Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 24.09.18, 2 ore, aula B2.1, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione (esempi di funzioni considerate durante il corso), enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞.

• 25.09.18, 2 ore, aula N11, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato, con dimostrazione.

• 27.09.18, 2 ore, aula N11, 6
  Definizione di limite di successioni in uno spazio metrico: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione.

• 01.10.18, 2 ore, aula N11, 8
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona".

• 02.10.18, 2 ore, aula N11, 10
  La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione.

• 04.10.18, 2 ore, aula N5, 12
  Legame continuità - successioni, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, il caso di Analisi 1. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti.

• 08.10.18, 2 ore, aula N11, 14
  Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione, necessità delle ipotesi. Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi.

• 09.10.18, 2 ore, aula N11, 16
  Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione.

• 11.10.18, 2 ore, aula N5, 18
  Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, con dimostrazione. Teorema del differenziale totale, enunciato.

• 15.10.18, 2 ore, aula N11, 20
  Teorema del differenziale totale, dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante, su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Introduzione al Lemma di Schwarz, esempio.

• 16.10.18, 2 ore, aula N5, 22
  Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il Lemma di Schwarz: enunciato e dimostrazione in dettaglio. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi, cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema.

• 18.10.18, 2 ore, aula N5, 24
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi. Notazione per le derivate.

• 22.10.18, 2 ore, aula N11, 26
  Il Teorema della Funzione Inversa: il caso lineare, ruolo delle dimensioni. Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio.

• 23.10.18, 2 ore, aula N5, 28
  Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione); definizioni di forme semidefinite/definite positive/negative. Diagonalizzazione di Gram - Schmidt: senza dimostrazione. Condizione necessaria al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazione.

• 25.10.18, 2 ore, aula N5, 30
  Condizione sufficiente al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato, dimostrazione in dettaglio. Esercizio sull'uso dei moltiplicatori di Lagrange. Introduzione agli integrali multipli. Formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, il volume della sfera.

• 29.10.18, 2 ore, aula N11, 32
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Il Teorema di Peano, solo enunciato. Il decadimento radioattivo: studio grafico.

• 30.10.18
  Attività didattica sospesa causa allarme meteo.

• 05.11.18, 2 ore, aula N11, 34
  Funzioni localmente Lipschitz: definizione. Il Teorema di Cauchy: enunciato e prima parte della dimostrazione.

• 06.11.18, 2 ore, aula N5, 36
  Il Teorema di Cauchy: conclusione della dimostrazione. Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Dipendenza continua delle soluzioni di un problema di Cauchy da dato iniziale e dalla funzione, con dimostrazione, ruolo ed effetto dell'esponenziale. La legge del calore di Newton: esempio di studio qualitativo rigoroso.

• 08.11.18, 2 ore, aula N5, 38
  Esempi di dipendenza continua della soluzione da dato iniziale e funzione in problemi di Cauchy, ruolo della limitatezza dell'intervallo temporale. Un Problema di Cauchy con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi. Legami lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione. Un Problema di Cauchy non sublineare con esistenza globale. Esempio di studio qualitativo. La crescita logistica, studio qualitativo.

• 12.11.18, 2 ore, aula N11, 40
  Il problema del paracadutista, in dettaglio. Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio.

• 13.11.18, 2 ore, aula N5, 42
  Una meta-proposizione: proprietà che passano al limite sotto al segno di integrale, monotonia e positività, con dimostrazione. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza.

• 15.11.18, 2 ore, aula N5, 44
  Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità.

• 19.11.18
  Lezione soppressa causa commissione ASN.

• 20.11.18, 2 ore, aula N5, 46
  Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Esercizio su distanza, norma e convergenza quadratica. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza.

• 22.11.18, 2 ore, aula N5, 48
  Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica, sue proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Criterio di Weierstraβ per l'analiticità di una funzione, senza dimostrazione. Definizione di funzione periodica. Lemma su integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione.

• 26.11.18
  Attività didattica sospesa causa inaugurazione dell'anno accademico.

• 27.11.18, 2 ore, aula N5, 50
  Definizione di polinomio trigonometrico. Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con i casi di R², R³ e Rⁿ. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione: analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier.

• 29.11.18, 2 ore, aula N5, 52
  Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme.

• 10.12.18, 2 ore, aula N11, 54
  Introduzione al Calcolo delle Variazioni. Il Lemma fondamentale, con dimostrazione, anche nel caso vettoriale. Esercizi proposti dagli studenti.

• 11.12.18, 2 ore, aula N5, 56
  Le equazioni di Eulero Lagrange: deduzione. Il Problema della Geodetica: stazionarietà in dettaglio. Risoluzione di problemi proposti dagli studenti. Ripasso dei punti principali del Teorema della Funzione Implicita.

• 13.12.18, 2 ore, aula N5, 58
  Il Problema della Brachistocrona: stazionarietà in dettaglio. Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 17.12.18, 2 ore, aula N11, 60
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 18.12.18, 2 ore, aula N5, 62
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 20.12.18, 2 ore, aula N5, 64
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

Esercitazioni

• 03.10.18, 2 ore, aula B2.1, 2
  Esempi di spazi metrici, esempi di metriche e verifica delle relative proprietà. Esempi di applicazioni che non sono metriche.

• 17.10.18, 2 ore, aula V1, 4
  Insiemi aperti, chiusi, natura geometrica di B(x,r) rispetto a varie metriche in R², analisi della B(x,r) nello spazio delle funzioni continue rispetto alla metrica della convergenza uniforme e alla metrica di L¹.

• 24.10.18, 2 ore, aula V1, 6
  Esempi di metriche equivalenti e non equivalenti, esempi di spazi metrici completi e non. Calcolo di limiti per funzioni di due variabili, esempi di limiti che non esistono.

• 31.10.18, 2 ore, aula V1, 8
  Calcolo di limiti anche mediante l'ausilio delle coordinate polari. Continuità di una funzione in un punto. Calcolo di derivate parziali e direzionali.

• 07.11.18, 2 ore, aula V1, 10
  Derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili con implicazioni varie. Esempi di funzioni di più variabili derivabili, ma non differenziabili; derivabili, ma non continue.

• 14.11.18, 2 ore, aula V1, 12
  Controesempio al teorema del differenziale totale, controesempio al lemma di Schwartz, esempio di una funzione a valori vettoriali in cui non vale il teorema di Lagrange. Differenziabilità per funzioni a valori vettoriali.

• 21.11.18, 2 ore, aula V1, 14
  Esrcizi sulla differenziabilità per funzioni a valori vettoriali, differenziabilità di funzione composte. Un esercizio sulla ricerca dei punti di max\min liberi.

• 28.11.18, 2 re, aula V1, 16
  Prova d'esame, sessione straordinaria.

• 5.12.18, 2 ore, aula V1, 18
  Esercizi sulla ricerca dei punti di max\min liberi, anche tratti da temi d'esame.

• 12.12.18, 2 ore, aula V1, 20
  Esercizi sui max\min vincolati, mediante la parametrizzazione del bordo, anche tratti da temi d'esame.