Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Civile & Ambientale

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 18.09.12, 2 ore, Aula M1, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, motivazione, esempi. Definizione di sfera aperta, esempi ed esercizi. Definizione di diametro: motivazione, esempi. Definizione di insieme limitato / illimitato.

• 19.09.12, 2 ore Aula N2, 4
  Definizione di metriche equivalenti, esempi. Una metaproposizione sulle metriche equivalenti. Relazioni tra disuguaglianze sul diametro ed inclusione insiemistica. Ogni sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di metrica invariante per traslazione e di metrica omogenea, esempi. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà aggiuntive, con dimostrazione. Esempio di metrica non invariante per traslazione, esempio di metrica non omogenea. Definizioni ed esempi di: punto interno, esterno, di frontiera, isolato , di accumulazione. Definizione ed esempi di: parte interna, chiusura, frontiera di un insieme; di insieme aperto, chiuso.Ruolo del simbolo ∞. Definizione di successione in uno spazio metrico, esempi. Definizione di successione limitata, illimitata; esempi.

• 20.09.12, 2 ore, Aula N2, 6
  Un punto appartenente ad un insieme o è di accumulazione, o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica della definizione, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è limitata, allora è convergente, con dimostrazione. Una successione in R² è come 2 successioni in R, enunciato, suggerimento per la dimostrazione lasciata per esercizio.

• 21.09.2012, 2 ore, Aula N4, 8
  Una successione in R² è come 2 successioni in R, dimostrazione, significato. Una successione in R^k è come k successioni in R, cenno di dimostrazione, significato. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Caratterizzazione dei connessi in R, senza dimostrazione. Una proprietà dei connessi aperti in Rⁿ, senza dimostrazione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Uno spazio metrico compatto è anche completo, dimostrazione per esercizio. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione.

• 25.09.2012, 3 ore, Aula N2, 11
  Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini" e delle coordinate polari. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, una dimostrazione dimostrazione per esercizio nel caso m=2, una dimostrazione eseguita. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione.

• 27.09.2012, 2 ore, Aula N2, 13
  Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, definizione di curva. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato.

• 02.10.2012, 3 ore, Aula N2, 16
  Il teorema delle contrazioni: dimostrazione, il caso di Analisi 1, necessità delle ipotesi. Il Teorema delle Contrazioni con parametro: motivazione e dimostrazione. Un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo è completo, dimostrazione per esercizio. Teoremi su limiti e continuità di funzioni definite su uno spazio metrico a valori in R^m e motivazione di questa restrizione: somma, prodotto per scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale, dimostrazioni (attraverso epsilone delta, attraverso le componenti, ...). Discussione sulle forme di indeterminazione. Restrizione a Y=R: Teorema della permanenza del segno, con limiti e continuità, con dimostrazione. Monotonia del limite, due enunciati, con dimostrazione. Restrizione a X=Rⁿ: introduzione al calcolo differenziale per funzioni di più variabili, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi.

• 03.10.2012, 2 ore, Aula N2, 18
  Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile e con tutte le derivate direzionali ma non continua. Derivata totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti vari. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, percè il prodotto è definito così; definizione di norma e sue proprietà. Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, varie form, varie notazioni. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi.

• 04.10.2012, 2 ore, Aula N2, 20
  Matrici: norma del prodotto e prodotto delle norme, dimostrazione per esercizio. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, del prodotto scalare di funzioni, con dimostrazione. Derivata della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Il teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione. Definizione di segmento.

• 09.10.2012, 3 ore, Aula N2, 23
  Un segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata nulla ma non costante. Definizione di insieme convesso in Rⁿ, esempi. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Una funzione lineare in Rⁿ è continua, uniformemente continua, Lipschitziana, differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Derivate totali di ordine superiore al primo. Definizione di C^k(A;R^m) e di C^∞(A;R^m), con A in Rⁿ. Il Lemma di Schwarz: riduzione al caso m=1 e n=2, enunciato in questo caso, dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: notazione, significato, senza dimostrazione. Introduzione al teorema della funzione implicita: l'equazione di Keplero; nesso con il numero di gradi di libertà. Definizione di funzione definita implicitamente.

