Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 19.09.16, 2 ore, Aula N11, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione (esempi di funzioni considerate durante il corso), enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione.

• 21.09.16, 2 ore, Aula B05, 4
  Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà in più, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta, esempi. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione di parte interna e chiusura; esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è isolato o è di accumulazione, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione.

• 22.09.16, 2 ore, Aula MTB, 6
  Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione.

• 26.09.16, 2 ore, Aula N9, 8
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, notazione, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 27.09.16, 2 ore, Aula N8, 10
  Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzoine, dimostrazione per esercizio. Legame continuità - successioni, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), senza dimostrazione.

• 29.09.16, 2 ore, Aula MTB, 12
  Teorema di Cantor, dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione. Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro, senza dimostrazione.

• 03.10.16, 2 ore, Aula N9, 14
  Introduzione al calcolo differenziale per funzioni di più variabili: esempi, vari casi particolari, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: motivazione, definizione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, perchè il prodotto è definito così.

• 04.10.16, 2 ore, Aula N8, 16
  Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, varie forme, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, con dimostrazione; del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Teorema del differenziale totale.

• 06.10.16, 2 ore, Aula MTB, 18
  Derivata del prodotto scalare di funzioni, con dimostrazione. Definizione di segmento, motivazione, esempi. Il Teorema di Lagrange non vale ad Analisi 2, esempio. Formula degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Una funzione con derivata nulla ma non costante, esempio. Definizione di insieme convesso, esempi. Una funzione differenziabile con derivata nulla su un aperto connesso è costante, con dimostrazione. Una funzione differenziabile con derivata nulla su un aperto convesso è costante, con dimostrazione. Il Lemma di Schwarz: il caso m=1 e n=2 non è restitittivo, motivazione, esempi, enunciato, dimostrazione.

• 10.10.16, 2 ore, Aula N9, 20
  Il Teorema della Funzione Implicita: motivazione, esempi (equazione di Keplero), il caso lineare, enunciato (esistenza ed unicità), inizio della dimostrazione.

• 11.10.16, 2 ore, Aula N8, 22
  Il teorema della Funzione Implicita: dimostrazione, regola di derivazione (con una dimostrazione sbagliata), notazione per la derivata, esempi, cenni al numero di gradi di libertà di un sistema, derivate di ordine superiore. Il Teorema della Funzione Inversa: il caso lineare con dimostrazione, il caso generale con dimostrazione, regola di derivazione, esempi.

• 12.10.16, 2 ore, Aula N5, 24
  Osservazioni ed esempi sul Teorema della Funzione Implicita e sul Teorema della funzione Inversa. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: ottimizzazione multi-criteri vs. ottimizzazione di un unico citerio. Significato geometrico del gradiente: esempi. Il Teorema di Fermat, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi.

• 17.10.16, 2 ore, Aula N9, 26
  Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali, forme (semi)definite positive e negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni. Introduzione alla ricerca di massimi/minimi vincolati.

• 18.10.16, 2 ore, Aula N9, 28
  Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Equazione del piano tangente ad una superficie grafico di una funzione. Ricerca di massimi e minimi vincolati: introduzione, esempi, il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, enunciato e dimostrazione nel caso n=2 e m=1, enunciato nel caso generale, conto del numero di equazioni e del numero di incognite. Introduzione al calcolo di integrali multipli.

• 20.10.16, 2 ore, aula MTB, 30
  Calcolo di integrali doppi: cambiamento di coordinate, il caso delle coordinate polari, esempi. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi vari, la forma normale, la riduzione al primo ordine. Definizione di Problema di Cauchy e di sua soluzione, esempi. Nozione di problema ben posto, esempi. Un Problema di Cauchy senza soluzione. Un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Un modello per la popolazione sulla terra.

• 24.10.16, 2 ore, Aula N9, 32
  Il Teorema di Penao: enunciato, motivazione, esempi. Definizione di funzione localmente Lipschitziana, esempi. Una funzione (globalmente) Lipschitziana e anche localmente Lipschitz, con dimostrazione. Enunciato del Teorema Di Cauchy: in dettaglio, significato delle ipotesi, esistenza, senso dell'unicità, significato della dipendenza continua (ruolo della funzione esponenziale). Inizio della dimostrazione: trasformazione di un Problema di Cauchy in un'equazione integrale.

