ANALISI MATEMATICA 2 - Ingegneria Civile & Ambientale

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 04.10.10, 2 ore, Aula N4
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, motivazione, esempi. Definizione di sfera aperta, esempi ed esercizi. Definizione di metriche equivalenti: motivazione, critica, giustificazione, una metaproposizione proposta come esercizio. Definizione di diametro: motivazione, esempi, relazioni tra disuguaglianze sul diametro ed inclusione insiemistica. Definizione di insieme limitato / illimitato.

• 05.10.10, 2 ore, Aula N2
  Spazi normati: motivazione, definizione, esempi. Norma (operatoriale) di una matrice: definizione. Ogni spazio normato è uno spazio metrico con una distanza che ha proprietà in più, con dimostrazione. Non vale il viceversa, con dimostrazione. Esistono metriche non invarianti per traslazione, non positivamente omogenee, con dimostrazione. Costruzione delle definizioni di: punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione per un insieme; esempi. Caratterizzazioni attraverso l'inf, dimostrazione per esercizio. Definizione di parte interna, frontiera, chiusura; esempi. Un insieme contiene la sua parte interna ed è contenuto nella sua chiusura, con dimostrazione. Proprietà elementari di chiusura e parte interna, dimostrazione per esercizio. Definizione di insieme aperto, chiuso; esempi. Ruolo del simbolo ∞. Definizione di successione in uno spazio metrico, esempi. Definizione di successione limitata, illimitata; esempi.

• 07.10.10, 2 ore, Aula N2
  Ogni sottoinsieme non vuoto di uno spazio merico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Definizione di limite: motivazione, critica della definizione, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso limiti di successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura di un insieme attraverso limiti di successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, significato, definizione, esempi. Se una successione converge allora è di Cauchy, con dimostrazione. Definizione di spazio metrico completo, esempi. Se una successione è di Cauchy, allora è limitata, con dimostrazione. Se una successione è convergente, allora è limitata, con dimstrazione. Una successione in R² è come due successioni in R, con dimostrazione; il caso R^k per esercizio..

• 08.10.10, 2 ore, Aula N1
  Un punto appartenente ad un insieme o è di accumulazione, o è isolato per quell'insieme, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi e connessi: motivazione, definizioni, esempi, relazione con l'intersezione. Definizione di insieme compatto: motivazione, esempi. I compatti di Rⁿ sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. In uno spazio metrico, compattezza implica chiusura e limitatezza, con dimostrazione. Limite per funzioni: costruzione della definizione, sua giustificazione, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Limiti in Rⁿ ed in R: legame, con dimostrazione nel caso n=2. Introduzione allo studio di limiti di funzioni definite su sottoinsiemi di R².

• 11.10.10, 3 ore Aula N1 e MTB
  Esempi di studi di limiti di funzioni reali di 2 variabili reali, ruolo dei "cammini". Legame limiti di funzioni - limiti di succession, con dimostrazione. Una seconda dimostrazione dell'unicità del limite. Definizione di continuità: una definizione che "non funziona", definizione, giustificazione, esempi. Legame limiti - continuita', con dimostrazione. Legame continuità - limiti di successioni, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Definizione di funzione continua su tutto l'insieme di definizione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto (Teorema di Weierstraβ), con dimostrazione. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione, significato geometrico. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. Legame uniforme continuità - continuità.Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua (Teorema di Cantor), con dimostrazione.

• 12.10.10, 2 ore, Aula M1
  Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Richiami sulle matrici: definizione del prodotto di matrici e sua motivazione. Definizione di norma di una matrice. Una funzione lineare su Rⁿ è Lipschitz. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione

• 18.10.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Riepilogo sul teorema delle contrazioni. Il caso di R. Esempi che mostrano la necessità delle ipotesi. Il caso dipendente da parametro: giustificazione, definizione, dimostrazione. Teoremi su limiti e continuità di funzioni definite su uno spazio metrico a valori in Rⁿ: somma, prodotto per scalare, prodotto scalare; alcune dimostrazioni eseguite, le altre per esercizio. Il Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione, il ruolo di R. Esempi di funzioni definite su Rⁿ a valori in R^m e loro rappresentazioni. Introduzione al calcolo differenziale: definizione di derivata parziale e direzionale nei vari casi (scalae, vettriale; in dimensione 2 o più); calcolo di derivate. Una funzione derivabile parzialmente e direzionalmente ma non continua. Definizione di derivata totale/differenziabilità.

