Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 24.09.18, 2 ore, aula V1, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione (esempi di funzioni considerate durante il corso), enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Ruolo del simbolo ∞.

• 25.09.18, 2 ore, aula B0.5, 4
  Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato, con dimostrazione. Definizione di successione, di successione limitata.

• 26.09.18, 2 ore, aula N10, 6
  Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione.

• 27.09.18, 3 ore, aula V1, 9
  Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Definizione di distanze equivalenti, esempi. Costruzione della definizione di limite per funzioni. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

• 02.10.18, 2 ore, aula B0.5, 11
  Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, cenno di dimostrazione. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Continuità della composizione di funzioni, enunciato.

• 03.10.18, 2 ore, aula N10, 13
  Continuità della composizione di funzioni, con dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi di R, senza dimostrazione, l'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione.

• 04.10.18, 3 ore, aula V1, 16
  Definizione di contrazione, significato, un esempio su R in dettaglio. Il Teorema delle Contrazioni: motivazione, esempi che mostrano la stretta necessità delle ipotesi, dimostrazione in dettaglio. Il caso di Analisi I. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, dimostrazione.

• 09.10.18, 2 ore, aula B0.5, 18
  Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Introduzone al calcolo differenziale. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione.

• 10.10.18, 2 ore, aula N10, 20
  Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione, differenziabilità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, con dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale.

• 11.10.18, 3 ore, aula V1, 23
  Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Ripetizione del teorema del differenziale totale nel caso n=2, m=1. Una funzione lineare su Rⁿ → Rⁿ é continua, uniformemente continua, Lipschitz e differenziabile, con dimostrazione e calcolo della derivata totale. Il Lemma di Schwarz: enunciato e dimostrazione in dettaglio.

• 16.10.18, 2 ore, aula B0.5, 25
  Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi, cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema, metodo delle tangenti per funzioni di una variabile. Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, ruolo delle dimensioni.

• 17.10.18, 2 ore, aula N10, 27
  Il Teorema della funzione Implicita: dimostrazione dettagliata. Esempi.

• 18.10.18, 3 ore, aula V1, 30
  Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione.

• 23.10.18, 2 ore, aula B0.5, 32
  Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni. Ruolo della compattezza. Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato.

• 24.10.18, 2 ore, aula N10, 34
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: enunciato, dimostrazione. Un esercizio sui moltiplicatori di Lagrange. Introduzione al calcolo di integrali multipli. Formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, il volume della sfera.

• 25.10.18, 3 ore, aula V1, 37
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi di studi grafici: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Il Teorema di Peano, solo enunciato. Funzioni localmente Lipschitz: definizione. Il decadimento radioattivo: studio grafico. Una equazione con soluzione solo locale: studio grafico e soluzione analitica.

• 30.10.18
  Attività didattica sospesa causa allarme meteo.

• 31.10.18, 2 ore, aula N10, 39
  Il Teorema di Cauchy: enunciato e dimostrazione.

• 06.11.18, 2 ore, aula N5, 41
  Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Dipendenza continua delle soluzioni di un problema di Cauchy da dato iniziale e dalla funzione, con dimostrazione, ruolo ed effetto dell'esponenziale. La legge del calore di Newton: esempio di studio qualitativo rigoroso. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale, definizione di funzione sublineare: motivazione ed esempi.

• 07.11.18, 2 ore, aula N10, 43
  Esempi di dipendenza continua delle soluzioni di Problemi di Cauchy: ruolo della limitatezza dell'intervallo temporale. Legami Lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione. Un Problema di Cauchy non sublineare con esistenza globale. Esempio di studio qualitativo.

• 08.11.18, 3 ore, aula V1, 46
  Un problema di Cauchy senza sublinearità ma con esistenza globale, in dettaglio. Il problema del paracadutista, in dettaglio. Equazioni autonome: definizione, Teorema dell'Energia Cinetica (con dimostrazione). Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Esempio di integrazione di un problema di Cauchy assegnato mediante un grafico. Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Una metaproposizione tipica.

• 13.11.18, 2 ore, aula B0.5, 48
  Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰, in dettaglio. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni.

• 14.11.18, 2 ore, aula N10, 50
  Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, il caso continuo ed il caso non continuo, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio.

• 15.11.18, 3 ore, aula V1, 53
  Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf?

• 20.11.18, 2 ore, aula B0.5, 55
  Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Perché le serie di potenze si studiano in C. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 21.11.18, 2 ore, aula N10, 57
  Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo (minimo), il caso delle funzioni costanti. La funzione mantissa. Estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, come trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica, con dimostrazione. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione: analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier.

• 22.11.18, 3 ore, aula V1, 60
  Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme, senza dimostrazione.

