Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 18.09.17, 2 ore, Aula N4, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta.

• 19.09.17, 2 ore, Aula N11, 4
  Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato, con dimostrazione. Definizione di successione, di successione limitata; esempi. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione.

• 20.09.17, 3 ore, Aula B3.1, 7
  Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Costruzione della definizione di limite per funzioni. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, cenno di dimostrazione.

• 26.09.17, 2 ore, Aula N11, 9
  Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Continuità della composizione di funzioni, con dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi di R, senza dimostrazione, L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione.

• 27.09.17, 3 ore, Aula B3.1, 12
  Definizione di funzione Lipschitziana, esempi, ruolo della costante di Lipschitz. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi. Definizione di contrazione, significato, un esempio su R in dettaglio. Il Teorema delle Contrazioni: motivazione, esempi che mostrano la stretta necessità delle ipotesi, dimostrazione in dettaglio. Il Teorema delle Contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, dimostrazione.

• 03.10.17, 2 ore, Aula N11, 14
  Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità della somma di funzioni continue, con dimostrazione. Continuità del prodotto scalare per funzione continua, dimostrazione per esercizio. Forme di indeterminazione nel calcolo dei limiti, esempi. Continuità di funzioni di più variabili: esempi. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, somma di matrici e sua motivazione, prodotto di matrici e sua motivazione, determinante. Introduzione al calcolo differenziale. Definizione di derivata totale. Definizione di derivate parziali.

• 04.10.17, 3 ore, Aula B3.1, 17
  Definizione di derivata parziale: motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso generale. Definizione di derivata direzionale motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso generale. Una funzione non continua in (0,0) ma derivabile parzialmente ed in ogni direzione in (0,0). Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione, e del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale.

• 05.10.17, 2 ore, aula B3.1, 19
  Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione, osservazioni sulla notazione. Derivata del prodotto scalare: prodotto scalare attraverso il prodotto di matrici, enunciato in dettaglio, senza dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2: esempio. Il teorema degli accrescimenti finiti: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso, esempi. Una funzione con derivata nulla è costante, su un segmento, su un aperto convesso, su un aperto connesso, con dimostrazioni. Una funzione di Analisi 1 derivabile ovunque è definita, con derivata nulla, non costante. Introduzione al Lemma di Schwarz.

• 09.10.17, 2 ore, aula N10, 21
  Il Lemma di Schwarz: enunciato e dimostrazione in dettaglio. Il teorema della funzione implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi. Definizione di funzione implicita, esempi, cenno al problema del calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema, metodo delle tangenti per funzioni di una variabile.

• 10.10.17, 2 ore, aula N11, 23
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato in dettaglio, dimostrazione di esistenza e continuità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità. Esempi. Notazione per le derivate. Introduzione al Teorema della funzione Inversa: il caso lineare, ruolo delle dimensioni.

• 11.10.17, 3 ore, aula B3.1, 26
  Il Teorema della funzione Inversa: enunciato, dimostrazione nel caso C^k, regola di derivazione. Esercizio sul teorema della funzione implicita. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimi/minimo locale/assoluto, ricerca di massimi/minimi liberi. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Equazione del piano tangente ad una superficie grafico di una funzione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Condizioni necessarie al primo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione.

• 12.10.16, 2 ore, aula M3.1, 28
  Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali (con dimostrazione), forme semidefinite/definite positive/negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni. Esempi. Ruolo della compattezza.

• 17.10.17, 2 ore, aula N11, 30
  Introduzione ai problemi di ottimizzazione vincolata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: deduzione dell'enunciato, dimostrazione. Introduzione al calcolo di integrali multipli. Formule di riduzione, formula per il cambiamento di coordinate, il volume della sfera. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi. Definizione di equazione differenziale.

• 18.10.17, 3 ore, aula B3.1, 33
  Equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine: significato dei termini. Definizione di soluzione. Necessità della condizione iniziale, esempio. Esempi: la popolazione umana sulla terra, un'equazione senza soluzione. Il Teorema di Peano, solo enunciato. Funzioni localmente Lipschitz: definizione, esempi, legami con Lipschitzianità e regolarità C¹, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Locale, inizio della dimostrazione. La datazione con il ¹⁴C: studio qualitativo, ruolo dell'esponenziale.

• 24.10.17, 2 ore, aula N11, 35
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy: esistenza e unicità. La legge del calore di Newton: esempio, studio qualitativo.

• 25.10.17, 3 ore, aula B3.1, 38
  Lemma di Gronwall: motivazione, dimostrazione. Teorema di Cauchy: dipendenza continua della soluzione da dato e funzione, con dimostrazione. Esempi di dipendenza continua e sue limitazione, ruolo dell'esponenziale. Un Prolema di Cauchy con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi. Legami Lipschitzianità - sublinearità e limitatezza - sublinearità, con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ, dimostrazione. Un Problema di Cauchy non sublineare con esistenza globale. Esempi di studio qualitativo.

• 26.10.17, 2 ore, aula B3.1, 40
  Equazioni autonome: definizione, invarianza per traslazione temporale (con dimostrazione), Teorema dell'Energia Cinetica (con dimostrazione). Esempi di equazioni differenziali ordinarie: il paracadutista. Il sistema di Lotka-Volterra: formulazione, significato, studio qualitativo, costante del moto. Esercizi sullo studio qualitativo di equazioni differenziali ordinarie.

• 07.11.17, 2 ore, aula N11, 42
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰. La continuità passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, il caso delle successioni di funzioni e il caso delle serie di funzioni.

