Rinaldo M. Colombo & Hynek Kovarik

ANALISI MATEMATICA
Ingegneria Gestionale

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 20.02.2012, Aula MTA, 3 ore
  Introduzione al corso: programma, orari, modalità d'esame. Definizione di o piccolo, esempi. Condizioni necessarie e sufficienti per la continuità e la derivabilità attraverso l'o piccolo, con dimostrazione. Sviluppo di Taylor: enunciato, resto nella forma di Penao, esempi. Calcolo di limiti attraverso lo sviluppo di Taylor: esempi, esercizi. Introduzione all'integrale di funzioni continue di una variabile reale, definizione, esempi. Somme di Riemann.
• 24.02.2012, Aula MTA, 2 ore
  enunciato del Teorema Fondamentale del Calcolo integrale, senza dimostrazione. Integrale indefinito: definizione, legame con il calcolo di aree, esempi. Calcolo di primitive e regole di integrazione/derivazione: esempi vari. Additività à di un integrale rispetto all'intervallo di integrazione. Integrale di una funzione con punti di discontinuità. Introduzione agli spazi metrici, ruolo di R². Definizione di spazio metrico e di distanza, esempi: R, R², Rⁿ, C⁰ ([a, b]; R).
• 27.02.2012, Aula MTA, 3 ore
  Definizione di spazio normato. Esempi: R, R², Rⁿ, C⁰ ([a, b]; R). Ripasso delle matrici: definizione di applicazione lineare, legame applicazioni lineari - matrici (senza dimostrazione), perché il è prodotto di matrici è definito così. Definizione di norma di una matrice; formulazioni equivalenti; norma del prodotto e prodotto delle norme, senza dimostrazione. Uno spazio normato è uno spazio metrico con un distanza che ha proprietèà speciali, con dimostrazione. Definizioni di sfera aperta, punto interno, punto esterno, punto di frontiera, punto isolato, punto di accumulazione, parte interna, chiusura, frontiera; esempi. Proprità elementari, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto e chiuso, esempi. Il complementare di una perto è chiuso, senza dimostrazione. Definizione di diametro, di insieme limitato/illimitato, esempi. Il diametro di un sottoinsieme è più piccolo del diametro dell'insieme, con dimostrazione. Definizione di successione in uno spazio metrico. Definizione di successione limitata, esempi. Definizione di limite di una successione: critica e necessità di questa definizione. Unicità del imite di una successione, con dimostrazione.
• 05.03.2012, Aula MTA, 3 ore
  Caratterizzazioni dei punti di accumulazione e della chiusura attraverso limiti di successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimostrazione. Una successione in R^k è come k successioni in R, enunciato, dimostrazione nel case k=2. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, la compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Commenti alla definizione di limite per funzioni: differenze tra analisi 1 e 2. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.
• 12.03.2012, Aula MTA, 3 ore
  La lezione è stata persa a causa dell'inaugurazione dell'anno accademico.
• 16.03.2012, Aula MTA, 3 ore
  Una seconda dimostrazione dell'unicità del limite, cenno. Definizione di continuità: costruzione della definizione, una definizione che "non funziona". Legame tra limiti e continuità, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Una funzione Lipschitz è continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Definizione di spazio metrico completo.
• 26.03.2012, Aula MTA, 3 ore
  Il Teorema delle Contrazioni, motivazione, enunciato, dimostrazione. Limiti di somma, prodotto scalare, combinazione lineare fi funzioni, con dimostrazione, il ruolo di Rⁿ. Analoghi risulati sulla continuità della somma, prodotto, combinazione lienare di funzioni continue, con dimostrazione. Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione, il ruolo di R. Strategie per il calcolo dei limiti di funzioni di più variabili: esempi. Introduzione al calcolo differenziale. Definizione di derivata parziale e direzionale, motivazione geometrica, tuolo delle coordinate, esempi, notazioni varie. La derivabilità parziale e direzionale non implica la continuità, esempio in dettaglio. Definizione di o piccolo. Definizione di differenziabilità, motivazione, necessità di questa definizione, significato. Unicità della derivata totale, con dimostrazione.
