temi d'esame, applicazioni del teorema del differenziale totale, esercizi sulla differenziabilità della funzione composta.

• 17.10.19, 2 ore, aula B0.5, 16 (Casella)
  Esercizi sulla continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni a valori vettoriali.

• 22.10.19, 2 ore, aula B0.5, 18 (Casella)
  Esercizi sulla differenziabilità per funzioni composte a valori vettoriali. Esercizi riguardanti la ricerca dei punti di massimo e minimo liberi, anche tratti da temi d'esame.

• 24.10.19, 2 ore, aula B0.5, 20 (Casella)
  Ricerca dei punti di massimo e minimo liberi e vincolati, anche tratti da temi d'esame.

• 31.10.19, 2 ore, aula B.05, 22 (Casella)
  Esercizi sulla ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati, anche mediante l'ausilio delle curve di livello

• 05.11.19, 2 ore, aula B.05, 24 (Casella)
  Esercizi sulla funzione implicita, anche tratti da temi d'esame

• 07.11.19, 2 ore, aula B.05, 26 (Casella)
  Esercizi sulla funzione implicita, esercizi sull'invertibilità globale e locale anche tratti da temi d'esame.

• 12.11.19, 2 ore, aula B.05, 28 (Casella)
  Esercizi sul teorema della funzione implicita e sull'invertibilitàlocale e globale, anche tratti da temi d'esame.

• 14.11.19, 2 ore, aula B.05, 30 (Casella)
  Esercizi su convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, applicazioni del teorema sul passaggio al limite sotto al segno di integrale.

• 19.11.19, 2 ore, aula B.05, 32 (Casella)
  Esercizi su convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 21.11.19, 2 ore, aula B.05, 34 (Casella)
  Esercizi su convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 26.11.19, 2 ore, aula B.05, 36 (Casella)
  Esercizi su convergenza puntuale, assoluta e uniforme per serie di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 03.12.19, 2 ore, aula B.05, 38 (Casella)
  Esercizi sulla convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale per serie di funzioni.

• 05.12.19, 2 ore, aula B.05, 40 (Casella)
  Esercizi sulle serie di potenze, calcolo del raggio di convergenza e della somma di alcune serie.

• 10.12.19, 2 ore, aula B.05, 42 (Casella)
  Esercizi sulle serie di Fourier anche tratti da temi d'esame.

• 12.12.19, 2 ore, aula B.05, 44 (Casella)
  Esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali, applicazioni dei teoremi di esistenza e unicità di Cauchy locale e globale.

• 17.12.19, 2 ore, aula B.05, 46 (Casella)
  Esercizi sullo studio qualitativo di un problema di Cauchy, risoluzione di equazioni differenziali con opportune sostituzioni.