Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 15.09.14, 3 ore, Aula N8, 3, 3
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato. Ogni spazionormato è anche uno spazio metrico con proprietà in più. Definizione di sfera aperta, esempi. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione; definizione di parte interna e chiusura; esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella chiusura, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi.

• 22.09.2014, 3, 6
  Definizione di punto isolato, esempi. Un punto di un insieme o è isolato o è di accumulazione, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con inizio di dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, conclusione della dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza fimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione per esercizio. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Una successione in R² è come 2 successioni in R, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione.

• 24.09.2014, aula N5, 2, 8
  I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, enunciato. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 29.09.2014, aula N8, 3, 11
  Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, con dimostrazione. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame continuità - successioni, senza dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, il caso di Analisi 1.

• 06.10.2014, aula N8, 3, 14
  Il teorema delle contrazioni: dimostrazione, necessità delle ipotesi. Esercizi sugli spazi metrici. Introduzione al calcolo differenziale: per funzioni di più variabili, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, perchè il prodotto è definito così; definizione di norma e sue proprietà. Matrici: norma del prodotto e prodotto delle norme, con dimostrazione.

• 13.10.2014, aula N8, 3, 17
  Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, varie forme, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, del prodotto scalare di funzioni, con dimostrazione. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione.

• 15.10.2014, aula N5, 2, 19
  Il Lemma di Schwarz nel caso generale: riduzione al caso m=1 e n=2, dimostrazione. Il Lemma di Schwarz nel caso m=1 e n=2, motivazione, significato, dimostrazione. Introduzione al Teorema della Funzione Implicita: motivazione, l'equazione di Keplero, esempi, definizione di funzione implicita, problema dell'unicità. Enunciato del Teorema della Funzione Implicita, metodo delle tangenti.

• 20.10.2014, aula N8, 3, 22
  Dimostrazione del Teorema della Funzione Implicita (non della continuità). Derivata della funzione Implicita: una dimostrazione "sbagliata". Notazione per le derivate. Esercizi su funzioni implicite. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: importanza del fatto che R è un campo ordinato. Distinzione tra ottimizzazione libera e vincolata. Definizioni di punto di massimo assoluto/locale, punto stazionario, punto di sella, estremante. Teorema di §Fermat, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine, senza dimostrazione, suo ruolo nella ricerca di massimi e minimi.

• 22.10.2014, aula N6, 0, 22
  Lezione sospesa.

• 27.10.2014, aula N8, 3, 25
  Ricarca di massimi e minimi liberi: condizione necessaria e condizione sufficiente al secondo ordine. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione di Gram-Schmidt: richiami. Significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Definizione di curva di livello. Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, con dimostrazione semplificata. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, con dimostrazione, significato geometrico. Integrali doppi: regole di calcolo. Integrali doppi: formula per il cambiamento di variabili.

• 29.10.2014, aula N5, 2, 27
  Equazione del piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili reali, componenti del vettore normale. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi, significato dei termini. Passaggio alla forma normale, significato, esempi. Passaggio al primo ordine: significato, esempi. Definizione di soluzione di un problema di Cauchy. Definizione di problema ben posto. Un problema di Cauchy con/senza soluzioni a seconda del dato iniziale. Il Teorema di Peano: solo enunciato. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni. Senso in cui intendere l'unicità della soluzione di un problma di Cauchy. Introduzione al Teorema di Cauchy.

• 03.11.2014, aula N8, 3, 30
  Il Teorema di Cauchy locale: esistenza, con dimostrazione; unicità, con dimostrazione. Il Teorema di Cauchy locale: dipendenza continua, senza dimostrazione, spiegazione dei termini, ruolo dell'esponenziale, esempi. Un Problema di Cauchy con esistenza solo locale. Il teorema di Cauchy globale, senza dimostraz9one, definizione di funzione sublineare. Esempi di esercizi sulle equazioni differenziali. considerazioni conclusive.

• 10.11.2014, aula N8, 3, 33
  Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, necessità della definizione, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di seria: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto, esempio in dettaglio. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso continuo ed il caso non continuo. La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità in ogni punto, dimostrazione dettagliata.

• 12.11.2014, aula N5, 2, 35
  Un legame tra derivazione e convergenza uniforme, con dimostrazione, necessità delle ipotesi. Convergence totale per serie: definizione; la convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Serie di potenze: definizione, notazione, motivazioni. Definizione di raggio di convergenza e proposizioni che la giustificano, con dimostrazione, esempi. Una definizione sbagliata di raggio di convergenza. Criteri del rapporto e della radice per calcolare il raggio di convergenza, senza dimostrazione, esempi. Legame funzione esponenziale- funzioni trigonometriche, con dimostrazione.

• 17.11.2014, aula N8, 3, 38
  Perché le serie di potenze si studioano in C, esempio. Convergenza della serie delle derivate e delle primitive, senza dimostrazione. Funzioni analiiche: definizione e proposizione sulle loro proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier

• 24.11.2014, Aula N8, 3, 41
  Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. La serie di Fourier può convergere ad una funzione diversa da quella di partenza, con dimostrazione. I coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Esercizi.

• 01.12.2014, Aula N8, 3, 44
  Derivazione di funzioni definite attraverso integrali, con cenno di dimostrazione. Introduziono al problema della geodetica e della brachistocrona, ambientamento generale. Esercizi proposti dagli studenti.

• 10.12.2014, Aula N5, 2, 46
  Esercizi proposti dagli studenti.

• 15.12.2014, Aula N8, 3, 49
  Esercizi proposti dagli studenti.

• 17.12.2014, Aula N5, 2, 51
  Esercizi proposti dagli studenti.

Esercitazioni

• 24.09.14, 2 ore, Aula N5, 2, 2
  Esercizi sugli spazi metrici esempi e verifiche di metriche, anche in dimensione infinita. Calcolo di alcune distanze.

• 01.10.2014, Aula N5, 2, 4
  Esercizi sugli insiemi aperti, chiusi, punti d'accumulazione e isolati per un insieme. esempi di metriche equivalenti e non, determinazione del diametro di un insieme.

• 08.10.2014, Aula N5, 2, 6
  Esercizi sul calcolo dei limiti, anche con l'ausilio di coordinate polari. Esempi di limiti che non esistono.

• 05.11.2014, Aula N5, 2, 8
  Esercizi sulla continuità, derivabilità e differenziabilità ed implicazioni varie.

• 19.11.2014, Aula N5, 2, 10
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi in domini con esenza bordo.

• 26.11.2014, Aula N5, 2, 12
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi in domini con bordo, utilizzando anche le curve di livello

• 03.12.2014, Aula N5, 2, 14