• 19.10.10, 2 ore, Aula N1
  Definizione di derivata totale: ripetizione, perchè non in uno spazio metrico, perchè una definizione diversa da quella di Analisi I. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Legame differenziabilità - derivabilità parziale e direzionale, con dimostrazione. Il caso n=2, m=1; il n=3, m=1; il caso n≥2, m=1: notazione, esempi, il gradiente. Definizione di funzione derivabile. Regole di derivazione: differenziabilità della somma di funzioni, del prodotto scalare per funzione, della composizione di funzioni: costruzione degli enunciati e dimostrazioni.

• 25.10.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Notazioni/scritture della derivata della funzione composta. Derivata del prodotto scalare, con dimostrazione. Teorema del differenziale totale: motivazione, dimostrazione nel caso m=1, n=2. Definizione di C¹(A, R). Un esempio di funzione differenziabile ma senza derivate (parziali) continue, costruzione. Definizione di segmento, un segmento è compatto e connesso, con dimostrazione. Il Teorema di Lgrange non vale se m>1, esempio esplicito. Il Teorema degli Accrescimenti Finiti, con dimostrazione. Esempio di funzione che ha derivata nulla ma non è costante. Una funzione lineare è differenziabile, con dimostrazione. Norma del prodotto di matrici e prodotto delle norme, con dimostrazione. Una funzione con derivata nulla su un convesso è costante, con dimostrazione. Una funzione con derivata nulla su un aperto connesso è costante, senza dimostrazione.

• 26.10.10, 2 ore, Aula N2
  Riepilogo sul teorema degli accrescimenti finiti. Aperti connessi in Rⁿ e poligonali, senza dimostrazione. Se una funzione differenziabile ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, cenno di dimostrazione. Il Lemma di Schwarz: rilevanza del caso n=2, m=1; motivazione, conseguenze, dimostrazione, enunciato generale, esempi. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: il caso m=1, ipotesi, notazione, esempi. La matrice Hessiana, definizione, esempi, simmetria, ruolo delle forme quadratiche. Introduzione al Teorema della Funzione Implicita: l'equazione di Kplero, definizione di funzione definita implicitamente, esempi.

• 02.11.10, 2 ore, Aula N2
  Il teorema della funzione implicita: il caso lineare, con dimostrazione; il caso generale, costruzione dell'enunciato, cenno al metodo di Newton, dimostrazione, regola di derivazione per la funzione implicita; differenziabilità con dimostrazione "incompleta" il caso m=n=1; cenno al numero di gradi di libertà. Osservazioni sulla notazione per le derivate. Introduzione al Teorema della Funzione Inversa.

• 08.11.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Ruolo di x e y nel Teorema della funzione Implicita. Il teorema della Funzione Inversa: il caso lineare, con dimostrazione; il caso generale, con dimostrazione; regola di derivazione, con dimostrazione; legame con la situazione di Analisi 1. Introduzione al problema della ricerca di massimi e minimi: il ruolo particolare di R; distinzione tra massimi/minimi liberi e vincolati; definizioni di base; esempi. Definizioni e proprietà elementari delle forme quadratiche, esempi, forme definite/semidefinite positive/negative; il criterio di Sylvester, senza dimostrazione. Condizioni necssarie al primo ed al secondo ordine, con dimostrazioni. Esempi: x²±y², x²±y⁴, x⁴±y⁴. condizione sufficiente al secondo ordine, con dimostrazione. Il significato geometrico del gradiente. Definizione di curva in Rⁿ, di vettore tangente ad una curva e di retta tangente ad una curva.

• 09.11.10, 2 ore, Aula N2
  Esempio di curva nel piano e di calcolo di vettore tangente. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livekllo, con dimostrazione. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: giustificazione euristica, dimostrazione dettagliata, calcolo del numero di equazioni e del numero di incognite. Equazione del piano tangente ad una superficie. Integrali multipli: regole di calcolo, regola per il cambiamento di variabili, esempio con il passaggio a coordinate polari.

• 11.11.10, 2 ore, Aula N2
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie in forma normale di ordine n: significato preciso dei termini, motivazioni, esempi. Riduzione ad equazioni di ordine 1, dimostrazione ed esempio. Definizione di soluzione, problema dell'unicità, definizione di soluzione massimale. Necessità della condizione iniziale, definizione di Problema di Cauchy, di soluzione di un Problema di Cauchy. Il Teorema di Peano, senza dimostrazione. Il metodo del ¹⁴C: equazione, soluzione, inizio dello studio qualitativo.