• 16.04.2012, Aula MTA, 3 ore
  Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è anche derivabile parzialmente e derivabile in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivata totale attraverso le derivate parziali, con dimostrazione. Come calcolare la derivata direzionale attraverso la derivata totale, con dimostrazione. Il teorema del differenziale totale, con dimostrazione. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, della composizione di funzioni, con dimostrazione. Derivata del prodotto scalare di funzioni, senza dimostrazione. Una funzione lineare in Rⁿ è differenziabile su Rⁿ, con dimostrazione. Definizione di segmento, di insieme convesso Rⁿ. Il Teorema di Lagrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il teorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Un esempio di funzione con derivata nulla ma non costante. Se una funzione ha derivata nulla su un convesso, allora è costante, con dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, senza dimostrazione. Derivate seconde: osservazioni, notazione, definizione di matrice Hessiana. Enunciato generale del lemma di Schwarz, riduzione al caso m=1 e n=2, enunciato in questo caso. Simmetria della matrice Hessiana.
• 23.04.2012, aula MTA, 3 ore
  Il Lemma di Schwarz, dimostrazione. Sviluppo di Taylor al secondo ordine per funzioni definite su R² e su Rⁿ, senza dimostrazione, varie notazioni. Introduzione al problema della funzione implicita: l'equazione di Keplero, esempi, definizione di funzione implicita. Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, dimostrazione. Il Teorema della Funzione Implicita nel caso generale, dimostrazione dettagliata dell'esistenza. Formula della derivata della funzi9one implicita, dimostrazione incompleta. Il caso n=1 e m=1, ruolo delle coordinate. Cenno alla definizione di gradi di libertà. Osservazioni sul calcolo delle derivate prima e seconda della funzione implicita. Significato della notazione C^k(A; R^m).
• 30.04.2012, aula MTA, 3 ore
  Il Teorema della Funzione Iversa: introduzione; il caso lineare, con dimostrazione; il caso generale, con dimostrazione; regola di derivazione, con dimostrazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: ruolo di R; distinzione tra massimi/minimi liberi e vincolati; definizione di punto di massimo, punto di massimo locale, punto estremante, punto critico, punto di sella. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Condizione necessaria al secondo ordine, con dimostrazione. Cenno alle forme quadratiche: definizione di forma definita/semidefinita positiva/negativa; esempi; diagonalizzazione. Una condizione sufficiente al secondo ordine, con dimostrazione; esempi ed esercizi. Il significato geometrico del gradiente, discussione geometrica. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Il problema dell'ottimizzazione vincolata: il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange: enunciato, giustificazione geometrica, numero di equazioni e numero di incognite.
• 04.05.2012, aula MTA, 2 ore
  Dimostrazione del Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange. Il caso delle funzioni definite su R² a valori in R: significati geometrici, equazione del piano tangente. Integrali doppi: significato geometrico, formule di calcolo, additività rispetto al dominio di integrazione, linearità rispetto alla funzione integranda, formula per il cambio di coordinate, il caso delle coordinate polari, calcolo dell volume di una sfera, esempi di calcolo di integral doppi.
• 07.05.2012, aula MTA, 3 ore
