Analisi Superiore 2 - a.a.2015/2016

12.10.15, Aula 8, 2 ore, 2
Presentazione del corso: programma, esame. Definizione di spazio vettoriale topologico. Invarianza per traslazione della topologia. Esempi di spazi vettoriali topologici: spazi normati e non. Esempi di spazi di funzioni e loro struttura: C⁰([a,b];R), C^k([a,b];R), C⁰(R;R), C^k(A;R), L^p(A;R).

14.10.15, Aula 4, 2 ore, 4
Spazi vettoriali topologici: prime proprietà. Un aperto contiene "ogni direzione", con dimostrazione. Definizioni ed esempi di insiemi convessi, bilanciati, assorbenti, simmetrici. Un insieme bilanciato è anche simmetrico. Due lemmi sulla possibilità di scegliere intorni dell'origine con proprietà aggiuntive, con dimostrazione. Definizione di insieme limitato, motivazione e proprietà elementari (con dimostrazione): ogni insieme finito è limitato; l'unione, e la somma di 2 limitati sono limitate; un sottospazio limitato è banale. Compattezza e compattezza per successioni: definizioni. Un compatto è chiuso e limitato, con dimostrazione. Esempi0 di insieme chiuso e limitato non compatti, in dettaglio. Un sottospazio compatto è banale, con dimostrazione. Uno spazio vettoriale localmente compatto ha dimensione finita, enunciato.

19.10.15, 3 ore, Aula 8, 7
In uno spazio vettoriale topologico: la chiusura di un sottospazio vettoriale è un sottospazio vettoriale, con dimostrazione; ogni sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale topologico, con dimostrazione; lo spazio quoziente rispetto ad un sottospazio chiuso è uno spazio vettoriale topologico, senza dimostrazione; ogni sottospazio di dimensione finita è chiuso. Uno spazio vettoriale localmente compatto ha dimensione finita, con dimostrazione. Definizioni di limite per successioni in spazi topologici, metrici e vettoriali topologici. Discussione sulla definizione di limite. Condizione di Cauchy in spazi metrici e vettoriali topologici. Una successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Una successione convergente è limitata. Separabilià: definizione, esempi, l^∞ non è separabile, con dimostrazione.
Definizione di famiglia separante di seminorme, di spazio seminormato, esempi e principali proprietà. Richiami di topologia: definizione di una topologia attraverso i sistemi fondamentali di intorni. Uno spazio seminormato è uno spazio vettoriale topologico, con dimostrazione.

26.10.15, 3 ore, Aula 8, 10
Ogni spazio seminormato è localmente convesso, con dimostrazione. Definizione di funzionale di Minkowski di un insieme B, proprietà del funzionale dovute al fatto che B è assorbente, bilanciato, convesso, limitato, con dimostrazione; ruolo della topologia. Uno spazio localmente convesso ammette un sistema fondamentale di intorni convessi e bilanciati, con dimostrazione. Ogni spazio localmente convesso è anche seminormato, con dimostrazione. Spazi vettoriali normati: definizione, esempi. Completamento di uno spazio normato: costruzione. Quasi perpendicolarità in spazi di Banach, motivazione, dimostrazione. Caratterizzazioni degli spazi di dimensione finita: locale compattezza (con dimostrazione). Enunciato del Teorema di Ascoli-Arzelà. Definizione di applicazione lineare e principali proprietà. Esempio di applicazione lineare non continua. Definizione di limitatezza per un'applicazione lineare.

29.10.15, 2 ore, aula 4, 12
Continuità di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali topologici, con dimostrazione. Un'applicazione lineare limitata (nel senso delle funzioni) è banale, con dimostrazione. Limitatezza di un'applicazione lineare: definizione, definizione di norma di un'applicazione lineare. Limitatezza e continuità di un'applicazione lineare, con dimostrazione. Esempi di funzioni definite su spazi di dimensione infinita: la derivazione, l'integrazione (definita e non), la soluzione di un problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria, Lemma di Gronwall. Proprietà dello spazio delle applicazioni lineari e continue tra spazi vettoriali normati o di Banach, con dimostrazione. Duale di uno spazio vettoriale: definizione, esempi. Definizione di spazio riflessivo, mappa di James: la mappa di James è un'isometria lineare, con dimostrazione. Usi della riflessività, cenni alla teoria del controllo.

02.11.15, 3 ore, aula 8, 15
Introduzione alle leggi du conservazione: terminologia, cenni allo sviluppo storico, appllicazioni, esempi. Il caso lineae, definizione di iperbolicità, esempi.Nascita delle discontinuità: esempi, rilevanza fisica. Cenni alla teoria delle distribuzioni ed alle derivate deboli: ogni funzione L¹ è una distribzione, ogni misura è una distribuzione. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Definizione di shock, esempi.

05.11.15, 2 ore, aula 4, 17
Leggi di conservazione: shocks e rarefazioni, diversi criteri per l'ammissibilità. Il modello LWR per il traffico veicolare in una e due popolazioni.

09.11.15, 3 ore, aula 8, 20
Leggi di conservazione e leggi di bilancio: cenni all'operator splitting. Soluzione di un problema di riemann per un'equazione scalare 1D, in dettaglio. Richiami sul teorema della funzione implicita, senza dimostrazione. Soluzione del problema di Riemann per un sistema 2x2: curve di shock e di rarefazione (definizione, prime proprietà). Il caso del p-sistema: "gamma - law", calcoli in dettaglio.

12.11.15, 2 ore, aula 4, 22
Il Problema di Riemann per il p-sistema: calcoli espliciti, esempi di soluzione, introduzione al problema del vuoto.

16.11.15, 3 ore, aula 4, 25
Il Problema di Riemann per il p-sistema: il problema del vuoto. Il p-sistema in coordinate Lagrangiane. Introduzione al wave front tracking.

19.11.15, 2 ore, aula 4, 27
Il Problema di Riemann per il modello LWR: costruzione dettagliata grafica ed analitica delle soluzioni. Il semaforo.

30.11.15, 3 ore, aula 4, 30
Il problema di Riemann scalare 1D: il caso PLC, il caso generale. Esempi.

03.12.15, 2 ore, aula 4, 32
Il wave front tracking per una legge di conservazione scalare 1D: costruzione, stime sulla variazione totale e sul numero di discontinuità.

07.12.15, 3 ore, aula 4, 35
Convergenza delle soluzioni approssimate costruite con il wave front tracking: Teorema di Helly "modificato", definizione di soluzione debole, di vanishing viscosity, di soluzione entropica, di soluzione alla Kruzkov.

10.12.15, 2 ore, aula 4, 37
Problema di Riemann ad un giunto: definizione e costruzione delle soluzioni nel caso del modello LWR con una strada entrante ed una strada uscente.

14.12.15, 3 ore, aula 4, 40
Applicazioni al caso del modello LWR. Il caso degli incroci.

17.12.15, 2 ore, aula 4, 42
LWR su reti: introduzione. Il problema di Riemann per i sistemi di leggi di conservazione.

21.12.15, 2 ore, aula 4, 44
Wave front tracking per sistemi di leggi di conservazione: costruzione delle soluzioni approssimate.

11.01.16, 2 ore, aula 4, 46
Wave front tracking per sistemi di leggi di conservazione: stime di interazione, sulla variazione totale. Funzionale di Glimm.