ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Anno Accademico 2014-2015
Programma Dettagliato:
Lezioni
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15.09.14, 2 ore, Aula N1, 2
Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico:
motivazione, enunciato, esempi. Definizione di diametro, di
insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo
∞. Differenza tra insieme (il)limitato e
(in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione.
- 17.09.2014, aula N1, 2, 4
Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio
metrico, con dimostrazione. Definizione di distanza invariante
per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio
normato. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico
con proprietà in più. Definizione di sfera
aperta. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera,
di accumulazione, isolato; definizione di parte interna e
chiusura. Esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed
è contenuto nella chiusura, con dimostrazione;
esempi. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Un
punto di un insieme o è di accumulazione o è
isolato, con dimostrazione. Definizione di successione, di
successione limitata; esempi.
- 22.09.2014, aula N1, 2, 6
Definizione di limite: motivazione, critica,
esempi. Unicità del limite, con
dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione
attraverso successioni, con inizio di dimostrazione.
Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso
successioni, conclusione della
dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso
successioni, con dimostrazione. Complementari di
aperti/chiusi, senza fimostrazione. Condizione di Cauchy:
motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di
spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge
allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una
successione è di Cauchy, allora è limitata, con
dimostrazione per esercizio.
- 24.09.2014, aula N1, 2, 8
Se una successione è di Cauchy, allora è
limitata, con dimostrazione. Se una successione è
convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Una
successione in R2 è come 2
successioni in R, enunciato e dimostrazione
(parte lasciata per esercizio). Insiemi separati, sconnessi e
connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione
dei connessi in R e degli aperti connessi
in Rn, senza
dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione,
esempi. I compatti di Rn
sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio
metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con
dimostrazione. Costruzione della definizione di limite per
funzioni. Limite per funzioni: costruzione della definizione,
sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per
funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e
limiti di successioni, inizio della dimostrazione.
- 25.09.2014, aula N1, 2, 10
Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni,
completamento della dimostrazione. Commenti alla definizione
di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2,
strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo
dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo
di un limite di una funzione a valori
in Rm equivale al calcolo
di m limiti di funzioni a valori
in R, cenno di dimostrazione. Il Teorema dei
Carabinieri, senza dimostrazione. Richiami sulle forme di
indeterminazione. Definizione di continuità:
costruzione della definizione, una definizione che "non
funziona". Legame tra limiti e continuità, con
dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto
l'insieme di definizione. La composizione di funzioni continue
è continua: costruzione dell'enunciato,
dimostrazione. Legame continuità - limiti di
successioni, con dimostrazione. L'immagine di un compatto
attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema
di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso
di funzioni a valori reali.
- 29.09.14, 2 ore, Aula N1, 2, 12
Teorema di Weierstraβ significato nel caso di funzioni a
valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una
funzione continua è un connesso, senza dimostrazione,
motivazione, esempi, definzione di curva. Definizione di
funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme
continuità - continuità, con dimostrazione. Una
funzione continua su un compatto è uniformemente
continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione
di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di
Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente
continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della
costante di Lipschitz. Definizione di contrazione,
commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione,
enunciato. inizio della dimostrazione.
- 01.10.14, 2 ore, Aula N1, 2, 14
Teorema delle contrazioni: fine della dimostrazione,
formula per la somma dei primi n interi, per i
termini di una progressione numerica, esempio
in R, esempi sulla necessità delle
ipotesi. Riassunto sugli spazi metrici. Introduzione al
calcolo differenziale: notazioni, motivazioni, esempi, ruolo
delle coordinate. Definizione di derivata parziale:
motivazione, esempi, caso n=2 e m=1, caso
generale. Definizione di derivata direzionale motivazione,
esempi, caso n=2 e m=1, caso generale.