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi; passaggio alla forma normale,ruolo del Teorema della Funzione Implicita; passaggio ad equazioni di primo grado, con dimostrazione nel caso scalare. Definizione di soluzione, ruolo degli intervalli, ruolo dell'insieme di definzione. Esempio: calcolo della primitiva, non unicità. Definizione di Problema di Cauchy e di soluzione. Esempio: la cresciata della popolazione, integrazione completa; definizione di soluzione massimale. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione. Un problema di Cauchy senza soluzione, un problema di Cauchy con infinite soluzioni. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi. Una funzione globalmente Lipschitz è anche localmente Lipschitz, con dimostrazione. Una funzione di classe C¹ è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Esempi: l'esame del ¹⁴C, integrazione e studio qualitativo. Esercizio: la legge del calore di Newton. Esempio: la crescita logistica, studio qualitativo.
• 14.05.2012, 3 ore, Aula MTA
  Dimostrazione del Teoream di Cauchy Locale: esistenza, unicità e dipendenza continua. Lemma di Gronwall, con dimostrazione. Esempi di dipendenza continua su intervalli limitati e non. Studio qualitativo di equazioni differenziali ordinarie scalari, utilizzo del Teorema di Cauchy.
• 18.05.2012, 2 ore, Aula MTA
  Il Teorema di Cauchy Globale: esempio di esistenza solo locale, ruolo della regolarità, definizione di sublinearità, enunciato, dimostrazione. Equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili: metodo di risoluzione. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti: ruolo della funzione esponenziale, equazione caratteristica, integrale generale, determinazione delle costanti di integrazione. Esempi: oscillatore armonico, circuito elettrico, ammortizzatore.
• 04.06.2012, 3 ore, Aula MTA
  Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti: il caso di soluzioni doppie dell'equazione caratteristica. Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili: formula risolutiva. Il problema del paracadutista: studio qualitativo, uso dei teoremi di Cauchy locale e globale. Un integrale primo per il moto di un proiettile in un piano verticale. Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 02.03.2012, Aula MTA, 2 ore
  Sviluppo di Taylor con il resto nella forma di Peano, applicazioni al calcolo di limiti. Integrali indefiniti: uso della linearità, integrazione per parti.
• 09.03.2012, Aula MTA, 2 ore
  Integrazione per sostituzione, esempi: integrazione di funzioni irrazionali, trigonometriche, esponenziali. Integrazione di funzioni razionali:
  caso in cui il denominatore è un polinomio di grado 2. Integrali definiti: calcolo dell'area di insiemi bidimensionali.
• 19.03.2012, Aula MTA, 3 ore
  Descrizione delle sfere aperte in spazi metrici, esempi: R, R² con metriche diverse . Insiemi aperti, chiusi, punti fi frontiera, punti interni, chiusura, diametro, esempi.
  Punti di accumulazione e punti isolati, esempi in R, R². Successioni di Cauchy, successioni convergenti, successioni limitate.
• 23.03.2012, Aula MTA, 2 ore
  Funzioni su spazi metrici. Funzioni continue, uniformemente continue, funzioni Lipschitziane. Limiti di funzioni.
• 30.03.2012, Aula MTA, 2 ore
  Calcolo di limiti in R², continuità. Funzioni derivabili: derivate direzionali,
  derivate parziali. Funzioni differenziabili.
• 20.04.2012, Aula MTA, 2 ore
  Funzioni continue, derivabili e differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali. Derivate seconde: calcolo della matrice Hessiana.
  
• 27.04.2012, Aula MTA, 2 ore
  Funzioni derivabili e differenziabili. Sviluppo di Taylor di funzioni di due variabili. Funzione implicita.
  
• 11.05.2012, Aula MTA, 2 ore
  Funzione implicita, funzione inversa. Estremi liberi di funzioni di due variabili.
• 21.05.2012, Aula MTA, 2 ore
  Estremi liberi ed estremi vincolati di funzioni di due variabili.
  
• 25.05.2012, Aula MTA, 2 ore
  Integrali doppi: integrazione per verticali, integrazione per orizzontali.
  
• 28.05.2012, Aula MTA, 3 ore
  Integrali doppi: cambiamento di coordinate. Equazioni differenziali: problema locale e globale. Equazioni con variabili separabili.
• 01.06.2012, Aula MTA, 2 ore
  Equazioni differenziali lineari: problemi di Cauchy.
  
• 08.06.2012, Aula MTA, 2 ore
  Esercizi di riepilogo.