• 11.10.2012, 2 ore, Aula N2, 25
  Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, enunciato, dimostrazione dettagliata dell'esistenza, dimostrazione "sbagliata" della differenziabilità, formula per la derivata della funzione implicita. Il caso m=n=1: formule esplicite, un esempio di calcolo delle derivate prima e seconda. Osservazioni sulla notazione per le derivate.

• 16.10.2012, 3 ore, Aula N2, 28
  Introduzione al Teorema della funzione inversa. Il caso lineare, con dimostrazione; il caso generale: enunciato, dimostrazione, regola di derivazione, dimostrazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: cenno ai problemi di ottimizzazione multicriteri, esempi. Definizione di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto, differenze con il caso di Analisi 1. Teorema di Fermat e derivate direzionali/parziali in un punto di massimo/minimo, con dimostrazione. Definizione di punto stazionario e punto di sella, motivazione, esempi. Una condizione necessaria al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Una condizione sufficiente al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa. Diagonalizzazione di Sylvester: enunciato senza dimostrazione, motivazione, utilizzo, esempi. Significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Definizione di curva di livello. Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, enunciato rigoroso e inizio della dimostrazione.

• 18.10.2012, 2 ore, Aula N2, 30
  Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, dimostrazione. Significato geometrico delle ipotesi del teorema della funzione implicita. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: una giustificazione geometrica, enunciato e dimostrazione nel caso n=2. Integrali doppi: regole di calcolo.

• 19.10.2012, 2 ore, Aula N4, 32
  Integrali doppi: formula per il cambiamento di variabili. Equazione del piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili reali, componenti del vettore normale. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi, significato dei termini. Passaggio alla forma normale, significato, esempi. Passaggio al primo ordine: significato, esempi. Definizione di soluzione di un'equazione differenziale ordinaria. Ruolo della condizione iniziale. Definizione di Problema ben Posto, di Problema di Cauchy, di soluzione di un Problema di Cauchy. Esempi. Un Problema di Cauchy senza soluzione.

• 25.10.2012, 2 ore, Aula N2, 34
  Il Teorema di Peano: solo enunciato. Un Problema di cauchy con infinite soluzioni: esempio dettagliato. Il Teorema di Cauchy Locale: enunciato completo, dimostrazione di esistenza ed unicità.

• 13.11.2012, 3 ore, Aula N2, 37
  Il Lemma di Gronwall, enunciato, motivazione, dimostrazione. La dipendenza continua nel Teorema di Cauchy locale, enunciato e dimostrazione. Il Teorema di Cauchy Globale: un esempio di esistenza solo locale, definizione di sublinearità, enunciato, dimostrazione. Esempi di studio qualitativo: il ¹⁴C, il paracadutista. Esempio di utlizzo del teorema sulla dipendenza continua.

• 20.11.2012, 3 ore, Aula Consiliare, 40
  Cenno alla teoria del controllo per equazioni differenziali ordinarie. Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Il caso delle serie di funzioni: definizione di serie, convergenza puntuale. Unicità del limite puntuale, con dimostrazione. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente, il caso delle serie. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Unicità del limite uniforme, con dimostrazione. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio dettagliato. Proprietà che passano al limite uniforme: debole monotonia, positività, continuità e non la derivabilità, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Un successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione.

• 21.11.2012, 2 ore, Aula N2, 42
  Integrazione e derivazione da un punto di vista funzionale, in dettaglio, con dimostrazioni, esempi, controesempi, Lipschitzianità. Passaggio al limite sotto al segno di integrale: ruolo della limitatezza dell'intervallo di integrazione. Una proposizione che lega convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Ripetizione di tutti gli enunciati nel caso delle serie, dimostrazioni per esercizio.

