Analisi Superiore 2

Lezione 1, 5.10.09
Presentazione del corso. Esempi di equazioni alle derivate parziali. L'equazione di continuità, il modello LWR per il traffico stradale: deduzione. Leggi di conservazione: situazione attuale della teoria. Richiami su vari spazi funzionali e sulle loro norme: C⁰, L^p, L^∞. Soluzione completa del problema di Cauchy per una legge di conservazione scalre lineare. Il caso non-lineare: nascita delle discontinuità.

Lezione 2, 6.10.09
Riassunto di quanto visto sulle legi di conservazione. Alcuni esempi di spazi di interesse in Analisi: C⁰, C¹, C^∞, L¹, L², L^∞, l¹, l²,l^∞, c, c₀, c_c. Norme su questi spazi. Definizione di Spazio Vettoriale Topologico, esempi. Definizioni di insiemi convessi, bilanciati, assorbenti, simmetrici, esempi e proprietà. Sottospazi di spazi vettoriali toplogici. Definizione di limitatezza in uno spazio vettoriale topologico. Un insieme finito è limitato, con dimostrazione. Un sottospazio vettoriale limitato banale, con dimostrazione.

Lezione 3, 12.10.09
Richiami sulla compattezza. In uno spazio vettoriale topologico, un compatto è chiuso e limitato, con dimostrazione. Il viceversa solo in Rⁿ, senza dimostrazione. Un esempio di insieme chiuso e limitato non compatto, in dettaglio. Uno spazio vettoriale compatto è banale, con dimostrazione. Uno spazio localmente compatto ha dimensione finita, con dimostrazione. Definizione di limite e condizione di Cauchy in uno spazio vettoriale topologico: enunciato, osservazioni. Una successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergente è di Cauchy, dimostrazione per esercizio.

Lezione 4, 13.10.09
Precisazioni, complementi ed esempi su quanto ssvolto. Criteri di compattezza: in C⁰ ed in L^p (con misura finita e non), senza dimostrazione. Applicazione al teorema di Peano, per esercizio. Relazione tra compattezza e completezza in uno spazio vettoriale topologico, con dimostrazione. Continuità: una funzione lineare non continua, esempio dettagliato. Una funzione C^∞ non analitica, esempio dettagliato. Una funzione C^∞ a supporto compatto, costruzione esplicita. Definizione di separabilità, esempi. l^∞ non è separabile, con dimostrazione.

Lezione 5, 16.10.09
Definizione di seminorme, famiglie separanti di seminorme, spazio seminormato: esempi vari. Uno spazio seminormato è uno spazio vettoriale topologico con una topologia che ha particolari proprietà, con dimostrazione. Definizione di spazio localmente convesso. Definizione di funzionale di Minkowski di un insieme. Relazioni tra le proprietà di un insieme e quelle del suo funzionale di Minkowski, dimostrazione per esercizio. Ogni spazio localmente convesso e' anche uno spazio seminormato.

Lezione 6, 17.10.09
Ogni spazio localmente convesso e' anche uno spazio seminormato, con dimostrazione. In uno spazio normato, la superficie della sfera unitaria è compatta se e solo se lo spazio ha dmensione finita, senza dimostrazione. Uno spazio vettoraile topologico è normabile se e solo se ammette un aperto convesso limitato, con dimostrazione. Norma e limitatezza di un'applicazione lineare. Varie condizioni equivalenti alla continuità per un'applicazione lineare tra spazi normati, con dimostrazione. Definizione di spazio duale, varie notazioni per i funzionali. Cenno al Teorema di Hahn-Banach. Introduzione della topologia debole. Relazione tra topologia debole e topologia forte, con dimostrazione. Ogni compatto forte è anche compatto debole, con dimostrazione.

Lezione 7, 26.10.09
In uno spazio d dimensione infinita un insieme debolmente aperto contiene un sottospazio non banale, con dimostrazione. In uno spazio d dimensione infinita la topologia debole non è metrizzabile, con dimostrazione. In uno spazio d dimensione infinita la topologia debole è diversa da quella forte. Esempi di spazi vettoriali e di loro duali.Cenni agli insiemi riflessivi: mappa di James, ogni spazio di identifica con un sottospazio del suo biduaòle (con dimostrazione), definizione di spazio riflessivo, uno spazio riflessivo è completo (con dimostrazione), esempi. Cenni alla topologia debole *: definizione, proprietà principali (senza dimostrazione). Introduzione alle distribuzioni.

Lezione 8, 28.10.09 Derivata di una distribuzione e problema di rappresentarla: esempi. Calcolo della divergenza di una funzione definita dall'incollamentodi due espressioni smooth lungo una curva nel piano. Leggi di conservazione: richiami. Il caso 1D, scalare, lineare: risoluzione completa. Il caso semilineare: metodo delle caratteristiche, uso delle ode, esempi, esercizi. Il caso quasilineare: intersezione delle caratteristiche, nascita delle singolarità.

Lezione 9, 02.11.09
Il Problema di Riemann per una legge di conservazione: ruolo, motivazioni. Definizione di soluzione forte/debole/integrale di una legge di conservazione, relazioni tra le definizioni e loro regolarità. Soluzione di un problema di Riemann nel caso di un flusso strettamente concavo: onde di rarefazione e onde di shock: deduzione, verifica attraverso la definizione di soluzione, condizioni di Rankine-Hogoniot, esempi.

Lezione 10, 09.11.09
Il modello LWR: risoluzione del problema di Riemann, descrizione degli effetti di un semaforo, interazione shock-rarefazione: costruzione completa.

Lezione 11, 11.11.09
Discontinuità di contatto come caso limite sia di shock, sia di rarefazioni, nel caso di leggi di conservazione scalari. Definizione di matrice strettamente iperbolica. Applicazione del teorema della funzione implicita al calcolo di autovalori, autovettori destri e sinistri. Introduzione al Problema di Riemann per i sistemi: il caso lineare, soluzione completa. Il caso non lineare: curve di rarefazione, onde di rarefazione, espressione analitica. La condizione di genuina non linearitaà: motivazione, enunciato, orienamento degli autovettori.

Lezione 12, 16.11.09
Rarefazioni: costruzione, verifica che sono suluzioni. Gli shocks: riscrittura delle condizioni di Rankine-Hugoniot, uso del teorema della funzione implicita (cenni ai gradi di libertà di un sistema), curve di shock e relazione con le curve di rarefazione.

Lezione 13, 18.11.09
Shock: disuguaglianze di Lax e scelta degli shock entropici. Discontinuità di contatto: definizione; nel caso linermente degenere le curve di shock coincidono con quelle di rarefazione. Curve di Lax: definizione. Soluzione generale di un problema di Riemann nel caso di campi caratteristici genuinamente non lineari o linearmente degenri con stati iniziali destro e sinistro vicini: definizione di soluzione, sua esistenza ed unicità. Il problema di Riemann per il p-sistema. Il problema di Riemann per il modello LWR a 2 popolazioni, cenno.

Lezione 15, 25.11.09
Introduzione al wave front tracking per sistemi strettamente iperbolici di leggi di conservazione.