• 27.11.18, 2 ore, aula B0.5, 62
  Coefficienti di Fourier della combinazione lineare di 2 funzioni, coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari, con dimostrazione. Esempio di calcolo di serie di Fourier. Introduzione al calcolo delle variazioni: ambito ed esempi. Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 28.11.18, 2 ore, aula N10, 64
  Definizione di curva e della sua lunghezza. Regola di calcolo per curve C¹, senza dimostrazione. Il Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni, con dimostrazione. Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 29.11.18, 3 ore, aula V1, 67
  Estensione del Lemma fondamentale al caso di funzioni vettoriali. L'equazione di Eulero - Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica in R², in dettaglio. Il problema della brachistocrona, impostazione ed uso dell'equazione di Eulero - Lagrange. Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 11.12.18, 2 ore, aula B0.5, 69
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 12.12.18, 2 ore, aula N10, 71
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 18.12.18, 2 ore, aula B0.5, 73
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 19.12.18, 2 ore, aula N10, 75
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

• 20.12.18, 2 ore, aula V1, 77
  Risoluzione di problemi proposti dagli studenti.

Esercitazioni

• 01.10.18, 2 ore, aula V1, 2
  Esempi di spazi metrici, esempi di metriche e verifica delle relative proprietà. Esempi di applicazioni che non sono metriche.

• 08.10.18, 2 ore, aula V1, 4
  Insiemi aperti, chiusi, natura geometrica di B(x,r) rispetto a varie metriche in R², analisi della B(x,r) nello spazio delle funzioni continue rispetto alla metrica della convergenza uniforme e alla metrica di L¹.

• 15.10.18, 2 ore, aula V1, 6
  Esempi di metriche equivalenti e non anche in dimensione infinita, esempi di spazi metrici completi e non completi. Calcolo di limiti per funzioni di 2 variabili.

• 22.10.18, 2 ore, aula V1, 8
  Calcolo di limiti anche con l'ausilio delle coordinate polari. Esempi di limiti che non esistono, calcolo di derivate parziali e direzionali.

• 23.10.18, 2 ore, aula N7, 10
  Calcolo di derivate parziali e direzionali, differenziabilità per una funzione di due variabili, esempi di funzioni non differenziabili. Implicazioni fra differenziabilità e continuità, fra differenziabilità e derivabilità.

• 29.10.18, 2 ore, aula V1, 12
  Il teorema del differenziale totale è C.S., ma non necessaria: esempio. Controesempio al lemma di Schwarz, esercizi sulla differenziabilità tratti da temi esame. Esempio in cui si mostra che per le funzioni a valori vettoriali non vale il teorema di Lagrange.

• 05.11.18, 2 ore, aula V1, 14
  Differenziabilità, continuità, derivabilità per funzioni a valori vettoriali. Differenziabilità della funzione composta.

• 09.11.18, 2 ore, aula N11, 16
  Ricerca di punti di max\min liberi per funzioni di più variabili mediante lo studio della matrice hessiana o un'analisi locale.

• 12.11.18, 2 ore, aula V1, 18
  Esercizi sulla ricerca di punti di max\min liberi tratti da temi esame, esercizi sulla ricerca di max\min vincolati mediante la parametrizzazione del bordo.

• 16.11.18, 2 ore, aula V1, 20
  Esercizi sui max\min vincolati, anche tratti da temi esame.

• 23.11.18, 2 ore, aula N11, 22
  Risoluzione di esercizi sulla ricerca di punti di max\min vincolati, anche mediante l'utilizzo delle curve di livello.

• 26.11.18, 2 ore, aula V1, 24
  Esercizi sul teorema della funzione implicita, anche tratti da temi esame.

• 3.12.18, 2 ore, aula V1, 26
  Esercizi vari sui teoremi della funzione implicita e inversa, anche tratti da temi d'esame.

• 5.12.18, 1 ora, aula N10, 27
  Calcolo di integrali doppi mediante l'applicazione dei teoremi di riduzione.

• 6.12.18, 3 ore, aula V1, 30
  Calcolo di integrali doppi anche mediante cambiamenti di variabile.

• 7.12.18, 2 ore, aula N11, 32
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

• 10.12.18, 2 ore, aula V1, 34
  Esercizi sulla convergenza puntuale, uniforme per successioni di funzioni tratti da temi d'esame.

• 13.12.18, 2 ore, aula V1, 36
  Esercizi sulla convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale per serie di funzioni.

• 17.12.18, 3 ore, aula V1, 39
  Esercizi sulle serie di potenze, calcolo del raggio di convergenza, determinazione dell'intervallo di convergenza.

• 21.12.18, 3 ore, aula N10, 42
  Esercizi sulle serie di Fourier, calcolo dei coefficienti di Fourier, applicazione dell'uguaglianza di Bessel-Parseval.