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02.10.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 16
Una funzione non continua in (0,0) ma derivabile
parzialmente ed in ogni direzione in (0,0). Derivata
totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti
vari. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni
lineari. Definizione di o piccolo. Definizione di
differenziabilità, varie forme, varie
notazioni. Unicità della derivata totale, con
dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua,
con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche
derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con
dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le
derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la
derivata direzionale attraverso la derivata totale, con
dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in
funzione di n e m, esempi. Regole di
derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto
scalare per funzione, del prodotto scalare di funzioni, con
dimostrazione. Derivata della composizione di funzioni:
costruzione dell'enunciato, dimostrazione.
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06.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 18
Differenziabilità del prodotto scalare di funzioni
differenziabili, con dimostrazione. Il teorema del
differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel
caso n=2, m=1, come passare al
caso m>1 e al caso n>1, enunciato nel cso
generale. Esempi ed esercizi sulla differenziabilità.
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08.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 20
Definizione di segmento, motivazione. Ogni segmento è
compatto e connesso, con dimostrazione. Definizione di insieme
convesso in Rn,
esempi. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1,
esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con
dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata ovunque
nulla ma non costante. Se una funzione ha derivata nulla su un
convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una
funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora
è costante, con dimostrazione. Una funzione lineare
in Rn è continua,
uniformemente continua, Lipschitziana e differenziabile
su Rn, con dimostrazione.
Il Lemma di Schwarz nel
caso m=1 e n=2, motivazione, significato,
dimostrazione.
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09.10.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 22
Il Lemma di Schwarz nel caso generale: risuduzione al
caso m=1 e n=2, dimostrazione. Introduzione
al Teorema della Funzione Implicita: motivazione, l'equazione
di Keplero, esempi, definizione di funzione implicita,
problema dell'unicità. enunciato del Teorema della
Funzione Implicita, metodo delle tangenti.
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13.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 24
Il Teorema della Funzione Implicita: enunciato, dimostrazione
dettagliata, esempi, dimostrazione "sbagliata" della
differenziabilità. Osservazioni sulla notazione per le
derivate. Il caso m=1 e n=2, notazione,
derivata seconda. Introduzione al Teorema della Funzione
Inversa: motivazione, esempi, dimostrazione nel
caso C1, regola di derivazione.
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15.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 26
Il Toerema delle contrazioni con dipendenza continua dal
parametro, con dimostrazione. Precisazioni sul Teorema della
Funzione Implicita. Sviluppo di Taylor: notazione,
significato, uso, enunciato, legame con il caso di Analisi
1. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: cenno ai
problemi di ottimizzazione multicriteri, esempi. Definizione
di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto,
differenze con il caso di Analisi 1. Teorema di Fermat e
derivate direzionali/parziali in un punto di massimo/minimo,
con dimostrazione.
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16.10.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 28
Richiami sulle forme quadratiche: definizione,
proprietà principali, definizione di forma quadratica
definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione di
Gram-Schmidt: enunciato senza dimostrazione, motivazione,
utilizzo, esempi. Definizione di punto stazionario e punto di
sella, motivazione, esempi. Una condizione necessaria al
secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo,
con dimostrazione. Una condizione sufficiente al secondo
ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con
dimostrazione. Esempi di ricerca di massimi/minimi. Esercizi
sul teorema della funzione implicita.
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20.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 30
Il gradiente è perpendicolare alle curve(superfici) di
livello, con dimostrazione. Introduzione all'ottimizzazione
vincolata. Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange:
introduzione, enunciato, dimostrazione, numero di equazioni e
numero di incognite. Introduzione agli integrali multipli.
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22.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 32
Integrali doppi: introduzione, esempi. Formule di calcolo per
gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali
doppi. Esempio di calcolo di volume. Introduzione alla teoria
delle equazioni differenziali ordinarie: significato dei
termini, esempi di equazioni differenziali ordinarie e
non. Ordine di un'equazione differenziale. Equazione
differenziale ordinaria in forma normale; passaggio ad
un'equazione del primo ordine, esempio. Definizione di
Problema di Cauchy e di soluzione di un Problema di Cauchy,
definizione di problema ben posto, senso in cui intendere
l'unicità della soluzione. Teorema di Peano, solo
enunciato. Esempi: popolazione umana sulla terra.
