Rinaldo M. Colombo & Emanuela Casella

ANALISI MATEMATICA 2
Ingegneria Civile & Ambientale

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 27.09.11, 2 ore, Aula N3, 2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, motivazione, esempi. Definizione di sfera aperta, esempi ed esercizi. Definizione di metriche equivalenti: motivazione, critica, giustificazione, una metaproposizione proposta come esercizio. Definizione di diametro: motivazione, esempi, relazioni tra disuguaglianze sul diametro ed inclusione insiemistica. Definizione di insieme limitato / illimitato.

• 28.09.11, 2 ore, Aula N1, 4
  Spazi normati: motivazione, definizione, esempi. Ogni spazio normato è uno spazio metrico con una distanza che ha proprietà in più, con dimostrazione. Non vale il viceversa, esempio. Esistono metriche non invarianti per traslazione, non positivamente omogenee, esempio. Definizioni di: punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione per un insieme; esempi. Caratterizzazioni attraverso l'inf, dimostrazione per esercizio. Definizione di parte interna, frontiera, chiusura; esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella sua chiusura, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto, chiuso; esempi. Ruolo del simbolo ∞. Definizione di successione in uno spazio metrico, esempi. Definizione di successione limitata, illimitata; esempi.

• 29.09.11, 2 ore, Aula N1, 6
  Un punto appartenente ad un insieme o è di accumulazione, o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Definizione di punto isolato. Ogni sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica della definizione, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso limiti di successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Una successione in R^k è come k successioni in R, enunciato.

• 30.09.11, 2 ore, Aula N3, 8
  Caratterizzazione della chiusura di un insieme attraverso limiti di successioni, con dimostrazione. Una successione in R^k è come k successioni in R, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Uno spazio metrico compatto è anche completo, dimostrazione per esercizio. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione.

• 05.10.2011, 2 ore, Aula N1, 10
  Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2, strategie di calcolo, esempi di calcolo di limiti, ruolo dei "cammini". Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione. Il calcolo di un limite di una funzione a valori in R^m equivale al calcolo di m limiti di funzioni a valori in R, dimostrazione per esercizio nel caso m=2. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona".

• 06.10.11, 2 ore, Aula N1, 12
  Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione, significato nel caso di funzioni a valori reali. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico, definizione di curva. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità.Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione.

• 07.10.11, 2 ore, Aula N3, 14
  Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, il caso di Analisi 1, dimostrazione

• 12.10.11, 2 ore, Aula N1, 16
  Il Teorema delle Contrazioni con parametro: motivazione e dimostrazione. Teoremi su limiti e continuità di funzioni definite su uno spazio metrico a valori in R^m:somma, prodotto, prodotto scalare, prodotto vettoriale. Discussione sulle forme di indeterminazione. Teorema della permanenza del segno, con limiti e continuità, nel caso m=1 e motivazione di questa restrizione. Introduzione al calcolo differenziale per funzioni di più variabili, visualizzazione. Derivate parziali e direzionali: definizione, motivazione, notazione, esempi. Definizione di funzione derivabile. Una funzione definita su R² derivabile ma non continua.

• 13.10.11, 2 ore, Aula N1, 18
  Definizione di o piccolo. Derivata totale: il caso di Analisi 1, definizione, commenti vari. Richiami sulle matrici: legame con le applicazioni lineari, percè il prodotto è definito così; definizione di norma e sue proprietà; norma del prodotto e prodotto delle norme, dimostrazione per esercizio. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione

• 14.10.11, 2 ore, Aula N3, 20
  Notazioni tipiche per le derivate totali in funzione di n e m, esempi. Il teorema del differenziale totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, della composizione di funzioni, con dimostrazione. Definizione di segmento: motivazione; un segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione.

• 19.10.11, 2 ore, Aula N1, 22
  Ulteriori commenti al teorema del differenziale totale: fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria, con esempio. Un esempio di funzione con derivata nulla ma non costante. Definizione di insieme convesso in Rⁿ, esempi. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Proprietà degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Una funzione lineare in Rⁿ è continua, uniformemente continua, Lipschitziana, differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Derivate totali di ordine superiore al primo. Enunciato generale del lemma di Schwarz, riduzione al caso m=1 e n=2, enunciato in questo caso, inizio della dimostrazione.

• 20.10.11, 2 ore, Aula N1, 24
  Il lemma di Schwarz, dimostrazione. Definizione di matrice Heesiana e sua simmetria, con dimostrazione. Definizione di C⁰(A; R^m) e di C^k(A; R^m). Sviluppo di Taylor al secondo ordine: notazione, significato, senza dimostrazione. Introduzione al teorema della funzione implicita: l'equazione di Keplero; esempi; definizione di funzione definita implicitamente; il caso lineare, con dimostrazione; enunciato nel caso generale.

