Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 16.09.15, 2 ore, Aula N2, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà in più, solo enunciato.

• 21.09.15, 2 ore, Aula N10, 4
  Definizione di sfera aperta, esempi. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione di parte interna e chiusura; esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è isolato o è di accumulazione, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione.

• 22.09.15, 2 ore, Aula N9, 6
  Una successione in R² è come 2 successioni in R, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, enunciato. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

• 23.09.15, 2 ore, Aula N9, 8
  Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame continuità - successioni, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione.

• 12.10.15, 2 ore, Aula N10, 10
  L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), senza dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione.

• 13.10.15, aula N9, 2 ore, 12
  Introduzione al calcolo differenziale: per funzioni di più variabili, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, perchè il prodotto è definito così; definizione di norma e sue proprietà. Matrici: norma del prodotto e prodotto delle norme, con dimostrazione.

• 15.10.15, aula N9, 2 ore, 14
  Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, varie forme, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione; derivata del prodotto scalare di funzioni, senza dimostrazione. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione.

• 19.10.15, 2 ore, Aula N10, 16
  Il Lemma di Schwarz nel caso m=1 e n=2, motivazione, significato, dimostrazione, esempi di applicazione. Introduzione al Teorema della Funzione Implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi

• 20.10.15, 2 ore, Aula N9, 18
  Teorema della Funzione Implicita: metodo delle tangenti, dimostrazione (non della continuità). Derivata della funzione Implicita: unoa dimostrazione "sbagliata". Notazione per le derivate. Esempi. Cenno alla definizione di gradi di libertà.

• 21.10.15, 2 ore, Aula N9, 20
  Il Teorema della Funzione Inversa, cenno di dimostrazione. Derivata della funzione inversa, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine, senza dimostrazione. Esempi e confronto con altre tecniche. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: importanza del fatto che R è un campo ordinato. Distinzione tra ottimizzazione libera e vincolata. Definizioni di punto di massimo assoluto/locale. Teorema di Fermat, con dimostrazione. suo ruolo nella ricerca di massimi e minimi. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, con dimsotrazione.

• 26.10.15, 2 ore, Aula N10, 22
  Diagonalizzazione di una forma quadratica, senza dimostrazione. Forme quadratiche diagonali, definite e non, esempi. Ricarca di massimi e minimi liberi:condizione necessaria e condizione sufficiente al secondo ordine. Significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Definizione di curva di livello. Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, con dimostrazione semplificata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, enunciato, significato geometrico. Esempio di ricerca di punti di massimo/minimo liberi.

• 27.10.15, 2 ore, Aula N9, 24
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, dimostrazione. Equazione del piano tangente ad una superficie. Integrali doppi: regole di calcolo, formula per il cambiamento di variabili. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi, significato dei termini. Passaggio alla forma normale, significato, esempi. Passaggio al primo ordine: significato, esempi. Definizione di soluzione di un problema di Cauchy. Definizione di problema ben posto.

• 28.10.15, 2 ore, Aula N9, 26
  Un problema di Cauchy con/senza soluzioni a seconda del dato iniziale. Il Teorema di Peano: solo enunciato. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni. Senso in cui intendere l'unicità della soluzione di un problma di Cauchy. Introduzione al Teorema di Cauchy, enunciato completo, ruolo della funzione esponenziale. La popolazione umana sulla terra, esempio di studio qualitativo. Il decadimento radioattivo e il test del ¹⁴C, significato del tempo di dimezzamento, studio qualitativo.

• 02.11.15, 2 ore, Aula N10, 28
  Il Teorema di Cauchy locale: esistenza, con dimostrazione; unicità, con dimostrazione. Esempi di problemi di Cauchy e di dipendena da parametri: su intervalli limitati e non.

• 03.11.15, 2 ore, Aula N9, 30
  Il Lemma di Gronwall, significato, dimostrazione. Il Teorema di Cauchy locale: dipendenza continua. Esempi di problemi di Cauchy. Teorema di Cauchy Globale: definizione di funzione sublineare, esempi; dimostrazione, ruolo dell'esponenziale.

• 04.11.15, 2 ore, Aula N9, 32
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. La derivabilità non passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, necessità della definizione, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di serie: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 09.11.15, 2 ore, Aula N10, 34
  Il limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione.

• 10.11.15, 2 ore, Aula N9, 36
  Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica.

• 11.11.15, 2 ore, Aula N9, 38
  Definizione di funzione analitica, sue proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Criterio di Weierstraβ per l'analiticità di una funzione, senza dimostrazione. Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico.

• 16.11.15, 2 ore, Aula N10, 40
  Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier.

• 17.11.15, 2 ore, Aula N9, 42
  I coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Introduzione al Calcolo delle Variazioni. Introduziono al problema della geodetica e della brachistocrona, ambientamento generale. Definizione di curva, di lunghezza di curva e regola per calcolarla.

• 18.11.15, 2 ore, Aula N9, 44
  Derivazione di funzioni definite attraverso integrali, con cenno di dimostrazione. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione, anche nel caso vettoriale. Equazione di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica, soluzione. Il problema della brachistocrona, deduzione del funzionale.

• 24.11.15, 2 ore, Aula N9, 46
  Il problema della brachistocrona, conclusione. Esercizi presi da temi d'esame.

• 25.11.15, 2 ore, Aula N9, 48
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 30.11.15, 2 ore, Aula N10, 50
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 02.12.15, 2 ore, Aula N9, 52
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 02.12.15, 2 ore, Aula N9, 54
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 07.12.15, 2 ore, Aula N10, 56
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame. Equazioni differenziali ordinarie: metodi di soluzione analitica. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari, il caso delle equazioni lineari a coefficienti costant.q

• 09.12.15, 2 ore, Aula N9, 58
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 14.12.15, 2 ore, Aula N10, 60
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 15.12.15, 2 ore, Aula N9, 62
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 16.12.15, 2 ore, Aula N9, 64
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 21.12.15, 2 ore, Aula N10, 66
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 22.12.15, 2 ore, Aula N9, 68
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 17.09.15, 2 ore, Aula MTB, 2
  Esercizi sugli spazi metrici. La metrica indotta da una norma è in effetti una metrica, è invariante per traslazioni ed è positivamente omogenea (dimostrazione).

• 24.09.2015, 2 ore, Aula MTB, 4
  Natura geometrica di B(0,r) in R² rispetto ad alcune metriche. Insiemi aperti, chiusi, frontiera, chiusura,... Esempio di uno spazio metrico in cui ogni insieme è contemporaneamente aperto e chiuso

• 08.10.2015, 2 ore, Aula MTB, 6
  Esempi di metriche equivalenti e non. Definizione di spazio metrico completo, esempi di spazi metrici completi e non. Calcolo di due limiti.

• 22.10.2015, 2 ore, Aula MTB, 8
  Calcolo di limiti, esempi di limiti che non esistono. Esercizi sulla continuità di una funzione.

• 29.10.2015, 2 ore, Aula MTB, 10
  Calcolo di derivate parziali e direzionali, anche tratti da temi esame.

• 05.11.15, 2 ore, Aula MTB, 12
  Differenziabilità ed implicazioni varie.

• 26.11.15, 3 ore, Aula MTB, 15
  Calcolo di integrali doppi, mediante i teoremi di riduzione e l'uso delle coordinate polari.