Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 18.09.17, 2 ore, Aula Nb0.5, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione (esempi di funzioni considerate durante il corso), enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Definizione di spazio normato, ogni spazio normato è uno spazio metrico, enunciato.

• 19.09.17, 2 ore, Aula M1, 4
  Definizione di sfera aperta, esempi. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione di parte interna e chiusura; esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è isolato o è di accumulazione, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione.

• 20.09.17, 2 ore. Aula N8, 6
  Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, enunciato.

• 25.09.17, 2 ore, Aula B0.5, 8
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame continuità - successioni, con dimostrazione.

• 26.09.17, 2 ore, Aula M1, 10
  Legame continuità - limite e continuità nei punti isolati, con dimostrazione. Legame continuità - successioni, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione.

• 02.10.17, 2 ore, aula MTB, 12
  Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione, necessità delle ipotesi.

• 03.10.17, 2 ore, aula M1, 14
  Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, enunciato, senza dimostrazione. Limite della somma e somma dei limti, con dimostrazione. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzone al calcolo differenziale. Definizione di o piccolo. Definizione di derivata totale.

• 04.10.17, 2 ore, aula M1, 16
  Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione.

• 05.10.17, 2 ore, aula N5, 18
  Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, enunciato in dettaglio, senza dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante, su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Introduzione al Lemma di Schwarz, esempio.

• 09.10.17, 2 ore, aula MTB, 20
  Il Lemma di Schwarz: enunciato e dimostrazione in dettaglio. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi, cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema, metodo delle tangenti per funzioni di una variabile.

• 10.10.17, 2 ore, aula M1, 22
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi. Notazione per le derivate.

• 12.10.17, 2 ore, aula N5, 24
  Il Teorema della Funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimo/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative.

• 16.10.17, 2 ore, aula MTB, 26
  Diagonalizzazione di Gram - Schmidt: senza dimostrazione. Condizione necessaria al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine per determinare punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato, dimostrazione. Introduzione al calcolo di integrali multipli.

• 17.10.17, 2 ore, aula M1, 28
  Introduzione agli integrali multipli. Formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, il volume della sfera. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale, forma normale e ordine. Definizione di soluzione. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale di ordine 1: definizione, definizione di soluzione; problema di Cauchy: motivazione, definizione, esempio, definizione di soluzione. La popolazione umana sulla terra.

• 18.10.17, 2 ore, aula M1, 30
  Esempio: un'equazione senza soluzione. Il Teorema di Peano, solo enunciato. Funzioni localmente Lipschitz: definizione, esempi, legami con Lipschitzianità e regolarità C¹, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Locale. La datazione con il ¹⁴C: studio qualitativo, ruolo dell'esponenziale.

• 23.10.17, 2 ore, aula Consiliare, 32
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy: esistenza e unicità. La legge del calore di Newton: esempio, studio qualitativo.

• 24.10.17, 2 ore, aula M1, 34
  Il lemma di Gronwall: motivazione, dimostrazione. Esempio di soluzione solo locale di un Problema di Cauchy. Teorema di Cauchy: dipendenza continua della soluzione da dato e funzione, con dimostrazione. Definizione di funzione sublineare. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ. La crescita logistica: formulazione, studio qualitativo.

• 26.10.17, 2 ore, aula N11, 36
  Un Prolema di Cauchy con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi. Legami Lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione. Un Problema di Cauchy non sublineare con esistenza globale. Esempio di studio qualitativo. Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Esercizi sullo studio qualitativo di equazioni differenziali ordinarie.

• 06.11.17, 2 ore, aula MTB, 38
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. La derivabilità non passa al limite uniforme, con dimostrazione.

• 07.11.17, 2 ore, aula M1, 40
  Convergenza uniforme e convergenza in C⁰. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, necessità della definizione, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di serie: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità.

• 09.11.17, 2 ore, aula N5, 42
  Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Esercizio su distanza, norma e convergenza quadratica. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf?

• 13.11.17, 2 ore, aula MTA, 44
  Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi. Definizione di funzione analitica, sue proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio (inizio).