• 15.11.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Un problema di Cauchy senza soluzione, esempio dettagliato. Un roblema di Cauchy con infinite soluzioni, esempio dettagliato. Definizione di funzione localmente Lipschitz in una variabile uniformemente in un'altra, motivazione, esempi. Il teorema di Cauchy locale: enunciato, dimostrazione di esistenza e dell'unicita'. Il Lemma di Grönwall: motivazione, enunciato e dimostrazione. Il problema del paracadutista.

• 16.11.10, 2 ore, Aula N2
  Il problema del paracadutista: utilizzo del Teorema di Cauchy nello studio qualitativo della soluzione. Dipendenza continua della soluzione da equazione e parametri, dimostrazione dettagliata. Commenti al Teorema di Cauchy: se una funzione è C¹ allora è localmente Lipschitz, con dimostrazione; natura locale di questo teorema; versione funzionale della dipendenza continua, in dettaglio; sufficienza e non necessità delle ipotesi. Il Teorema di Cauchy Globale: enunciato, un problema di Cauchy regolare con soluzione solo locale.

• 22.11.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Il Teorema di Cauchy Globale: dimostrazione dettagliata. Introduzione alle successioni e serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale: motivazioni, esempi. Una metaproposizione. La convergenza puntuale conserva la positività, con dimostrazione. La convergenza puntuale conserva la monotonia debole, con dimostrazione. Il limite puntuale è unico, con dimostrazione. Il limite puntuale non conserva la continuitò, esempio dettagliato. Serie di funzioni: definizione; legame con le successioni; la serie geometrica, in dettaglio. Definizione di convergenza puntuale per serie, ripetizione nel caso delle serie di quanto ottenuto per le successioni. Definizione di convergenza uniforme: costruzione, diverse forme, esempio, il caso delle serie. Il limite uniforme è unico, con dimostrazione. Il limite uniforme conserva la continuità, con dimostrazione, sia per successioni, sia per serie. Il limite uniforme conserva la monotonia debole e la positività, con dimostrazione.

• 29.11.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme: definizione; relazione con la condizione di Cauchy in C⁰, con dimostrazione; relazioni con la convergenza uniforme, con dimostrazioni. Una condizione necessaria per la convergenza uniforme di serie di funzioni, con dimostrazione. C⁹ è completo, con dimostrazione. Ripetizione per le serie di funzioni, con dimostrazioni. Integrazione definita ed indefinita: linearità, continuità e Lipschitzianità, con dimostrazione. Passaggio al limite sotto al segno di integrale, con dimostrazione. Esempi dettagliati che mostrano la necessità delle ipotesi. La derivazione è lineare ma non continua, con dimostrazione. La derivabiltà non passa al limite uniforme, esempio dettagliato. Una proposizione che lega derivazione e convergenza uniforme, con dimostrazione. Ripetizione per le serie. Un insieme chiuso e limitato ma non compatto, esempio dettagliato. Richiami sulle serie numeriche: definizioni di convergenza semplice e assoluta, loro legame, condizione di Cauchy, condizione necessaria per la convergenza, criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice, criterio integrale, criterio di Leibniz; esempi. Definizione di convergenza totale per serie di funzioni. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione.

• 06.12.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Serie di potenze: definizione, studio in C, definizione di raggio di convergenza e proposizioni che la giustificano, con dimostrazione. Criteri del rapporto e della radice per determinare il raggio di convergenza, senza dimostrazione. Raggio della serie delle derivate e della serie delle primtiive, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze: la funzione esponenziale, seno, coseno e loro raggi di convergenza; ln(1+x); legame tra raggio di convergenza e singolarità. Legame tra esponenziale e funzioni trigonometriche, cenno di dimostrazione; la formula di Eulero, l'esponenziale (complesso) assume anche valori negativi. Perchè le serie di potenze si studiano in C, esempio dettagliato. Definizione di funzione analitica, esempi. Regolarità delle funzioni analitiche e significato dei coefficienti della serie di potenze, con dimostrazione. Un esempio di funzione C^∞ con serie di Taylor convergente ma non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier, analogie e differenze con le serie di Taylor, esempi. Definizione di polinomio trigonometrico, di serie trigonometrica. Lemma sul calcolo di alcuni integrali, senza dimostrazione. Il polinomio di Fourier di una funzione è il polinomio che più si avvicina a quella funzione nel senso della distanza quadratica, enunciato.