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23.10.2014, 2 ore, Aula MTA, 0, 32
Lezione sospesa.
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27.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 34
Il pennello di Peano: esempio in dettaglio. Introduzione al
Teorema di Cauchy: enunciato. Funzioni localmente
Lipschitziane, esempi, motivazione, definizione. Introduzione
alla dimostrazione del Teorema di Cauchy. Il 14C:
esempio.
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29.10.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 36
Dimostraizone del Teorema di Cauchy Locale: esistenza e
unicità. Lemma di Gronwall, con
dimostrazione. Dimostraizone del Teorema di Cauchy Locale:
dipendenza continua. Esempi.
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30.10.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 38
Un problema di Cauchy senza soluzione. Un problema di Cauchy
con soluzione solo locale. Il Teorema di Cauchy Globale, con
dimostrazione. Esempi di studio di Problemi di Cauchy.
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03.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 40
Esempi di esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie,
considerazioni conclusive. Successioni e serie di funzioni:
definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza
puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle
serie di funzioni: definizione di serie, convergenza
puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale:
monotonia, positività, non la continuità, con
dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme:
necessità, definizione, formulazione
equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza
puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente
puntualmente ma non uniformemente, esempio.
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06.11.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 44
La derivabilità non passa al limite uniforme, con
dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza
uniforme, necessità della definizione, giustificazione,
definizione, relazione con quanto visto negli spazi
metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di
seria: scrittura dettagliata della definizione. Una
successione di Cauchy per la convergenza uniforme è
uniformemente convergente, con
dimostrazione. C0 è completo, con
dimostrazione. Un insieme chiuso e limitato non compatto,
esempio in dettaglio. L'integrazione da un punto di vista
funzionale: linearità e
Lipschitzianità. Passaggio al limite uniforme sotto al
segno di integrale, il caso continuo ed il caso non
continuo. La derivazione da un punto di vista funzionale:
linearità e non continuità in ogni punto,
dimostrazione dettagliata.
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10.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 46
Unicità dei limiti puntuali e uniforme, con
dimostrazione. Un legame tra convergenza uniforme e
derivazione, con dimostrazione. Introduzione alle serie di
potenze: ruolo di C. La convergenza in un
punto implica la convergenza su un cerchio, con
dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non
conbvergenza fuori da un cerchio, con
dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso
il sup, perché non attraverso l'inf?
Criterio del rapporto e criterio della radice, senza
dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro
raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni
trigonometriche, con dimostrazione. eπ
i +1=0.
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12.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 48
Un legame tra convergenza uniforme e derivazione,
commentisulla necessità delle ipotesi. Raggio di
convergenza della serie delle derivate, senza
dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di
variabile reale: esempi, definizione di funzione
analitica. Proprietà delle funzioni analitiche, con
dimostrazione. Una funzione di
classe C∞ non analitica.
Sviluppo di Taylor: ripetizione, lo sviluppo in serie, legame
con le funzioni analitiche, commenti sulla differenza
tra C∞ e analiticità,
enunciato del criterio di Weierstrass e suo ruolo. Esercizi
sugli sviluppi di Taylor. Definizione di funzione periodica,
come passare da un periodo ad un altro, esempi. Definizione di
parte intera e di mantissa.
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13.11.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 50
Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con
lo sviluppo di Taylor. Definizione di polinomio
trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e
coseni (relazioni di ortogonalità), senza
dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore
approssimazione nel senso della distanza quadratica, con
dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la
somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con
dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore
attraverso una base ortonormale e l'espressione di una
funzione come somma di una serie di Fourier.
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17.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 52
La serie di Fourier può convergere ad una funzione
diversa da quella di partenza, con dimostrazione. I
coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione,
con dimostrazione. Coefficienti di Fourier di funzioni
pari/dispari. Una funzione senza coefficienti di Fourier,
esempio. Definizione di funzione continua a tratti,
esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle
serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni
sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Esercizi.