• 25.10.16, 2 ore, Aula N8, 34
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy: esistenza e unicità. Esempio: il decadimento radioattivo, in dettaglio. Esempi di dipendenza continua e non da parametri, nell'equazione e nel dato iniziale. Il lemma di Gronwall, con dimostrazione.
  

• 27.10.16, 2 ore, Aula MTB, 36
  Completamento del Teorema di Cauchy Locale: dimostrazione della dipendenza continua. Definizione di funzione sublineare. Teorema di Cauchy Globale: esempi, ruolo della limitatezza dell'intervallo dei tempi, enunciato, dimostrazione. Esempio: il paracadutista. Esempi di domande da orale. Cenno alla teoria del controllo.

• 31.10.16, 2 ore, Aula N9, 38
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Il limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua, con dimostrazione.La derivabilità non passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di serie: scrittura dettagliata della definizione.

• 07.11.16, 2 ore, aula N9, 40
  C⁰ è completo rispetto alla distanza della convergenza uniforme, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, enunciato.

• 08.11.16, 2 ore, aula N8, 42
  Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Definizione di funzione analitica, sue proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 10.11.16, 2 ore, aula MTB, 44
  Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier di una funzione integrabile. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 29.11.16, 2 ore, aula N8, 46
  Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. I coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme.

• 01.12.16, 2 ore, aula MTB, 48
  Definizione di curva, di lunghezza di una curva, formula per il calcolo della lunghezza di una curva C¹, senza dimostrazione. Introduzione al calcolo delle variazioni. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Formula di Eulero-Lagrange, con dimostrazione. Esempio della geodetica, in dettaglio. Esercizi presi da temi d'esame.

• 05.12.16, 2 ore, aula N11, 50
  Il problema della brachistocrona: formalizzazione, applicazione del Teorema di Eulero-Lagrange, scrittura dell'equazione. Esercizi presi da temi d'esame.

• 06.12.16, 2 ore, aula N8, 52
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.16, 2 ore, aula N11, 54
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.12.16, 2 ore, aula N8, 56
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 15.12.16, 2 ore, aula MTB, 58
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 19.12.16, 2 ore, aula N11, 60
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 20.12.16, 2 ore, aula N8, 62
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 22.12.16, 2 ore, aula MTB, 64
  Esercizi presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 28.09.16, 2 ore, aula N5, 2
  Verifica ed esempi di metriche, anche in dimensione infinita. Calcolo di alcune distanze.

• 05.10.16, 2 ore, aula n5, 4
  Natura geometrica di B(x, r) in R² rispetto ad alcune metriche. Esercizi vari su insiemi aperti, chiusi, frontiera di un insieme. Esempi (con verifica) di metriche equivalenti. Esempi di metriche non equivalenti.

• 13.10.16, 2 ore, aula MTB, 6
  Esempi di spazi metrici completi e non. Esercizi su insiemi compatti, un'applicazione del teorema delle contrazioni. Calcolo di alcuni limiti per funzioni di più variabili.

• 19.10.16, 2 ore, aula MTA, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche con l'ausilio delle coordinate polari. Esercizi sulla continuità di una funzione di più variabili, calcolo delle derivate parziali.

• 02.11.16, 2 ore, aula N5, 10
  Esercizi sulle derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili, anche tratti da temi d'esame.

• 16.11.16, 2 ore, aula N5, 12
  Esercizi in cui si applica il teorema del differenziale totale, controesempi al teorema precedente e al lemma di Schwartz. Funzioni a valori vettoriali: esercizi, esempio in cui si mostra che per le funzioni a valori vettoriali non vale il teorema di Lagrange. Esercizi presi da temi d'esame.

• 30.11.16, 2 ore, aula N5, 14
  Esercizi sulla differenziabilità per funzioni a valori vettoriali, esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili.

• 14.12.16, 2 ore, Aula N5, 16
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi vincolati, anche con l'utilizzo delle curve di livello.