Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 16.09.15, 2 ore, Aula N2, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà in più. Definizione di sfera aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione; esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un punto di un insieme o è di accumulazione o è isolato, con dimostrazione. Definizione di successione, di successione limitata; esempi.

• 21.09.15, 2 ore, Aula N10, 4
  Esempi. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione per esercizio.

• 22.09.15, 2 ore, Aula consiliare, 6
  Una successione in R² è come 2 successioni in R, enunciato e dimostrazione (parte lasciata per esercizio). Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Costruzione della definizione di limite per funzioni. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, inizio della dimostrazione.

• 24.09.15, aula N9, 2, 8
  Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, completamento della dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, cenno di dimostrazione. Il Teorema dei Carabinieri, senza dimostrazione. Richiami sulle forme di indeterminazione. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, motivazione, esempi, definzione di curva. Definizione di distanze equivalenti, esempi.

• 12.10.15, aula N10, 2 ore, 10
  Teorema delle contrazioni: esempi sulla necessità delle ipotesi. Introduzione al calcolo differenziale: notazioni, motivazioni, esempi. Definizione di derivata parziale: motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso generale. Definizione di derivata direzionale motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso generale. Una funzione non continua in (0,0) ma derivabile parzialmente ed in ogni direzione in (0,0). Derivata totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti vari. Definizione di differenziabilità, varie forme, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione.

• 13.10.15, aula MTB, 2 ore, 12
  Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e al caso n>1, enunciato nel caso generale. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione; derivata del prodotto scalare di funzioni. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione.

• 15.10.15, aula N9, 3 ore, 15
  Differenziabilità del prodotto scalare di funzioni differenziabili, senza dimostrazione. Esempi ed esercizi sulla differenziabilità. Definizione di segmento, motivazione. Ogni segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Definizione di insieme convesso in Rⁿ, esempi. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata ovunque nulla ma non costante. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Una funzione lineare in Rⁿ è continua, uniformemente continua, Lipschitziana e differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Il Lemma di Schwarz nel caso m=1 e n=2, motivazione, significato, utilità, dimostrazione. Introduzione al teorema della funzione implicita. Equazione di Keplero.

• 19.10.15, aula N10, 2 ore, 17
  Teorema della Funzione Implicita: motivazione, enunciato, significato dell'unicità, dimostrazione. Teorema delle Contrazioni con dipendenza continua dal parametro, con dimostrazione.

• 20.10.15, 2 ore, aula MTB, 19
  Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato, esempi, dimostrazione "sbagliata" della differenziabilità. Osservazioni sulla notazione per le derivate. Il caso m=1 e n=2, notazione, esempi. Cenno alla definizione di gradi di libertà. Introduzione al Teorema della Funzione Inversa: motivazione, esempi, dimostrazione nel caso C¹, regola di derivazione. Cenni alla definizione di gradi di libertà. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: cenno ai problemi di ottimizzazione multicriteri, esempi. Definizione di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto, differenze con il caso di Analisi 1. Teorema di Fermat e derivate direzionali/parziali in un punto di massimo/minimo, con dimostrazione.

• 22.10.15, 3 ore, Aula N9, 22
  Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione: enunciato senza dimostrazione, motivazione, utilizzo, esempi. Definizione di punto stazionario, motivazione, esempi. Una condizione necessaria al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Una condizione sufficiente al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Esempi di ricerca di massimi/minimi. Il gradiente è perpendicolare alle curve(superfici) di livello, con dimostrazione. Introduzione all'ottimizzazione vincolata. Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange: introduzione, enunciato, dimostrazione, numero di equazioni e numero di incognite.

• 26.10.15, 2 ore, Aula N10, 24
  Precisazioni sul programma svolto. Definizioni di punto stazionario (critico) e di sella. Introduzione agli integrali multipli. Problema della misura. Integrali doppi: introduzione, esempi. Formule di calcolo per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Esempio di calcolo di volume. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi di equazioni differenziali ordinarie e non.

• 27.10.15, 2 ore, Aula Magna, 26
  Ordine di un'equazione differenziale. Equazione differenziale ordinaria in forma normale; passaggio ad un'equazione del primo ordine, esempio. Definizione di Problema di Cauchy e di soluzione di un Problema di Cauchy, definizione di problema ben posto, senso in cui intendere l'unicità della soluzione. Teorema di Peano, solo enunciato. Esempi: popolazione umana sulla terra. Il pennello di Peano: esempio in dettaglio. Introduzione al Teorema di Cauchy: enunciato. Funzioni localmente Lipschitziane, esempi, motivazione, definizione. Se una funzione è C¹ allora è localmente Lipschitziana, con dimostrazione.

• 29.10.15, 3 ore, Aula N9, 29
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale: esistenza e unicità in dettaglio. Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Esempi: il decadimento radioattivo, Problema di Quincy.

• 02.11.15, 2 ore, Aula N10, 31
  Dimostraizone del Teorema di Cauchy Locale: dipendenza continua. Esempi di problemi di Cauchy e di dipendena da parametri: su intervalli limitati e non. Equazione della crescita logistica. Enunciato del Teorema di Cauchy Globale.

• 03.11.15, 2 ore, Aula MTB, 33
  Teorema di Cauchy Globale: definizione di funzione sublineare, esempi; dimostrazione, ruolo dell'esponenziale. Esempi di studi di problemi di Cauchy. Cenni alle equazioni differenziali autonome: invarianza per traslazione temporale, teorema dell'energia cinetica.

• 05.11.15, 3 ore, Aula N9, 36
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. La derivabilità non passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, necessità della definizione, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di serie: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo rispetto alla metrica della convergenza uniforme, con dimostrazione.

