Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 17.09.12, 2 ore, Aula V1, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico: motivazione, enunciato, esempi. Definizione di sfera aperta, di diametro, di insieme limitato e illimitato, esempi. Ruolo del simbolo ∞. Ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Differenza tra insieme (il)limitato e (in)finito. Esercizi sul legame tra diametro ed inclusione. Definizione di distanza invariante per traslazioni e di distanza omogenea. Definizione di spazio normato.

• 18.09.13, 2 ore, Aula V1, 4
  Ogni spazio normato è uno spazio metrico con una distanza invariante per traslazioni e omogenea, con dimostrazione. Punto interno, esterno, isolato, di frontiera e di accumulazione per un insieme: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizioni di parte interna, chiusura, insieme aperto, insieme chiuso: esempi. Definizione di successione in uno spazio metrico, definizione di successione limitata: esempi. Un punto appartenente ad un insieme o è di accumulazione, o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con inizio di dimostrazione.

• 19.09.2013, 2 ore, Aula V1, 6
  Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, conclusione della dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Complementari di aperti/chiusi, senza fimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Una successione in R² è come 2 successioni in R, enunciato e dimostrazione (parte lasciata per esercizio). Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R e degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Uno spazio metrico compatto è anche completo, dimostrazione per esercizio. Costruzione della definizione di limite per funzioni.

• 20.09.13, 2 ore, Aula B31, 8
  Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, cenno di dimostrazione. Il Teorema dei Carabinieri, senza dimostrazione. Richiami sulle forme di indeterminazione.

• 24.09.13, 2 ore, Aula V1, 10
  Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione. Esercizi su funzioni continue in spazi metrici.

• 25.09.13, 2 ore, Aula V1, 12
  Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato. inizio della dimostrazione.

• 26.09.13, 2 ore, Aula V1, 14
  Il teorema delle contrazioni: fine della dimostrazione, il caso di Analisi 1, necessità delle ipotesi. Un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo è completo, con dimostrazione. Teoremi su limiti e continuità di funzioni definite su uno spazio metrico a valori in R^m e motivazione di questa restrizione: somma, prodotto per scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale, combinazione lineare: dimostrazioni (attraverso epsilon e delta, attraverso le componenti, ...). Restrizione a Y=R: Monotonia del limite, teorema dei valori intermedi, con dimostrazione. Restrizione a X=Rⁿ e Y=R^m: introduzione al calcolo differenziale per funzioni di più variabili, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Una funzione non continua in (0,0) ma derivabile parzialmente ed in ogni direzione in (0,0).x

• 27.09.13, 2 ore, Aula V1, 16
  Derivata totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti vari. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, perchè il prodotto è definito così; definizione di norma e sue proprietà. Matrici: norma del prodotto e prodotto delle norme, dimostrazione per esercizio. Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, varie form, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi.

• 01.10.13, 2 ore, Aula V1, 18
  Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, del prodotto scalare di funzioni, con dimostrazione. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso n=2, m=1, come passare al caso m>1 e al caso n>1. Definizione di segmento. Ogni segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Definizione di insieme convesso in Rⁿ, esempi.

• 02.10.13, 2 ore, Aula V1, 20
  Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata nulla ma non costante. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Una funzione lineare in Rⁿ è continua, uniformemente continua, Lipschitziana e differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Derivate di ordine superiore al primo. Il Lemma di Schwarz: enunciato generale, riduzione al caso m=1 e n=2, enunciato in questo caso, dimostrazione.

• 03.10.13, 2 ore, Aula V1, 22
  Definizione di C^k(A;R^m) e di C^∞(A;R^m), con A in Rⁿ. Definizione di funzione definita implicitamente. Il Teorema della Funzione Implicita: motivazione, esempi, il caso lineare, enunciato, dimostrazione dettagliata dell'esistenza.

• 04.10.13, 2 ore, Aula V1, 24
  Il Teorema della Funzione Implicita: dimostrazione "sbagliata" della differenziabilità, formula per la derivata della funzione implicita. Il caso m=n=1: formule esplicite, esempi di calcolo delle derivate prima e seconda. Esercizi sulle funzioni implicite. Osservazioni sulla notazione per le derivate. Introduzione al Teorema della funzione inversa. Il caso lineare, con dimostrazione; il caso generale: enunciato, dimostrazione, regola di derivazione, dimostrazione.

