Analisi Superiore 2

Rinaldo M. Colombo

Programma Svolto

• 04.10.11, 3 ore, Aula 4, 3
  Presentazione del corso: programma, esame. Esempi di spazi di funzioni e loro struttura: C⁰([a,b];R), C¹([a,b];R), C⁰(R;R), C¹(A;R). Definizione di spazio vettoriale topologico: motivazione, esempi, prime proprietà. Proprietà della chiusura della somma di due insiemi, del prodotto scalare per insieme, con dimostrazione. Un aperto contiene "ogni direzione", con dimostrazione. Definizioni ed esempi di insiemi convessi, bilanciati, assorbenti, simmetrici. Un insieme bilanciato è anche simmetrico. Due lemmi sulla possibilità di scegliere intorni dell'origine con proprietà aggiuntive, con dimostrazione.

• 07.10.11, 3 ore, Aula 8, 6
  In uno spazio vettoriale topologico: la chiusura di un sottospazio vettoriale è un sottospazio vettoriale, con dimostrazione; ogni sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale topologico, con dimostrazione; lo spazio quoziente rispetto ad un sottospazio chiuso è uno spazio vettoriale topologico, senza dimostrazione; ogni sottospazio di dimensione finita è chiuso. Definizione di insieme limitato, motivazione e proprietà elementari (con dimostrazione): ogni insieme finito è limitato; un insieme contenuto in un limitato è limitato; l'unione, l'intersezione e la somma di 2 limitati sono limitate; un sottospazio limitato è banale. Relazioni tra la limitatezza nel senso dello spazio vettoriale topologico e nel senso di una distanza invariante per traslazione, esempi, ruolo dell'omogeneità. Compattezza e compattezza per successioni: definizioni, relazioni. Un compatto è chiuso e limitato, con dimostrazione. Esempi di insiemi chiusi e limitati non compatti, uno in dettaglio ed uno per esercizio. Un sottospazio compatto è banale, con dimostrazione. Uno spazio vettoriale localmente compatto ha dimensione finita, con dimostrazione. Definizioni di limite per successioni in spazi topologici, metrici e vettoriali topologici. Discussione sulla definizione di limite. Condizione di Cauchy in spazi metrici e vettoriali topologici.

• 11.10.11, 3 ore, Aula 4, 9
  Una successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Una successione convergente è limitata. Definizione e osservazioni generali su funzioni continue e uniformemente continue. Esempi. Due definizioni di funzione continua su un insieme di punti: esempi. Separabilià: definizione, esempi, l^∞ non è separabile, con dimostrazione. Complementi su quanto svolto: il teorema di Ascoli-Arzelà e suo uso nel Teorema di Peano. Definizione di funzioni analitiche. Un esempio di funzione C^∞ non analitica, in dettaglio. Definizione di seminorma, proprietà elementari delle seminorme, con dimostrazione. Definizione di famiglia separante di seminorme, esempi.

• 13.10.11, 3 ore, Aula 10, 12
  Uno spazio seminormato con una quantità numerabile di seminorme ammette una distanza invariante per traslazioni che induce la stessa topologia delle seminorme, con dimostrazione. Richiami di topologia: definizione di una topologia attraverso i sistemi fondamentali di intorni. Definizione di spazio localmente convesso. Ogni spazio seminormato è localmente convesso, con dimostrazione. Definizione di funzionale di Minkowski di un insieme B, proprietà del funzionale dovute al fatto che B è assorbente, bilanciato, convesso, limitato, con dimostrazione; ruolo della topologia. Uno spazio localmente convesso ammette un sistema fondamentale di intorni convessi e bilanciati, con dimostrazione. Ogni spazio localmente convesso è anche seminormato, con dimostrazione. Spazi vettoriali normati e di Banach: definizione, esempi. Cenno al completamento di uno spazio vettoriale normato. Definizione di spazio normabile. Una condizione di normabilità, con dimostrazione.

• 18.10.11, 3 ore, Aula 4, 15
  Quasi perpendicolarità in spazi di Banach, motivazione, dimostrazione. Una condizione di normabilità, con dimostrazione. Legame tra norma e geometria della sfera unitaria: esempi. Definizione di spazio uniformemente convesso: esempi; proprietà (senza dimostrazione). Spazi prehilbertiani (o unitari): motivazione, definizione, esempi, principali proprietà, con dimostrazione. Cenni agli spazi L² e l². Spazi di Hilbert: definizione, esempi. Il teorema della migliore approssimazione, con dimostrazione. Applicazione alle serie di Fourier. Definizione di applicazione lineare e principali proprietà. Continuità di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali topologici, con dimostrazione.