• 07.12.10, 2 ore, Aula N2
  Il polinomio di Fourier fi una funzione è il polinomio che più si avvicina a quella funzione nel senso della distanza quadratica, calcolo. Nomenclatura relativa alle serie di Fourier:serie trigonometrica, serie di Fourier, polinomio trigonometrico, polinomio di Fourier. Funzioni periodiche: definizione, esempi (parte intera e mantissa), estensione per periodicità. Se una serie trigonometrica converge unifrmemente ad una funzione, allora è la serie di Fourier di quella funzione, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Una funzione continua a tratti ha tutti i coefficienti di Fourier finti, con dimostrazione. Una serie di Fourier non può determinare univocamente la funzione da cui proviene. Teoremi sulla convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier, senza dimostrazione. Il caso delle funzioni derivabili.

• 13.12.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Ricapitolazione sulle serie di Fourier. Una visione geometrica degli sviluppi di Fourier. Introduzione al calcolo delle variazioni: motivazione, esempi. Definizione di curva; supporto di una curva; curva regolare, esempio a giustificazione della definizione; poligonale, lunghezza di una poligonale; lunghezza di una curva, curva rettificabile e non. Derivate di funzioni definite tramite integrali, senza dimostrazione, corollario con dimostrazione. I problemi della geodetica e della catenaria: deduzione dedi funzionali integrali. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Le eqauzioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale, senza vincoli, con dimostrazione.

• 20.12.10, 3 ore, Aule N4 e MTB
  Il problema della geodetica: risoluzione dettagliata. Il problema della brachistocrona: presentazione, formulazione e risoluzione dettagliata. Il problema della catena: necessità di un analogo delle equazioni di Eulero-Lagange per problemi con vincoli. Teorema sulle equazioni di Eulero-Lagange per problemi con vincoli, con dimostrazione. Il problema della catena, risoluzione dettagliata. Il problema isoperimetrico: presentazione, formulazione e risoluzione dettagliata.

• 21.12.10, 2 ore, Aula N2
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 14.10, 2 ore, Aula N2
  Esempi di metriche, anche in spazi di dimensione infinita. Calcolo di alcune distanze. Natura geometrica della sfera aperta in R² in diverse metriche e nello spazio C⁰([0,1],R).

• 15.10, 2 ore, Aula N1
  Determinazione di chiusura, parte interna e frontiera di un insieme. Esercizi sul diametro di un insieme, anche tratti da temi d'esame. Esercizi inerenti gli spazi metrici, anche tratti da temi d'esame.

• 21.10, 2 ore, Aula N2
  Esempi ed esercizi su metriche equivalenti e non equivalenti. Esempi di spazi metrici completi e non completi. Esercizi su successioni di Cauchy in spazi metrici. Esempi ed applicazioni del Teorema delle Contrazioni.

• 22.10, 2 ore, Aula N1
  Verifica di due limiti per funzioni reali di 2 variabili reali. Calcolo di limiti per funzioni di più variabili.

• 28.10, 2 ore, Aula N2
  Calcolo di limiti mediante le coordinate polari. Abbozzo di studio di funzione per funzioni di 2 variabili a valori in R: determinazione del dominio e dell'insieme di positività, rappresentazione grafica.

• 29.10.10, 2 ore, aula N1
  Continuità e continuità separata di una funzione, con esercizi. Esercizi sul calcolo delle deriovate direzionali e parziali. Esempio di una funzione non continua in un punto, ma ivi derivabile. Esempio di funzione non derivabile in un punto, ma ivi continua.

• 4.11.10, 2 ore, aula N1
  Esercizi sul calcolo delle derivate, anche tratti da temi d'esame. Calcolo delle derivate di ordine superiore al primo, esempio di una funzione che soddisfa l'equazione di Laplace. Esercizi sul differenziale. Relazione tra differenziabilità, derivabilità e continuità, con esempi e controesempi.

• 5.11.10, 2 ore, Aula N2
  Esercizi sulla differenziabilità e derivabilità tratti da temi d'esame. Il Teorema del Differenziale Totale: esempi e controesempi.

• 12.11.10, 2 ore, Aula N1
  Esercizi tratti da temi d'esame sulla differenziablità. Lemma di Schwartz ed esempio di una funzione con derivate seconde miste diverse. Funzioni a valori vettoriali: esempio in cui non vale il Teorema di Lagrange, esercizi su derivabilità e differenziabilità.