• 27.11.2012, 3 ore, Aula N2, 45
  Ripetizione dei vari tipi di convergenza e delle relative conizioni di Cauchy. Conevrgenza totale: motivazione, definizione. La convergenza total implica quella uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: uso di C, esempi, nomenclatura. Proposizioni che giustificano l'introduzione del raggio di convergenza, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza: esempi di definizioni inaccettabili, il caso di serie non di potenze e di serie in 2 variabili. Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze notevoli e loro raggio di convergenza. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche, con dimostrazione. e^{π i}+1=0. Serie di potenze come funzioni reali di variabile reale: esempi, definizione di funzione analitica. Proprietà delle funzioni analitiche, con dimostrazione. Una funzione di classe C^∞ non analitica.

• 29.11.2012, 2 ore, Aula N2, 47
  Sviluppo di Taylor: ripetizione, lo sviluppo in serie, legame con le funzioni analitiche, commenti sulla differenza tra C^∞ e analiticità, ruolo del criterio di Weierstrass. Metodi per determinare lo sviluppo di Taylor, esempi. Introduzione alle serie di Fourier, analogia e differenze con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica, come passare da un periodo ad un altro, esempi. Definizione di parte intera e di mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico. Lemma sugli integrali definiti di seni e coseni (relazioni di ortogonalità), senza dimostrazione. Analogia tra l'espressione di un vettore attraverso una base ortonormale e l'espressione di una funzione come somma di una serie di Fourier.

• 04.12.2012, 3 ore, Aula N2, 50
  Formula dei coefficienti di Fourier per la somma di una serie di Fourier uniformemente convergente, con dimostrazione. Il polinomio di Fourier fornisce la migliore approssimazione nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. La serie di Fourier può convergere ad una funzione diversa da quella di partenza, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, motivazioni, senza dimostrazione. Derivabilità e derivata di una funzione definita tramite un integrale, con dimostrazione.

• 05.12.2012, 2 ore, Aula N2, 52
  Definizione di curva in Rⁿ: motivazione, esempi. Definizione di curva regolare: motivazione, esempio di curva C¹ senza tangente in un punto. Definizione di lunghzza di una curva: motivazione, costruzione, esempi, formula di calcolo. Introduzione al calcolo delle variazioni: esempi di funzioni definite su funzioni. Il problema della geodetica.

• 06.12.2012, 2 ore, Aula N2, 54
  Calcolo delle variazioni: introduzione. Il problema della brachistocrona: deduzione del funzionale. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni: introduzione, enunciato, dimostrazione, estensioni. Equazioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale: dimostrazione. Il problema della geodetica: risoluzione.

• 18.12.2012, 2 ore, Aula N2, 56
  Il problema della geodetica, ripetizione. Il problema della brachisticrona, trattazione completa (calcoli finali esclusi). Problemi di ottimizzazione vincolata nel calcolo delle variazioni: enunciato e dimostrazione dell'equazione di eulero-Lagrange nel caso vincolato. Il problema isoperimetrico: trattazione completa. Il problema della catenaria: deduzione del funzionale, equazione della catenaria.

• 20.12.2012, 2 ore, Aula N2, 58
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 26.09.12, 2 ore, Aula N2, 2
  Esercizi sugli spazi metrici, verifica di alcune metriche, natura geometrica della palla in R^2 rispetto ad alcune metriche, la metrica della convergenza uniforme.

• 28.09.12, 2 ore, Aula N4, 4
  Esercizi sugli insiemi aperti, chiusi, sui punti interni, esterni, d'accumulazione ed isolati per un insieme.Esercizi sul diametro di un insieme e sulle metriche equivalenti.

• 05.10.12, 2 ore, Aula N4, 6
  Alcuni esempi di metriche non equivalenti, esercizi vari riguardanti le successioni in spazi metrici, esempi di spazi metrici completi e non, esempi di applicazioni che sono contrazioni. Applicazioni del teorema delle contrazioni.

• 10.10.12, 2 ore, Aula N2, 8
  Verfica e calcolo di limiti per funzioni di più variabili, anche mediante l'utilizzo delle coordinate polari. Esempi di limiti che non esistono.

• 12.10.12, 2 ore, Aula N4, 10
  Esercizi vari sulla continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili. Significato geometrico del differenziale, relazione fra differenziabilità, derivabilità e continuità.

