Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA e RICERCA OPERATIVA
Ingegneria Informatica

Analisi Matematica - Programma Dettagliato:

Lezioni

• 18.09.12, 2 ore, Aula M1, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di sfera aperta, di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato. Ogni spazio normato è uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Punto interno, esterno, di frontiera: definizioni.

• 20.09.13, 3 ore, Aula V1, 5
  Punto interno, esterno, isolato, di frontiera e di accumulazione per un insieme: motivazione, significato, definizione esempi. Definizioni di parte interna, chiusura, insieme aperto, insieme chiuso: esempi. Definizione di successione in uno spazio metrico, definizione di successione limitata: esempi. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza fimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è limitata, allora è convergente, con dimostrazione. Una successione in R² è come 2 successioni in R, enunciato e dimostrazione (parte lasciata per esercizio). Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, enunciato.

• 25.09.13, 2 ore, Aula N5, 7
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Esercizi sul calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili.

• 27.09.13, 3 ore, Aula V1, 10
  Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, con dimostrazione. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti.

• 02.10.13, 2 ore, Aula N9, 12
  Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione, il caso di Analisi 1, necessità delle ipotesi. Il Teorema delle Contrazioni con parametro: motivazione e dimostrazione. Un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo è completo, dimostrazione per esercizio. Teoremi su limiti e continuità di funzioni definite su uno spazio metrico a valori in R^m e motivazione di questa restrizione: somma, prodotto per scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale, dimostrazioni (attraverso epsilone delta, attraverso le componenti, ...). Discussione sulle forme di indeterminazione.

• 04.10.13, 3 ore, Aula V1, 15
  Restrizione a Y=R: Teorema della permanenza del segno, con limiti e continuità, con dimostrazione per esercizio. Monotonia del limite, due enunciati, con dimostrazione per esercizio. Restrizione a X=Rⁿ: introduzione al calcolo differenziale per funzioni di più variabili, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Derivata totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti vari. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, perchè il prodotto è definito così; definizione di norma e sue proprietà. Matrici: norma del prodotto e prodotto delle norme, dimostrazione per esercizio. Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, varie forme, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente ed è derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, del prodotto scalare di funzioni, con dimostrazione. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione.

• 11.10.13, 3 ore, Aula V1, 18
  Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento.Un segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata nulla ma non costante. Definizione di insieme convesso in Rⁿ, esempi. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Una funzione lineare in Rⁿ è continua, uniformemente continua, Lipschitziana, differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Derivate totali di ordine superiore al primo. Definizione di C^k(A;R^m) e di C^∞(A;R^m), con A in Rⁿ. Il Lemma di Schwarz: riduzione al caso m=1 e n=2, enunciato in questo caso, dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: notazione, significato, senza dimostrazione. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione di Gram-Schmidt: richiami.

• 18.10.13, 3 ore, Aula N9, 21
  Introduzione ai problemi di ottimizzazione: cenno ai problemi di ottimizzazione multicriteri, esempi. Definizione di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto, differenze con il caso di Analisi 1. Teorema di Fermat e derivate direzionali/parziali in un punto di massimo/minimo, con dimostrazione. Definizione di punto stazionario e punto di sella, motivazione, esempi. Una condizione necessaria al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Una condizione sufficiente al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Definizione di curva di livello. Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, senza dimostrazione. Integrali doppi: regole di calcolo. Integrali doppi: formula per il cambiamento di variabili. Equazione del piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili reali, componenti del vettore normale. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi, significato dei termini. Passaggio alla forma normale, significato, esempi. Passaggio al primo ordine: significato, esempi.

• 23.10.13, 2 ore, Aula N9, 23
  Definizione di soluzione di un problema di Cauchy. Definizione di problema ben posto. Un problema di Cauchy con/senza soluzioni a seconda del dato iniziale. Il teoream di Peano: solo enunciato. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni. Senso in cui intendere l'unicità della soluzione di un problma di Cauchy. Esempio, il ¹⁴C: descrizione, equazione, risoluzione analitica, studio qualitativo.

• 25.10.13, 3 ore, Aula V1, 26
  Il Teorema di Cauchy locale: esistenza, con dimostrazione; unicità, con dimostrazione. Il Lemma di Gronwall: motivazione e dimostrazione. Il Teorema di Cauchy locale: dipendenza continua, con dimostrazione, spiegazione dei termini, ruolo dell'esponenziale. Il problema del paracadutista: studio qualitativo dettagliato.

• 06.11.13, 2 ore, Aula N9, 28
  Cenno alla teoria del controllo per equazioni differenziali ordinarie. Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio.

• 08.11.13, 3 ore, Aula V1, 31
  Definizione di convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente, il caso delle serie. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Unicità del limite uniforme e del limite puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio dettagliato. Proprietà che passano al limite uniforme: debole monotonia, positività, continuità e non la derivabilità, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Un successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Integrazione e derivazione da un punto di vista funzionale, in dettaglio, con dimostrazioni, esempi, controesempi, Lipschitzianità. Passaggio al limite sotto al segno di integrale: ruolo della limitatezza dell'intervallo di integrazione, ruolo della convergenza uniforrme. Una proposizione che lega convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Ripetizione di tutti gli enunciati nel caso delle serie, dimostrazioni per esercizio.

• 15.11.13, 3 ore, Aula V1, 34
  Serie di potenze: definizione di raggio di convergenza, proposizioni che la giustificano, tipo di convergenza, con dimostrazione. Cenni al comportamento di una serie sul bordo del cerchio di convergenza. Esempi. Criteri del rapporto e della radice, senza dimostrazione. Esempi. Perché le serie di potenze si studioano in C, esempio. Convergenza della serie delle derivate e delle primitive, senza dimostrazione.

• 22.11.13, 3 ore, Aula V1, 37
  Funzioni analiiche: definizione e proposizione sulle loro proprietà, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Esempi di esercizi presi da temi d'esame.

• 29.11.13, 3 ore, Aula V1, 40
  Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. La serie di Fourier può convergere ad una funzione diversa da quella di partenza, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Esercizi presi da temi d'esame.

• 06.12.13, 3 ore, Aula V1, 43
  Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n: motivazione, esempi. Applicabilità dei teoremi di Peano e di Cauchy, con dimostrazione. Relazione con i sistemi algebrici lineari. Definizione di nucleo e sue proprietà. Definizione di equazione omogenea, dimensione dell'insieme delle soluzioni (con dimostrazione); soluzione particolare. Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.12.13, 3 ore, Aula V1, 46
  Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n a coefficienti costanti: motivazione, esempi. Motivazione dell'uso all'equazione caratteristica, soluzioni semplici e doppie. Esercizi presi da temi d'esame.

• 18.12.13, 2 ore, Aula N9, 48
  Cenni sul principio di conservazione dell'energia. Esercizi presi da temi d'esame.

• 20.12.13, 3 ore, Aula N9, 51
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 09.10.13, 2 ore, Aula N9, 2
  Esercizi sugli spazi metrici.

• 16.10.13, 2 ore, Aula N9, 4
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 30.10.12, 2 ore, Aula N9, 6
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 20.11.13, 2 ore, Aula N9, 8
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 27.11.13, 2 ore, Aula N9, 10
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 04.12.13, 2 ore, Aula N9, 12
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 11.12.13, 2 ore, Aula N9, 14
  Esercizi presi da temi d'esame.