• 20.10.11, 3 ore, Aula 2, 18
  Un'applicazione lineare limitata (nel senso delle funzioni) è banale, con dimostrazione. Limitatezza di un'applicazione lineare: definizione, definizione di norma di un'applicazione lineare. Limitatezza e continuità di un'applicazione lineare, con dimostrazione. Esempi di applicazioni lineari non limitate. Proprietà dello spazio delle applicazioni lineari e continue tra spazi vettoriali normati o di Banach, con dimostrazione. Duale di uno spazio vettoriale: definizione, esempi. Continuità di un funzionale lineare e proprietà del suo kernel, con dimostrazione. Codimensione del nucleo di un funzionale lineare, con dimostrazione. Estensione di una funzione uniformemente continua, senza dimostrazione. Duale di un sottospazi denso, con dimostrazione. Uno spazio "piccolo" ha un duale "grande", con dimostrazione. Lo spazio delle distribuzioni: definizione. Identificazione tra un Hilbert ed il suo duale, con dimostrazione. Cenno agli spazi L^p

• 03.11.11, 3 ore, Aula 7, 21
  Il Teorema di Hahn Banach: enunciato, dimostrazione, uso e ruolo del Lemma di Zorn, osservazioni. Conseguenze del Teorema di Hahn-Banach: il caso complesso (senza dimostrazione), il duale di uno spazio localmente convesso è non banale (con dimostrazione). Topologia debole: definizione, le seminorme definite con i funzionali lineari sono separanti (con dimostrazione), la topologie debole ha meno aperti di quella forte (con dimostrazione), in dimensione finita le due topologie coincidono (con dimostrazione), un insieme fortemente compatto è debolmente compatto (con dimostrazione), un insieme debolmente aperto contenente l'origine contiene anche un sottospazi vettoriale non banale (con dimostrazione), un insieme debolmente aperto è fortemente illimitato (con dimostrazione), la topologia debole non è normabile (con dimostrazione), in dimensione infinita le due topologie sono diverse (con dimostrazione), un convesso è fortemente chiuso se e solo se è debolmente chiuso (senza dimostrazione), la chiusura della superficie della sfera unitaria è l'intera sfera chiusa (senza dimostrazione), il primo principio di limitatezza uniforme (inizio della dimostrazione).

• 08.11.11, 3 ore, Aula 7, 24
  Introduzione alle leggi di conservazione. Motivazione: il traffico stradale, le equazioni di Eulero (isentropiche e non), il moto di pedoni nel piano, ruolo del teorema della divergenza. Deduzione della forma differenziale nel caso regolare; formulazione integrale. Cenni di storia. Il caso scalare lineare: rappresentazioni grafiche, linee di livello (caratteristiche)q, risoluzione completa, il ruolo di C⁰ e L^p, particolarità del caso p=1 (per esercizio). Il caso scalare non lineare, nascita delle discontinuità, necessità reale di estendere il concetto di derivata. Cenni alla teoria delle distribuzioni: definizione di distribuzione, derivata di una distribuzione, esempi, definizione di derivata debole. Formulazione debole delle leggi di conservazione.

• 09.11.11, 3 ore, Aula 10, 27
  Precisazioni e approfondimenti sulla lezione precedente. Perchè il flusso della densità è la quantità di moto, giustificazione intuitiva. Terminologia delle leggi di conservazione: quantità conservate e flusso. Conservazione dell'integrale su R delle quantità conservate. Derivata di una distribuzione e distribuzione della derivata. Cenno alla definizione degli spazi di Sobolev attraverso la derivata debole. Lo spazio BV e variazione totale di una funzione: definizione nel caso di una sola variabile, proprietà elementari, legame con la lunghezza, una funzione C¹ su un intervallo chiuso e limitato è BV (con dimostrazione), esempio di funzione C⁰ non BV, variazione totale e norma, variazione totale di funzioni monotone (con dimostrazione), esempi. Il Teorema di Helly, senza dimostrazione. Il primo principio di limitatezza uniforme, con dimostrazione. Definizione di mappa di Jamese e di spazio riflessivo. La mappa di James è un'isometria lineare, con dimostrazione.

• 10.11.11, 3 ore, Aula, 30
  Sistemi lineari di leggi di conservazione in una dimensione spaziale, definizione di matrice iperbolica, soluzione completa, ruolo di autovalori ed autovettori. Soluzione distribuzionale di una legge di conservazione, con e senza condizione iniziale: proprietà elementari, invarianza per traslazione spaziale/temporale; inversione x in -x; riscalamento iperbolico. Il Problema di Riemann: definizione, giustificazione. Onde di shock: definizione, condizioni di Rankine-Hugoniot. Onde di rarefazione: espressione generale, regolarità. Il caso del modello LWR: significato di shock e rarefazioni.

• 15.11.11, 3 ore, Aula, 33
  Esempio di sistema lineare non iperbolico e non ben posto. Proprietà delle soluzioni deboli: l'incollamento. Le rarefazioni sono soluzioni. Scelta degli shocks ammissibili: entropia, viscosità e stabilità. Il semaforo.

• 17.11.11, 3 ore, Aula, 36
  Costruzione dettagliata dell'esempio del semaforo: interazione shock - rarefazione.

• 22.11.11, 3 ore, Aula, 39
  Criterio per la scelta del tempo del roso. Soluzione di un problema di Riemann per una legge di conservazione scalare: costruzione della soluzione, dimostrazione che è una soluzione, definizione di consistenza, il caso del flusso PLC.

• 24.11.11, 3 ore, Aula, 42
  Il wave front tracking per leggi di conservazione scalari: costruzione della successione di soluzioni approssimate, controllo del numero di discontinuità e della variazione totale.

• 29.11.11, 3 ore, Aula, 45
  Esistenza della soluzione di una legge di conservazione scalare 1D: riepilogo sulla costruzione della soluzione, convergenza. Esempi di integrazioni grafiche di soluzioni di problemi di Cauchy.

• 01.12.11, 3 ore, Aula, 48
  Esempio di implementazione numerica del wave front tracking per una singola equazione scalare. Il problema di Riemann per sistemi di più leggi di conservazione. Cenno al wave front tracking per sistemi di leggi di conservazione.