• 21.10.11, 2 ore, Aula N3, 26
  Il Teorema della Funzione Implicita: motivazione, enunciato, dimostrazione dettagliata dell'esistenza, dimostrazione "sbagliata" della differenziabilità, formula per la derivata della funzione implicita. Il caso m=n=1: formule esplicite, un esempio di calcolo delle derivate prima e seconda. Introduzione al Teorema della funzione inversa. Il caso lineare.

• 26.10.11, 2 ore, Aula N3, 28
  Significato geometrico delle ipotesi del teorema della funzione implicita. Il teorema della funzione inversa: enunciato, dimostrazione, legame con il caso di Analisi I. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: cenno ai problemi dell'ottimizzazione multicriteri, esempi. Definizione di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto, differenze con il caso di Analisi 1. Derivate direzionali e parziali in un punto di massimo/minimo, con dimostrazione. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Definizione di punto stazionario, motivazione, esempi, punti di sella. Una condizione necessaria al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo, con dimostrazione. Richiami sulle forme quadratiche: definizione, proprietà principali, definizione di forma quadratica definita/semidefinita positive/negativa.

• 28.10.11, 2 ore, Aula N3, 30
  Diagonalizzazione di Sylvester: enunciato senza dimostrazione, motivazione, utilizzo, esempi. Condizioni necessarie/sufficienti al secondo ordine perché un punto sia di massimo/minimo per una funzione, con dimostrazioni. Il problema dei punti di massimo/minimo vincolati: motivazione, esempi, ruolo della geometria. Significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Definizione di curva, di vettore e retta tangente ad una curva differenziabile. Il gradiente è perpendicolare alle curve curve di livello, enunciato rigoroso e dimostrazione, esempi.

• 02.11.11, 2 ore, Aula N1, 32
  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: una giustificazione geometrica, enunciato e dimostrazione nel caso n=2, enunciato nel caso generale (senza dimostrazione). Equazione del piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili reali, componenti del vettore normale. Integrali multipli: regole di calcolo e formula per il cambiamento di variabili. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi, significato dei termini.

• 03.11.11, 2 ore, Aula N1, 34
  Equazioni differenziali ordinarie in forma normale: definizione di soluzione, esempi, riduzione al primo ordine, con dimostrazione. Necessità della condizione iniziale, definizione di Problema di Cauchy, di soluzione di Problema di Cauchy, di problema ben posto, esempi. Un Problema di Cauchy senza soluzione, esempio. Teorema di Peano: enunciato, ruolo delle ipotesi, senza dimostrazione. Un Problema di Cauchy con infinite soluzioni: esempio in dettaglio. Definizione di funzione localmente Lipschitz Enunciato del Teorema di Cauchy Locale.

• 09.11.11, 2 ore, aula N1, 36
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy locale. L'esempio del paracadutista.

• 10.11.11, 2 ore, Aula N1, 38
  Studio qualitativo rigoroso del problema del paracadutista, uso del teorema di Cauchy. Il Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Teorema di Cauchy, dimostrazione della dipendenza continua, significato ed esempi. Introduzione al teorema di Cauchy globale, un esempio di problema di Cauchy regolare con soluzione solo locale. Il problema del ¹⁴C, studio analitico qualitativo.

• 11.11.11, 2 ore, Aula N3, 40
  Il teorema di Cauchy globale: giustificazione delle ipotesi, dimostrazione in dettaglio. Cenno al teorema dell'energia cinetica, con dimostrazione.

• 15.11.11, 2 ore, Aula N1, 42
  Cenno alla teoria del controllo per equazioni differenziali ordinarie. Successioni e serie di funzioni: definizioni, motivazione, esempi. Definizione di convergenza puntuale: visualizzazione, motivazione, esempio. Unicità del limite puntuale, con dimostrazione. Proprietà che passano al limite puntuale: monotonia, positività, non la continuità, con dimostrazione ed esempio. La convergenza uniforme: necessità, definizione, formulazione equivalente. La convergenza uniforme e la convergenza in C⁰, con dimostrazione. Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Unicità del limite uniforme, con dimostrazione.

• 16.11.11, 2 ore, Aula N1, 44
  Convergenza puntuale e uniforme per serie di funzioni, definizioni. Una successione convergente puntualmente ma non uniformemente, esempio dettagliato. Proprietà che passano al limite uniforme: debole monotonia, positività, continuità e non la derivabilità, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme, giustificazione, definizione, relazione con quanto visto negli spazi metrici. Un successione di Cauchy per la convergenza uniforme è uniformemente convergente, con dimostrazione. C⁰ è completo, con dimostrazione. Passaggio al limite sotto al segno di integrale, esempio, una proposizione con dimostrazione. L'integrazione continua è Lipschitz, con dimostrazione.

