Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 19.09.16, 2 ore, Aula MTA, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà in più.

• 21.09.16, 3 ore, Aula B3.1, 5
  Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà in più, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato, con dimostrazione. Definizione di successione, di successione limitata; esempi. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione.

• 23.09.16, 2 ore, Aula N11, 7
  Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Costruzione della definizione di limite per funzioni. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

• 26.09.16, 2 ore, aula MTA, 9
  Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, cenno di dimostrazione. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. Il Teorema dei Carabinieri, senza dimostrazione. Richiami sulle forme di indeterminazione.

• 27.09.16, 2 ore, aula N9, 11
  Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Limite del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Continuità della composizione di funzioni, con dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. Caratterizzazione dei connessi di R, senza dimostrazione, L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione, esempi, definzione di curva. Definizione di distanze equivalenti, motivazione, esempi. Definizione di funzione uniformemente continua e di funzione Lipschitziana, esempi. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua, inizio della dimostrazione.

• 28.09.16, 3 ore, aula B3.1, 14
  Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua, con dimostrazione. Definizione di contrazione, significato, un esempio su R in dettaglio. Il Teorema delle Contrazioni: motivazione, esempi che mostrano la stretta necessità delle ipotesi, dimostrazione in dettaglio. Il Teorema delle Contrazoini con dipendenza Lipschitz da un parametro: motivazione, dimostrazione. Nozioni su matrici ed applicazioni lineari: ruolo delle basi, dimensione, legame, perché il prodotto di matrici si fa così. Introduzione al calcolo differenziale per funzioni di più variabili.

• 03.10.16, 2 ore, aula MTA, 16
  Definizione di derivata parziale: motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso generale. Definizione di derivata direzionale motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso generale. Una funzione non continua in (0,0) ma derivabile parzialmente ed in ogni direzione in (0,0). Derivata totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti vari. Definizione di differenziabilità, varie forme, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione.

• 04.10.16, 2 ore, aula N9, 18
  Norma di una matrice: varie definizioni equivalenti. Dimostrazione delle proprietà della norma per esercizio. Norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma, con dimostrazione, e del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e n>1, enunciato nel caso generale. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione.

• 05.10.16, 3 ore, aula B3.1, 21
  Una funzione lineare definita su Rⁿ a valori in R^mcontinua, uniformemente continua, Lipschitziana e differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Differenziabilità del prodotto scalare di funzioni differenziabili, con dimostrazione. Definizione di segmento, motivazione. Ogni segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Definizione di insieme convesso in Rⁿ, esempi. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata ovunque nulla ma non costante. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Il Lemma di Schwarz nel caso m=1 e n=2, motivazione, significato, utilità, dimostrazione.

• 11.10.16, 2 ore, aula N9, 23
  Il Teorema della Funzione Implicita: motivazione, esempi (equazione di Keplero), il caso lineare, enunciato (esistenza ed unicità), inizio della dimostrazione.

• 12.10.16, 3 ore, aula B3.1, 26
  Il Teorema della Funzione Implicita: dimostrazione di esistenza ed unicità, una dimostrazione sbagliata della differenziabilità, il caso n=m=1, notazioni, esempi. Il numero di gradi di libertà di un sistema. Il teorema della funzione inversa: enunciato, regola di dervazione, dimostrazione completa, esempi, ruolo delle dimensioni nella definizione di biezioni. Introduzione ai problemi di ottimizzazione, il perché del caso m=1, definizioni di massimi/minimo locale/assoluto. Il significato geometrico del gradiente, in dettaglio.

• 17.10.16, 2 ore, Aula MTA, 28
  Sviluppo di Taylor al secondo ordine: formula, esempi. Forme quadratiche: motivazione, definizione, esempi, proprietà principali, forme (semi)definite positive e negative, diagonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Condizioni necessarie/sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo/minimo, con dimostrazioni.