• 11.10.13, 2 ore, Aula V1, 26
  Sviluppo di Taylor al secondo ordine: notazione, significato, senza dimostrazione. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione di Gram-Schmidt: enunciato senza dimostrazione, motivazione, utilizzo, esempi. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: cenno ai problemi di ottimizzazione multicriteri, esempi. Definizione di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto, differenze con il caso di Analisi 1. Teorema di Fermat e derivate direzionali/parziali in un punto di massimo/minimo, con dimostrazione. Definizione di punto stazionario e punto di sella, motivazione, esempi. Una condizione necessaria al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Una condizione sufficiente al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione di Gram-Schmidt: enunciato senza dimostrazione, motivazione, utilizzo, esempi

• 15.10.13, 2 ore, Aula V1, 28
  Definizione di curva di livello. Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, enunciato rigoroso e dimostrazione. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: una giustificazione geometrica, enunciato e dimostrazione nel caso n=2. strategia per gli esercizi sui moltiplicatori di Lagrange. Integrali doppi: introduzione.

• 17.10.13, 2 ore, Aula V1, 30
  Formule di calcolo per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Esempio di calcolo di volume. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi di equazioni differenziali ordinarie e non. Ordine di un'equazione differenziale. Equazione differenziale ordinaria in forma normale; passaggio ad un'equazione del primo ordine, esempio. Definizione di Problema di Cauchy e di soluzione di un Problema di Cauchy, definizione di problema ben posto, senso in cui intendere l'unicità della soluzione. Teorema di Peano, solo enunciato. Esempi: popolazione umana sulla terra, datazione con il ¹⁴C.

• 18.10.13, 2 ore, Aula V1, 32
  Un problema di Cauchy senza soluzione, un Problema di Cauchy con infinite soluzioni. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi. Il Teorema di Cauchy (locale): introduzione, enunciato completo, dimostrazione dell'esistenza della soluzione.

• 23.10.13, 2 ore, Aula V1, 34
  Il Teorema di Cauchy (locale): dimostrazione dell'unicità della soluzione. Lemma di Gronwall: motivazione, dimostrazione. Il Teorema di Cauchy (locale): dimostrazione della dipendenza continua, ruolo dell'esponenziale. Esempi di studi qualitativi: il paracadutista.

• 24.10.13, 2 ore, Aula V1, 36
  Il Teorema di Cauchy Globale: un esempio di esistenza solo locale, definizione di sublinearità, enunciato, dimostrazione. Cenno alla teoria del controllo per equazioni differenziali ordinarie. Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio. Definizioni di convergenza per serie di funzioni, definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione.

• 25.10.13, 2 ore, Aula V1, 38
  Precisazioni sulle equazioni differenziali ordinarie: varie notazioni. Unicità del limite puntuale e del limite uniforme, con dimostrazioni. Proprietà che passano al limite uniforme: monotonia, positività, continuità, con dimostrazioni. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio dettagliato. La derivabilità non passa al limite uniforme, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, necessità della definizione, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di seria: scrittura dettagliata della definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. L'integrazione da un punto di vista funzionale: linearità e Lipschitzianità.

• 31.10.13, 2 ore, Aula V1, 40
  La derivazione da un punto di vista funzionale: linearità e non continuità in ogni punto, dimostrazione dettagliata. Passaggio l limite uniforme sotto al segno di integrale, il caso delle funzioni non continue, con dimostrazione. Necessità delle ipotesi, esempi dettagliati. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Ripetizione di alcuni enunciati relativi alle successioni di funzioni nel caso delle serie di funzioni, con dimostrazioni. Introduzione alle serie di potenze: ruolo di C. La convergenza in un punto implica la convergenza su un cerchio, con dimostrazione. La non convergenza in un punto implica la non conbvergenza fuori da un cerchio, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza attraverso il sup, perché non attraverso l'inf?

• 05.11.13, 2 ore, Aula V1, 42
  Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i}+1=0. Raggio di convergenza della serie delle derivate, senza dimostrazione. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche, con dimostrazione. Una funzione di classe C^∞ non analitica. Sviluppo di Taylor: ripetizione, lo sviluppo in serie, legame con le funzioni analitiche, commenti sulla differenza tra C^∞ e analiticità, enunciato del criterio di Weierstrass e suo ruolo.