• 17.11.11, 2 ore, Aula N3, 46
  Definizioni di convergenza semplice e assoluta per serie numeriche. Definizioni di convergenza puntuale, uniforme e totale per serie di funzioni; relative condizioni di Cauchy. Una serie totalmente convergente è uniformemente convergente, con dimostrazione.Ripetizione delle proprietà di integrazione definita, integrazione indefinita e derivazione come operatori su C⁰. Una proposizione che lega convergenza uniforme e derivate, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze: definizione, notazione, tipo di convergenza, scelta di C.Se una serie di potenze converge in w, allora converge in ogni z con |z| < w, con dimostrazione.

• 18.11.11, 2 ore, Aula N3, 48
  Definizione di raggio di convergenza di una serie e proposizioni che la giustificano, con dimostrazione. Criterio del rapporto e criterio della radice, senza dimostrazione. Convergenza totale, uniforme e puntuale di una serie di potenze, con dimostrazione. Esempi di serie di potenze e relativi raggi. Perchè le serie di potenze si studiano in C, esempio dettagliato. Esponenziale complesso: definizione, legame con le funzioni trigonometriche (cenno di dimostrazione), formula di Eulero. Definizione di funzione analitica reale, esempi. Proprietà delle funzioni analitiche, con dimostrazione.

• 24.11.11, 2 ore, Aula N1, 50
  Ripetizione del teorema sulle proprietà delle funzioni analitiche. Una funzione C^∞ non analitica, esempio dettagliato. Perchè C^∞ è "meno" di analitica. Criterio di Weierstraβ per l'analiticità di una funzione, senza dimostrazione. Introduzione agli sviluppi di Fourier: analogie e differenze con gli sviluppi di Taylor. Definizione di funzione periodica, la funzione mantissa, ruolo delle costanti, come ricalare una funzione T-periodica per ottenerne una 2π-periodica, con dimostrazione.

• 30.11.11, 2 ore, Aula N1, 52
  Serie di Fourier: primo cenno alla struttura geometrica. Calcolo dei coefficienti di Fourier di una serie di Fourier unifrmemente convergente, in dettaglio. Caratterizzazione del polinomio di Fourier di una funzione come quello che melgio la approssima nel senso della distanza quadratica, in dettaglio. La serie di Fourier di una funzione può convergere ad una funzione diversa, esempio in dettaglio.

• 01.12.11, 2 ore, Aula N1, 54
  Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, esempi vari, motivazioni, senza dimostrazione. Una visione geometrica dello sviluppo di Fourier. Continuità di una funzione definita tramite un integrale, con dimostrazione.

• 02.12.11, 2 ore, Aula N3, 56
  Derivabilità e formula delle derivate di una funzione definita tramite un integrale, con dimostrazione. Curve in Rⁿ: definizione, esempi, motivazione e definizione di curva regolare, costruzione della definizione di lunghezza, formula per il calcolo della lunghezza. Calcolo delle variazioni: notazione, ambientamento, esempi. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione.

• 14.12.11, 2 ore, Aula N1, 58
  Lìequazione di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale: motivazione, notazioni, dimostrazione. Il problema della geodetica, in dettaglio. Il problema della brachistocrona: derivazione del funzionale integrale, impostazione del calcolo, equazione della brachistocrona. Introduzione al problema isoperimetrico: necessità di un teorema per l'ottimizzazione vincolata.

• 16.12.11, 2 ore, Aula N3, 60
  Equazione di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale vincolato. Il problema isoperimetrico, il problema della catenaria. Risposte a domande degli studenti.

• 20.12.11, 2 ore, Aula N3, 62
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 30.09.11, 2 ore, Aula N3, 2
  Esercizi sugli spazi metrici e verifica che alcune applicazioni sono distanze in spazi di dimensioni finita e infinita. Calcolo di alcune distanze. Natura geometrica della sfere nel piano con diverse metriche.

• 04.10.11, 2 ore, Aula N3, 4
  Natura della sfera in C⁰ rispetto a diverse metriche. Esercizi su chiusura, parte interna e frontiera di un insieme; sui punti isolati e di accumulazione di un insieme; diametro di un insieme. Alcuni esempi nello spazio metrico discreto. Metriche equivalenti.

• 07.10.11, 2 ore Aula N3, 6
  Nello spazio delle funzioni continue le metriche s₀ e d₁ non sono equivalenti. Esercizi sulla successioni in spazi metrici; spazi metrici completi, esempi e controesempi. Lo spazio delle funzioni continue con la metrica della convergenza uniforme è completo.