• 09.11.15, 2 ore, Aula N10, 38
  Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità (in ogni punto), dimostrazione dettagliata. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione.

• 10.11.15, 2 ore, Aula N9, 40
  Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non convergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf? Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i} +1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica.

• 12.11.15, 3 ore, Aula N9, 43
  Proprietà delle funzioni analitiche: dimostrazione in dettaglio. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Criterio di Weierstraβ per l'analiticità di una funzione, senza dimostrazione. Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione.

• 16.11.15, 2 ore, Aula N10, 45
  La serie di Fourier può convergere ad una funzione diversa da quella di partenza, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. I coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Una funzione senza coefficienti di Fourier, esempio. Definizione di funzione continua a tratti, esempi.

• 17.11.15, 2 ore, Aula MTB, 47
  Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Derivazione di una funzione definita attraverso un integrale, senza dimostrazione. Definizione di lunghezza di una curva e suo calcolo, senza dimostrazione. Introduzione al calcolo delle variazioni. Il Lemma Fondamentale del Calcolo delle Variazioni, anche nel caso vettoriale, con dimostrazione, anche nel caso vettoriale.

• 19.11.15, 3 ore, Aula N9, 50
  Precisazioni sul Lemma Fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Equazione di Eulero-Lagrange di un funzionale integrale, con dimostrazione dettagliata. Il problema della geodetica, risoluzione. Il problema della brachistocrona, deduzione del funzionale, condizione di stazionarietà, equazione e descrizione della cicloide. Esercizi presi da temi d'esame.

• 24.11.15, 2 ore, Aula MTB, 52
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 30.11.15, 2 ore, Aula N10, 54
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 01.12.15, 2 ore, Aula MTB, 56
  Il Teorema di Cauchy Locale: enunciato e dimostrazione completa.

• 03.12.15, 3 ore, Aula N9, 59
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 07.12.15, 2 ore, Aula N10, 61
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 10.12.15, 3 ore, Aula N9, 64
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 14.12.15, 2 ore, Aula N10, 66
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 15.12.15, 2 ore, Aula MTB, 68
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 17.12.15, 3 ore, Aula N9, 71
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 21.12.15, 2 ore, Aula N10, 73
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

• 22.12.15, 2 ore, Aula MTB, 75
  Esercizi proposti dagli studenti e presi da temi d'esame.

Esercitazioni

• 22.09.15, 2 ore, Aula N8, 2
  Esempi di metriche anche in dimensione infinita, verifica di metriche, calcolo della distanza fra due funzioni rispetto alla metrica della convergenza uniforme.

• 29.09.15, 2 ore, Aula N8, 4
  Esercizi vari su insiemi aperti, chiusi; frontiera, parte interna, chiusura di un insieme; punti isolati e punti d'accumulazione per un insieme, anche tratti da temi esame. Natura geometrica di B(0,r) in R^2 rispetto ad alcune metriche. Diametro di un insieme.

• 01.10.15, 2 ore, Aula N10, 6
  Esempi di spazi metrici completi e non, esempi di metriche equivalenti e non. Esercizi vari tratti da temi esame.

• 05.10.15, 2 ore, Aula N10, 8
  Calcolo di limiti, esempi di limiti che non esistono. Esercizi vari tratti da temi esame.

• 06.10.15, 2 ore, Aula N8, 10
  Calcolo di limiti, anche con l'ausilio di coordinate polari. Continuità di una funzione. Parte di teoria: definizione di funzione uniformemente continua, con esempi e controesempi. Legame fra l'uniforme continuità e la continuità. Il teorema di Cantor con dimostrazione.

• 08.10.15, 2 ore, Aula N9, 12
  Proposizioni riguardanti le funzioni uniformemente continue, teorema delle contrazioni con dimostrazione inclusa.

• 13.10.15, 2 ore, Aula N9, 14
  Esercizi sulle funzioni uniformemente continue e lipschitziane, anche tratti da temi esame; esercizi sul teorema delle contrazioni.

• 20.10.15, 2 ore, Aula N8, 16
  Calcolo di derivate parziali e direzionali, esercizi sulla continuità, anche tratti da temi esame.

• 02.11.15, 2 ore, Aula V1, 18
  Il teorema del differenziale totale: esempi, applicazioni nei temi esame e un controesempio; controesempio al lemma di Schwartz, differenziabilità per funzioni a valori vettoriali. Esempio in cui si mostra che il teorema di Lagrange non vale per le funzioni a valori vettoriali.

• 12.11,15, 2 ore, Aula MTB, 20
  Teorema del differenziale totale, esempi e controesempi. Controesempio al Lemmadi Schwartz, differenziabilità per funzioni a valori vettoriali.

• 16.11,15, 3 ore, Aula V1, 23
  Differenziabilità per composizione di funzioni, esercizi sul calcolo di massimi e minimi liberi, anche tratti da temi esame.

• 23.11.15, 2 ore (mattino), Aula N10, 25
  Esercizi sui massimi e minimi vincolati risolubili con parametrizzazione del bordo, curve di livello.

• 23.11.15, 2 ore (pomeriggio), Aula V1, 27
  Un'applicazione del teorema di Lagrange.

• 26.11.15, 2 ore, Aula N9, 29
  Esercizi vari sui teoremi della funzione implicita e della funzione inversa. Calcolo di integrali.

• 30.11.15, 3 ore, Aula V1, 32
  Esercizi sulle successioni di funzioni, legame fra la convergenza uniforme e quella puntuale, il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

• 07.12.15, 3 ore, Aula V1, 35
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Vari tipi di convergenza per serie di funzioni.

• 10.12.15, 3 ore, Aula MTB e MTA, 38
  Serie di Fourier e serie di potenze: esercizi vari, anche tratti da temi esame. L'uguaglianza di Bessel-Parseval.