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19.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 54
Derivazione diuna funzione definita attraverso un integrale,
senza dimostrazione. Definizione di lunghezza di una curva e
suo calcolo, senza dimostrazione. Introduzione al calcolo
delle variazioni. Il Lemma Fondamentale del Calcolo delle
Variazioni, con dimostrazione, anche nel caso
vettoriale. Esercizi presi da temi d'esame.
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20.11.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 56
Equazione di Eulero Lagrange per la stazionarietà di un
funzionale integrale, con dimostrazione. Funzionali per il
problema della geodetica e della brachistocrona. Esercizi
proposti dagli studenti.
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24.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 58
Equazione della geodetica e della brachistorcona, con
dimostrazione. Esercizi proposti dagli studenti.
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26.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 60
Impostazione del problema della catenaria e del problema
isoperimetrico. Equazione di Eulero-Lagrange per un funzionale
integrale vincolato, cenno di dimostrazione. Esercizi proposti
dagli studenti.
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27.11.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 62
Il problema della catenaria, cenno di soluzione. Esercizi
proposti dagli studenti.
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01.12.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 64
Ripasso sulle equazioni differenziali ordinarie
lineari. Esercizi su richiesta degli studenti.
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03.12.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 66
Esercizi proposti dagli studenti.
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04.12.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 68
Esercizi proposti dagli studenti.
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10.12.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 70
Esercizi proposti dagli studenti.
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11.12.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 72
Esercizi proposti dagli studenti.
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15.12.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 74
Esercizi proposti dagli studenti.
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17.12.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 76
Esercizi proposti dagli studenti.
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18.12.2014, 2 ore, Aula MTA, 2, 80
Esercizi proposti dagli studenti.
Esercitazioni
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19.09.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 2
Esercizi sugli spazi metrici esempi e verifiche di metriche,
anche in dimensione infinita. Calcolo di alcune distanze.
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26.09.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 4
Esercizi sugli insiemi aperti, chiusi, punti d'accumulazione e
isolati per un insieme. esempi di metriche equivalenti e non,
determinazione del diametro di un insieme.
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03.10.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 6
Esempi di spazi metrici completi e non. Calcolo di limiti per
funzioni di più variabili, anche con l'ausilio di coordinate
polari. Esempi di limiti che non esistono.
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10.10.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 8
Esercizi sul calcolo differenziale, in particolare calcolo di
derivate direzionali, parziali, studio della continuita' di
una funzione con esempi e controesempi.
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17.10.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 10
Esercizi sulla differenziabilità, anche da temi d'esame.
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24.10.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 12
Esercizi sul Teorema del differenziale totale, anche da temi
d'esame.
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31.10.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 14
Esercizi sulla derivabilità e differenziabilità
per funzioni a valori vettoriali, esercizi sulle funzioni
uniformemente continue e lipschitziane (richiesti dagli
studenti).
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05.11.2014, 2 ore, Aula N1, 2, 16
Esercizi, anche tratti da temi esame, sui teoremi della
funzione impolicita e della funzione inversa.
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07.11.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 18
Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi per funzioni di
più variabili in domini con e senza bordo ( studio
della funzione sul bordo mediante la parametrizzazzione del
bordo).
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14.11.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 20
Ricerca di massimi e minimi in domini con e senza
bordo,utilizzando anche le curve di livello, applicazioni del
teorema di Lagrange. Calcolo di integrali doppi applicando i
teoremi di riduzione e le simmetrie del dominio.
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21.11.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 22
Calcolo di integrali doppi usando anche le coordinate polari e
cambiamenti di variabili.
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28.11.2014, 2 ore, Aula N10, 2, 24
Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni
di funzioni.
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05.12.2014, 3 ore, Aula N10, 2, 27
Esercizi presi da temi d'esame.
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12.12.2014, 2 ore, Aula N10, 3, 30
Esercizi presi da temi d'esame.