• 18.11.10, 2 ore, Aula N2
  Composizione di funzioni anche a valori vettoriali ed esercizi sulla differenziabilità della funzione composta. Funzioni Lipschitz ed uniformemente continue definite in spazi metrici ed esercizi tratti da temi d'esame.

• 19.11.10, 2 ore, Aula N1
  Ricerca di punti di massimo e minimo locale ed assoluto per funzioni di più variabili definite in domini con e senza bordo.

• 23.11.10, 2 ore, Aula MTA
  Ricerca di punti di massimo e minimolocale ed assoluto per funzioni a simmetria radiale e per funzioni non ovunque differenziabili all'interno del loro dominio. Meotod delle curve di livello e metodo dei moltiplicatori di Lagrange, anche in esercizi tratti da temi d'esame. Ricerca del codominio di f per funzioni continue definite su un connesso di R³.

• 25.11.10, 2 ore, Aula N2
  Esercizi tratti da temi d'esame su massimi e minimi risolti con le curve di livello e/o con i moltiplicatori di Lagrange. Il Teorema della Funzione Implicita: esercizi vari anche tratti da temi d'esame. Esempio in cui il Teorema di Dini è una condizione sufficiente ma non necessaria.

• 26.11.10, 2 ore, Aula N1
  Formula di Taylor per funzioni di più variabili e Teorema di Dini per sistemi: esercizi vari ed applicazioni. Teorema di invertibilità locale: esercizi anche tratti da temi d'esame. Esempi di funzioni localmente invertibili in ogni punto ma non globalmente invertibili

• 02.12.10, 2 ore, Aula N2
  Esercizi su integrali doppi svolti mediante i teoremi di riduzione ed i cambiamenti di variabili.

• 03.12.10, 2 ore, Aula N1
  Calcolo di integrali doppi sfruttando simmetrie del dominio e della funzione integranda. Integrale della gaussiana su R. Esercizi vari tratti da temi d'esame.

• 09.12.10, 2 ore, Aula N2
  Il problema di Cauchy e applicazioni dei teoremi di esistenza ed unicità locali e globali. Risluzione di problemi di Cauchy con equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti in cui il termine noto è un esponenziale complesso.

• 10.12.10, 2 ore, Aula N1
  Esercizi tratti da temi d'esame. Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine ed equazioni differenziali del secondo ordine risolte mediante opportune sostituzioni.

• 14.12.10, 2 ore, Aula N2
  Studio qualitativo di alcuni problemi di Cauchy. Convergenza puntuale ed uniforme per successioni di funzioni: esercizi e relazioni fra convergenza puntuale ed uniforme.

• 16.12.10, 2 ore, Aula N2
  Alcuni teoremi riguardanti la regolarità di una successione di funzioni e della funzione limite uniforme, con esercizi. Il teorema del passaggio al limite sotto al segni di integrale è condizione sufficiente ma non necessaria. Esercizi vari sulla convergenza puntuale ed uniforme, anche tratti da temi d'esame.

• 17.12.10, 3 ore, Aula N1
  Esercizi sulla convergenza puntuale ed uniforme tratti dai temi d'esame. Esempio di un insieme chiuso e limitato non compatto.

• 20.12.10, 1 ora, Aula MTB
  Serie di funzioni, vari tipi di convergenza: esempi e relazioni varie. Esempio di una serie che converge assolutamente e uniformemente ma non totalmente. Esempio di una serie che converge uniformemente ma non assolutamente, e viceversa.

• 23.12.10, 2 ore, Aula N2
  Esercizi vari sulle serie di funzioni, anche tratti da temi d'esame.

• 10.01.11, 2 ore, Aula N4
  Applicazioni dei teoremi di derivazione per serie e integrazione per serie con esercizi vari.

• 11.01.11, 2 ore, Aula N1
  Esercizi vari riguardanti le serie di Fourier. Applicazione dell'uguaglianza di Bessel-Parseval in alcuni esercizi. Serie di potenze: esercizio per determinae il raggio di convergenza.

• 13.01.11, 2 ore Aula N2
  Esercizi vari riguardanti le serie di potenze, anche tratti da temi d'esame. Esercizi di ripasso.

• 14.01.11, 2 ore, Aula N1
  Esercizi vari di ripasso tratti da temi d'esame