• 18.10.16, 2 ore, Aula N9, 30
  Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Equazione del piano tangente ad una superficie grafico di una funzione. Ricerca di massimi e minimi vincolati: introduzione, esempi, il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, enunciato e dimostrazione nel caso n=2 e m=1, enunciato nel caso generale, conto del numero di equazioni e del numero di incognite. Introduzione al calcolo di integrali multipli.

• 19.10.16, 3 ore, Aula B3.1, 33
  Calcolo di integrali doppi: regole, cambiamento di coordinate, il caso delle coordinate polari, esempi. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi vari, la forma normale, la riduzione al primo ordine. Definizione di Problema di Cauchy e di sua soluzione, esempi. Nozione di problema ben posto, esempi. Un Problema di Cauchy senza soluzione. Un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Un modello per la popolazione sulla terra.

• 25.10.16, 2 ore, Aula N9, 35
  Il Teorema di Peano: motivazione, esempi, enunciato, senza dimostrazione. Definizione di funzione localmente Lipschitz: esempi, una funzione C¹ è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Il Teorema di Cauchy: enunciato in dettaglio, significato delle ipotesi, esistenza, unicità (locale), dipendenza continua (ruolo dell'esponenziale). Inizio della dimostrazione. Il decadimento radioattivo: equazione, studio qualitativo, integrazione, legame con il tempo di dimezzamento (per esercizio).

• 26.10.16, 3 ore, Aula B3.1, 38
  Il Teorema di Cauchy: dimostrazione in dettaglio di esistenza ed unicità. Esempi di dipendenza continua dai parametri, ruolo della limitatezza. Lemma di Gronwall: motivazione, dimostrazione. Teorema di Cauchy: dipendenza continua della soluzione da dato e funzione, con dimostrazione. Definizione di funzione sublineare. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale: motivazione, scelta di Rⁿ. Il paracadutista: studio qualitativo di un Problema di Cauchy.

• 27.10.16, 2 ore, Aula N11, 40
  Teorema di Cauchy Globale: richiamo sulla sublinearità, esempi, ruolo della limitatezza dell'intervallo dei tempi, enunciato, dimostrazione. Esempio: la crescita logistica. Esempi di domande da orale. Cenno alla teoria del controllo. Cenno ai sistemi autonomi: invarianza per traslazione temporale, il teorema dell'energia cinetica.

• 31.10.16, 2 ore, Aula MTA, 42
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Continuità del limite uniforme, con dimostrazione. La derivabilità non passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, necessità della definizione, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di serie: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione. Completamento della dimostrazione del Teorema di Cauchy.

• 07.11.16, 2 ore, Aula MTA, 44
  Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione.

• 08.11.16, 2 ore, Aula N9, 46
  Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio.

• 09.11.16, 3 ore, Aula B3.1, 49
  Come affrontare il calcolo di sviluppi di Taylor: esempi. Precisazione su differenze tra funzioni C^∞ e analitiche. Il Criterio di Weierstraβ, senza dimostrazione. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, esempi (la funzione mantissa), estensione di una funzione definita su un intervallo limitato ad una funzione periodica su R, cambiamento di variabile per trasformare una funzione T-periodica in una funzione 2π-periodica. Sviluppo di Fourier: analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier.

• 28.11.16, 1 ora, aula MTA, 50
  Ora persa a causa dell'inaugurazione dell'anno accademico.

• 29.11.16, 2 ore, Aula N9, 52
  Una funzione senza coefficienti di Fourier, esempio. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Esercizi presi da temi d'esame.

• 30.11.16, 3 ore, Aula B3.1, 55
  Linearità dei coefficienti di Fourier; coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Definizione di curva, di lunghezza di una curva, formula per il calcolo della lunghezza di una curva C¹, senza dimostrazione. Introduzione al calcolo delle variazioni. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Formula di Eulero-Lagrange, con dimostrazione. Esempio della geodetica, in dettaglio. Esercizi presi da temi d'esame.