• 17.10.12, 2 ore, Aula N2, 12
  Esercizi vari sulla derivabilità e differenziabilità tratti da temi esame.

• 23.10.12, 2 ore, Aula N2, 14
  Esercizi sulla differenziabilità ed applicazioni varie del teorema del differenziale totale e del lemma di Schwarz. Controesempi al teorema del differenziale totale e al lemma di Schwarz.

• 24.10.12, 2 ore, Aula N2, 16
  Esercizi sulla continuità, derivabilità e differenziabilità per le funzioni a valori vettoriali. Esempio in cui si mostra che per le funzioni a valori vettoriali non vale il teorema di Lagrange. Alcune proprietà delle funzioni uniformemente continue e lipschitziane.

• 26.10.12, 2 ore, Aula N4, 18
  Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi per funzioni di più variabili definite in domini senza bordo.

• 30.10.12, 3 ore, Aula N2, 21
  Esercizi sulla ricerca dei massimi e minimi per funzioni definite in domini con e senza bordo, e per funzioni non ovunque differenziabili nel loro dominio.

• 31.10.12, 2 ore, Aula N2, 23
  Applicazioni del teorema dei moltiplicatori di Lagrange ed esercizi risolti considerando le curve di livello. Esercizi sugli insiemi connessi.

• 06.11.12, 2 ore, Aula Magna, 25
  Applicazioni ed esercizi in cui si applica il teorema della funzione implicita, anche tratti da temi esame.

• 07.11.12, 2 ore, Aula N2, 27
  Esercizi riguardanti il teorema della funzione implicita per funzioni a valori vettoriali e per i sistemi di equazioni, la formula di Taylor per funzioni di più variabili.

• 08.11.12, 2 ore, Aula N2, 29
  Esercizi tratti da temi esame riguardanti il teorema del Dini e la formula di Taylor.

• 09.11.12, 2 ore, Aula N4, 31
  Esercizi riguardanti il teorema della funzione inversa. Calcolo di alcuni integrali doppi, applicando i teoremi di riduzione.

• 14.11.12, 2 ore, Aula N2, 33
  Esercizi vari sugli integrali doppi, risolti anche mediante un cambiamento di coordinate.

• 15.11.12, 2 ore, Aula N2, 34
  Calcolo di integrali doppi risolti mediante opportune sostituzioni e mediante eventuali simmetrie del dominio e della funzione integranda.

• 16.11.12, 2 ore, Aula N4, 36
  Esercizi sugli integrali doppi. Applicazioni dei teoremi di esistenza e unicità locale e globale di Cauchy

• 22.11.12, 2 ore, Aula N2, 38
  Esercizi in cui si applicano i teoremi di esistenza e unicità locale e globale di Cauchy. Studio qualitativo di alcuni problemi di Cauchy.

• 23.11.12, 2 ore, Aula N4, 40
  Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari e riconducibili ad esse mediante opportune sostituzioni.

• 28.11.12, 2 ore, Aula N2, 42
  Risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti e di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine a coefficienti costanti.

• 30.11.12, 2 ore, Aula N4, 44
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni con applicazione di alcuni teoremi, fra cui il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

• 07.12.12, 2 ore, Aula N4, 46
  Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 11.12.12, 2 ore, Aula N2, 48
  Esercizi sulle successioni di funzioni tratti da temi d'esame. La convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale per una serie di funzioni con implicazioni varie.

• 12.12.12, 2 ore, Aula N2, 50
  Esercizi sulle serie di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 13.12.12, 2 ore, Aula N2, 52
  Applicazione dei teoremi di integrazione e derivazione per serie. Esercizi sulle serie di potenze, con calcolo del raggio di convergenza.

• 14.12.12, 2 ore, Aula N4, 54
  Esercizi riguardante le serie di Fourier

• 19.12.12, 2 ore, Aula N2, 56
  Leziene dedicata alla domande degli studenti.

• 21.12.12, 2 ore, Aula N4, 58