• 14.11.17, 2 ore, aula M1, 46
  Definizione di funzione analitica, esempi. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Criterio di Weierstraβ per l'analiticità di una funzione, senza dimostrazione. Definizione di funzione periodica. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico. Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con i casi di R², R³ e Rⁿ. Introduzione alle serie di Fourier. Lemma su integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione.

• 16.11.17, 2 ore, aula N5, 48
  Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione: analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Linearità dei coefficienti di Fourier; coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari.

• 20.11.17, 2 ore, aula MT1, 50
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Esercizi presi da temi d'esame.

• 21.11.17, 2 ore, aula M1, 52
  Coefficienti di Fourier di una funzione pari/dispari, coefficienti di Fourier della somma di due funzioni. Introduzione al calcolo delle variazioni: motivazioni, esempi. Il lemma fondamentale, con dimostrazione. Risposte a domande degli studenti.

• 23.11.17, 2 ore, aula N5, 54
  La formula di Eulero-Lagrange per determinare i punti stazionari di un funzionale integrale, con dimostrazione. La Geodetica: esempio in dettaglio. La brachistocrona. Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 28.11.17, 2 ore, aula M1, 56
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 04.12.17, 2 ore, aula MTB, 58
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 05.12.17, 2 ore, aula M1, 60
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 11.12.17, 2 ore, aula MTB, 62
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.17, 2 ore, aula M1, 64
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 18.12.17, 1.5 ore, aula MTB, 65.5
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame. (Lezione terminata in anticipo causa riunione).

• 19.12.17, 2 ore, aula M1, 67.5
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 21.12.17, 1.5 ora, aula N5, 69
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 28.09.17, 2 ore, aula M1, 2
  Esercizi sugli spazi metrici: esempi di metriche e verifica di metriche, anche in dimensione infinita.

• 11.10.17, 2 ore, aula M1, 4
  Esercizi sulla natura geometrica della sfera in R² e in spazi di dimensione infinita rispetto a metriche diverse, insiemi aperti e chiusi, diametro di un insieme.

• 19.10.17, 2 ore, aula N5, 6
  Esercizi su metriche equivalenti, esempi di spazi metrici completi e non (anche in dimensione infinita), applicazioni del teorema delle contrazioni. Calcolo di due limiti per funzioni di più variabili.

• 25.10.17, 2 ore, aula M1, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili ed esempi di limiti che non esistono.

• 31.10.17, 2 ore, aula M1, 10
  Esercizi sulla derivabilità parziale, direzionale e sulla differenziabilità per funzioni di più variabili; significato geometrico del differenziale, equazione del piano tangente al grafico di una funzione in un suo punto.

• 02.11.17, 2 ore, aula N5, 12
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità tratti da temi d'esame.

• 08.11.17, 2 ore, aula M1, 14
  Esercizi sulla differenziabilità tratti da temi esame, applicazioni del teorema del differenziale totale. Controesempi al torema del differenziale totale e al lemma di Schwarz.

• 15.11.17, 2 ore, aula M1, 16
  Esercizi sulla differenziabilità per funzioni a valori vettoriali e differenziale di una funzione composta. Esempio in cui si mostra che per le funzioni a valori vettoriali non vale il teorema di Lagrange; un esercizio sulla ricerca di massimi e minimi liberi.

• 22.11.17, 2ore, aula M1, 18
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili, anche tratti da temi d'esame.

• 29.11.17, 2 ore, aula M19, 20
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi vincolati per funzioni di più variabili.

• 06.12.17, 2 ore, aula M1, 22
  Utilizzo delle curve di livello nella ricerca di massimi e minimi vincolati. Esercizi sul teorema della funzione implicita.

• 07.12.17, 2 ore, aula N5, 24
  Esercizi sul teorema della funzione implicita, anche tratti da temi d'esame. Il teorema di invertibilità locale: applicazioni.

• 13.12.17, 2 ore, aula M1, 26
  Esercizi sull'invertibilità locale, calcolo di integrali doppi mediante l'applicazione dei teoremi di riduzione.

• 14.12.17, 2 ore, aula N5, 28
  Calcolo di integrali doppi mediante cambiamento di variabili, simmetrie del dominio e della funzione integranda.

• 15.12.17, 2 ore, aula M1, 30
  Calcolo di integrali doppi, risoluzione di problemi di Cauchy.