• 07.12.16, 2 ore, Aula B3.1, 57
  La brachistocrona: scrittura del funzionale integrale, applicazione del Teorema di Eulero - Lagrange. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.16, 2 ore, Aula MTA, 59
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.12.16, 2 ore, Aula N9, 61
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 14.12.16, 2 ore, Aula B3.1, 63
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 19.12.16, 2 ore, Aula MTA, 65
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 20.12.16, 2 ore, Aula N9, 67
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 21.12.16, 3 ore, Aula B3.1, 70
  Esercizi presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 29.09.16, 2ore, aula N11, 2
  Verifica ed esempi di metriche, anche in dimensione infinita. Calcolo di alcune distanze.

• 06.10.16, 2 ore, aula N11, 4
  Natura geometrica di B(x, r) in R² rispetto ad alcune metriche. Esercizi vari su insiemi aperti, chiusi, frontiera di un insieme. Esempi (con verifica) di metriche equivalenti. Esempi di metriche non equivalenti.

• 13.10.16, 2 ore, aula N11, 6
  Esempi di spazi metrici completi e non. Esercizi su insiemi compatti, un'applicazione del teorema delle contrazioni. Calcolo di alcuni limiti per funzioni di più variabili.

• 20.10.16, 2 ore, aula N11, 8
  Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche con l'uso delle coordinate polari. Esercizi sulla continuità di una funzione di più variabili, esercizi sul calcolo delle derivate parziali.

• 24.10.16, 2 ore, aula MTA, 10
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità di una funzione di più variabili. Legame fra differenziabilità, derivabilità e continuità.

• 03.11.16, 2 ore, aula N11, 12
  Esercizi sulla differenziabilità tratti da temi esame, controesempio al teorema del differenziale totale, controesempio al lemma di Schwartz.

• 10.11.16, 2 ore, aula N11, 14
  Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità per funzioni a valori vettoriali. Controesempio al teorema di Lagrange, differenziabilità per funzioni composte. Esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi liberi.

• 14.11.16, 2 ore, aula MTA, 16
  Ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati mediante la parametrizzazione del bordo.

• 15.11.16, 2 ore, aula N9, 18
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati, anche tratti da temi esame; utilizzo delle curve di livello per la ricerca dei massimi e minimi.

• 17.11.16, 2 ore, aula N11, 20
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Immagine tramite una funzione continua di un connesso, legame fra insiemi convessi e connessi. Il teorema della funzione implicita: alcuni esercizi.

• 21.11.16, 2.5 ore, aula MTA, 22.5
  Esercizi sul teorema della funzione implicita. Invertibilità locale e globale: esempi e controesempi. Esercizi anche tratti da temi esame sull'invertbilità locale.

• 22.11.16, 2.5 ore, aula N9, 25
  Esercizi sul calcolo di integrali doppi applicando i teoremi di riduzione e sfruttando eventuali simmetrie della funzione integranda.

• 28.11.16, 1 ora, aula MTA, 26
  Calcolo di integrali doppi mediante il cambiamento di variabili, fra cui il passaggio in coordinate polari.

• 01.12.16, 2 ore, aula N11, 28
  Calcolo di integrali doppi. Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale è condizione sufficiente, ma non necessaria: controesempio. Proprietà della successione di partenza trasmesse alla funzione limite, sotto opportune condizioni.

• 05.12.16, 2 ore, Aula MTA, 30
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successsioni di funzioni, anche tratti da temi esame.

• 06.12.16, 2 ore, Aula N11, 32
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successsioni di funzioni, anche tratti da temi esame.

• 15.12.16, 2 ore, Aula N11,34
  Esercizi sulle serie di funzioni: studio della convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Implicazioni fra i vari tipi di convergenza.

• 16.12.16, 2 ore, Aula N8, 36
  Esercizi sulle serie di funzioni e sulle serie di potenze, calcolo del raggio di convergenza.

• 22.12.16, 2 ore, Aula N11, 38
  Esercizi vari sulle serie di Fourier, tratti anche da temi esame. Applicazioni dell'uguaglianza di Bessel-Parseval.