• 11.10.11, 2 ore, Aula N3, 8
  Applicazioni e controesempi del Teorema della Contrazioni. Verifica di limiti, calcolo di limiti.

• 14.10.11, 2 ore, Aula N3, 10
  Calcolo di limiti, anche utilizzando le coordinate polari. Esercizi sulla derivabilità parziale e totale. In più dimensioni non vi è alcun legame tra derivabilità e continuità.

• 18.10.11, 2 ore, Aula N3, 12
  Calcolo di derivate anche di ordine superiore al primo. Esercizi sulla differenziabilità, significato geometrico della differenziabilità, implicazioni varie tra differenziabilità, derivabilità e continuità.

• 21.10.11, 2 ore, Aula N3, 14
  Esercizi sulla regolarità di funzioni di più variabili, anche tratti da temi d'esame. Applicazioni del Teorema del Differenziale Totale, mostrando che fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria.

• 25.10.11, 2 ore, Aula N3, 16
  Controesempio al Lemma di Schwarz. Esercizi sulla differenziabilità di funzioni composte e di funzioni a valori vettoriali.

• 28.10.11, 2 ore, Aula N3, 18
  Esercizi sull'uniforme continuità e Lipschitzianità, anche tratti da temi d'esame.

• 05.11.11, 2 ore, Aula N3, 20
  Esercizi sulla Lipschitzianità e uniforme continuità tratti da temi d'esame.

• 05.11.11, 2 ore, Aula N3, 22
  Esercizi sul Teorema della Funzione Implicita, anche per sistemi. Il Teorema del Dini è condizione sufficiente ma non necessaria.

• 08.11.11, 2 ore, Aula N3, 24
  Esercizi sul teorema della funzione implicita per funzioni a valori vettoriali. Formula di Taylor per funzioni a valori vettoriali.

• 11.11.11, 2 ore, Aula N3, 26
  risoluzione di esercizi presi da temi d'esame su derivabilità e differenziabilità. Esercizi sull'invertibilità locale e globale.

• 18.11.11, 2 ore, Aula N3, 28
  Esercizi sui massimi e minimi liberi, anche per funzioni non ovunque differenziabili nel loro dominio.

• 22.11.11, 2 ore, Aula N3, 30
  Esercizi sui massimi e minimi in domini aventi il bordo. Studio del bordo mediante opportune parametrizzazioni. Ricerca di massimi e minimi con le curve di livello.

• 23.11.11, 2 ore, Aula N3, 32
  Esercizi sui massimi e minimi risolvibili con le curve di lvello e con il metodo edi moltiplicatori di Lagrange. Insiemi connessi. Esercizi sul codominio di una funzione continua definita su un insieme connesso.

• 25.11.11, 2 ore, Aula N3, 34
  Esercizi sugli integrali doppi risolubili mediante le formule di riduzione e mediante un cambiamento di coordinate.

• 25.11.11, 2 ore, Aula N3, 36
  Esercizi sugli integrali multipli utilizzando cambiamenti di coordinate e proprietà geometriche dei domini di integrazione.

• 29.11.11, 2 ore, Aula N3, 38
  Applicazioni del teorema di esistenza e unictà locale e globale di Cauchy. Esercizi tratti da temio d'esame sullo stusio qualitativo delle soluzioni di problemi di Cauchy. Risoluzioni di equazioni differenziali a variabili separabili e lineari.

• 02.12.11, 2 ore, Aula N3, 40
  Esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine e del secondo ordine risolubili mediante opportune sostituzioni.

• 06.12.11, 2 ore, Aula N3, 42
  Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti e sui sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Applicazioni del teorema dell'asintoto.

• 07.12.11, 2 ore, Aula N1, 44
  Esercizi sulle successioni di funzioni: studio della convergenza puntuale e uniforme.

• 09.12.11, 4 ore, Aula N3, 48
  Teorema di passaggio al limite sotto al segno di integrale. Esercizi tratti da temi d'esame sulla convergenza puntuale e uniforme. Utilizzo delle approssimazioni di Taylor per il calcolo di limiti di successioni di funzioni.

• 13.12.11, 2 ore, Aula N3, 50
  Esercizi sulle serie di funzioni: studio della convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale con relazioni varie, esempi e controesempi.

• 16.12.11, 2 ore, Aula N3, 52
  Esercizi sui vari ripi di convergenza per serie di funzion, anche per serie telescopiche. Applicazioni del teorema di derivazione ed integrazione per serie.

• 21.12.11, 1 ore, Aula N3, 53
  Esercizi sulle serie do Fourier.

• 23.12.11, 2 ore, Aula N3, 55
  Esercizi sulle serie di Fourier e sulle serie di potenze.