• 08.11.17, 3 ore, aula B3.1, 45
  Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di serie: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema Di Cauchy. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale: ruolo della teoria dell'integrazione, il caso continuo ed il caso non continuo, con dimostrazione. Esempi sulla necessità dell'ipotesi di limitatezza del dominio.

• 09.11.17, 2 ore, aula B3.1, 47
  Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf?

• 14.11.17, 2 ore, aula N11, 49
  Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 15.11.17, 3 ore, aula B3.1, 52
  Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, esempi (la funzione mantissa), estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, cambiamento di variabile per trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica. Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Lemma sugli integrali definiti di prodotti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione: analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione.

• 16.11.17, 2 ore, aula B3.1, 54
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Una funzione senza coefficienti di Fourier, esempio. Linearità dei coefficienti di Fourier; coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Esercizi presi da temi d'esame.

• 21.11.17, 2 ore, aula N11, 56
  Introduzione al calcolo delle variazioni: motivazioni, esempi. Il lemma fondamentale, con dimostrazione. Risposte a domande degli studenti.

• 22.11.17, 3 ore, aula B3.1, 59
  La formula di Eulero-Lagrange per determinare i punti stazionari di un funzionale integrale, con dimostrazione. La Geodetica: esempio in dettaglio. La brachistocrona. Risposte a domande degli studenti.

• 23.11.17, 2 ore, aula B3.1, 61
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 28.11.17, 2 ore, aula N11, 63
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 29.11.17, 3 ore, aula B3.1, 66
  Una funzione la cui serie di Fourier converge puntualmente ma che non soddisfa le ipotesi per la convergenza uniforme. Calcolo delle variazioni: esempio di ottimizzazione vincolata, il problema isoperimetrico nel piano. Risposte a domande degli studenti.

• 05.12.17, 2 ore, aula N11, 68
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 06.12.17, 3 ore, aula B3.1, 71
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.17, 2 ore, aula 11, 73
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.12.17, 3 ore, aula B3.1, 76
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 19.12.17, 3 ore, aula N11, 78
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

• 21.12.17, 3 ore, aula B3.1, 80
  Risposte a domande degli studenti. Esercizi presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 25.09.17, 2 ore, aula N10, 2
  Esercizi sugli spazi metrici: esempi di metriche e verifica di metriche, anche in dimensione infinita.

• 02.10.17, 2 ore, aula N10, 4
  Esercizi sulla natura geometrica della sfera in R² e in spazi di dimensione infinita rispetto a metriche diverse, insiemi aperti e chiusi, diametro di un insieme.

• 16.10.17, 2 ore, aula N10, 6
  Esercizi su metriche equivalenti, esempi di spazi metrici completi e non (anche in dimensione infinita), applicazioni del teorema delle contrazioni. Calcolo di due limiti per funzioni di più variabili.

• 19.10.17, 2 ore, aula N10, 8
  Verifica di un limite per funzioni di più variabili, calcolo di limiti ed esempi di limiti che non esistono. Passaggio alle coordinate polari per il calcolo di limiti, continuità di una funzione in un punto.

• 23.10.17, 2 ore, aula N10, 10
  Esercizi sulla continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili.

• 30.10.17, 2 ore, aula N10, 12
  Esercizi sul calcolo differenziale tratti da temi d'esame.

• 31.10.17, 2 ore, aula N11, 14
  Applicazioni del teorema del differenziale totale, controesempi al teorema precedente e al lemma di Schwartz. Esempi di funzioni a valori vettoriali.

• 02.11.17, 2 ore, aula B31, 16
  Continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni a valori vettoriali, differenziale di una funzione composta. Esempio in cui si mostra che per le funzioni a valori vettoriali non vale il terorema di Lagrange.

• 03.11.17, 2ore, aula MTB, 18
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili.

• 06.11.17, 2 ore, aula N10, 20
  Esercizi sui massimi e minimi liberi e vincolati, locali ed assoluti.

• 13.11.17, 2 ore, aula N10, 22
  Esercizi in cui si utilizzano le curve di livello per la ricerca di massimi e minimi. Esercizi sulla funzione implicita, applicazioni del teorema del Dini.

• 20.11.17, 2 ore, aula N10, 24
  Esercizi sulla funzione implicita e sull'invertibilità locale e globale, anche tratti da temi d'esame.

• 27.11.17, aula N10, 26
  Calcolo di integrali doppi, applicazioni dei teoremi di riduzione, cambiamenti di variabile negli integrali.

• 30.11.17, aula B31, 28
  Esercizi sul calcolo di integrali doppi, simmetrie del dominio di integrazione e della funzione integranda

• 04.12.17, 2ore, aula N10, 30
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, applicazioni del teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

• 07.11.17, 2 ore, aula B3.1, 32
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, tratti da temi d'esame.

• 11.12.17, 2 ore, aula N10, 34
  Esercizi sulla convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale per serie di funzioni. Applicazioni dei teoremi di derivazione e integrazione per serie.

• 14.12.17, 2 ore, aula B3.1, 36
  Esercizi sulle serie di funzioni, tratti da temi d'esame.

• 18.12.17, 2 ore, aula N10, 38
  Esercizi sulle serie telescopiche ed esercizi sulle serie di potenze. Calcolo del raggio di convergenza e calcolo della somma di alcune serie di potenze.

• 20.12.17, 3 ore, aula B3.1, 41
  Esercizi sulle serie di Fourier: calcolo dei coefficienti di Fourier, studio della convergenza puntuale e uniforme, applicazioni dell'uguaglianza di Bessel.