• 06.11.13, 2 ore, Aula V1, 44
  Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica, come passare da un periodo ad un altro, esempi. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier. Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione.

• 07.11.13, 2 ore, Aula V1, 46
  La serie di Fourier può convergere ad una funzione diversa da quella di partenza, con dimostrazione. I coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione, con dimostrazione. Coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari. Una funzione senza coefficienti di Fourier, esempio. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, senza dimostrazione. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme. Esercizi presi da temi d'esame.

• 08.11.13, 2 ore, Aula V1, 48
  Introduzione al calcolo delle variazioni: esempi, enunciato del lemma fondamentale. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.11.13, 2 ore, Aula V1, 50
  Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni: dimostrazione. Curva inRⁿ: definizione, motivazione, curva regolare, esempio in dettaglio. Definizione di lunghezza di una curva, regola di calcolo, senza dimostrazione. Esercizi tratti da temi d'esame.

• 14.11.13, 2 ore, Aula V1, 52
  Le equazioni di Eulero-Lagrange, con dimostrazione e applicazione al problema della geodetica. Esercizi presi da temi d'esame.

• 15.11.13, 2 ore, Aula V1, 54
  Il problema della brachistocrona: energia potenziale, equazioni di Eulero-Lagrange. Esercizi presi da temi d'esame.

• 21.11.13, 2 ore, Aula V1, 56
  Equazioni di Eulero-Lagrange con vincolo, cenno di dimostrazione. Il problema isoperimetrico e il problema della catena: scrittura del funzionale da massimizzare/minimizzare e dei relativi vincoli, soluzione. Esercizi presi da temi d'esame.

• 22.11.13, 2 ore, Aula V1, 58
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 29.11.13, 2 ore, Aula V1, 60
  Equazioni differenziali lineari a coefficienti non costanti: scrittura come equazione al primo ordine, definizioni, applicabilità del Teorema di Cauchy, equazione omogenea e non. Dimensione dello spazio delle soluzioni di un'equazione omogenea, con dimostrazione. Soluzione generale come somma di soluzione particolare e di una soluzione dell'omogenea. Soluzione dell'equazione lineare del primo ordine. Esercizi presi da temi d'esame.

• 03.12.13, 2 ore, Aula V1, 62
  Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti: equazione caratteristica e sua motivazione, soluzione generale, soluzione dell'omogenea, il caso di soluzioni di molteplicità 2 ore(con dimostrazione), metodi di calcolo, esempi. Esercizi presi da temi d'esame.

• 05.12.13, 2 ore, Aula V1, 64
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 06.12.13, 2 ore, Aula V1, 66
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 10.12.13, 2 ore, Aula V1, 68
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.12.13, 2 ore, Aula V1, 70
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.12.13, 2 ore, Aula V1, 72
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 18.12.13, 2 ore, Aula V1, 74
  Cenni sul principio di conservazione dell'energia. Esercizi presi da temi d'esame.

• 20.12.13, 2 ore, Aula V1, 76
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 08.10.13, 2 ore, Aula V1, 2
  Esercizi sugli spazi metrici.

• 09.10.13, 2 ore, Aula V1, 4
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 10.10.13, 2 ore, Aula V1, 6
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 16.10.13, 2 ore, Aula V1, 8
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 22.10.13, 2 ore, Aula V1, 10
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 29.10.13, 2 ore, Aula V1, 12
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 30.10.13, 2 ore, Aula V1, 14
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.11.13, 2 ore, Aula V1, 16
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 19.11.13, 2 ore, Aula V1, 18
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 20.11.13, 2 ore, Aula V1, 20
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 26.11.13, 2 ore, Aula V1, 22
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 27.11.13, 2 ore, Aula V1, 24
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 28.11.13, 2 ore, Aula V1, 26
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 04.12.13, 2 ore, Aula V1, 28
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 11.12.13, 2 ore, Aula V1, 30
  Esercizi presi da temi d'esame.

• 17.12.13, 2 ore, Aula V1, 32
  Esercizi presi da temi d'esame.