ANALISI MATEMATICA 2 - Ingegneria Civile & Ambientale

Programma Dettagliato:

Lezioni

• 14.09.09, 2 ore, Aula N2
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, esempi ed esercizi. Definizione di spazio normato, esempi ed esercizi. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico speciale, con dimostrazione. Definizione di sfera aperta.

• 15.09.09, 2 ore, Aula N2
  Una distanza che non viene da una norma, esempio. Definizione di metriche equivalenti, esempi. Correttezza della definizione di equivalenza, con dimostrazione. "Metaproposizione" sulle affermazioni in spazi metrici equivalenti. Definizioni di: punto interno, punto esterno, punto di frontiera, punto isolato, punto di accumulazione; parte interna, frontiera, chiusura; insieme aperto, insieme chiuso: esempi e proprietà elementari, con dimostrazione. Una caratterizzazione della chiusura attraverso l'inf, dimostrazione per esercizio. Ruolo del simbolo ∞. Definizione di insieme limitato, di diametro: esempi. Inclusione tra insiemi e disuguaglianze tra i relativi diametri: dimostrazione ed esempi.

• 21.09.09, 2ore, Aula N2
  Definizione di insieme limitato ed illimitato. Insiemi aperti, chiusi, aperti e chiusi, nè aperti nè chiusi. Definizione di successione, esempi. Successione limitata, illimitata; esempi. Definizione di limite: esempi, motivazione, critica della definizione. Unicità del limite, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso le successioni, con dimostrazione. Caratterizzazoine della chiusura attraverso le successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, enunciato, significato, esempi.

• 22.09.09, 2 ore, Aula N4
  Ogni sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico è uno spazio metrico, con dimostrazione. Una successione in R^p è come p successioni in R, con dimostrazione. Ogni successone convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Ogni successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Ogni successione convergente è limitata, con dimostrazione. Insiemi separati, sconnessi, connessi: motivazione, definizione, esempi. Insiemi disgiunti e insiemi separati, esempi e controesempi. Insiemi compatti: motivazione, definizione, esempi. I compatti di R^p sono i chiusi e limitati, senza dimostrazione. Un insieme compatto è chiuso e limitato, con dimostrazione.

• 28.09.09, 2 ore, Aula N2
  Un punto appartenente ad un insieme o è isolato o è di accumulazione per qull'insieme, dimostrazione per esercizio. Commenti sula condizione di Cauchy. Costruzione della definizione di limite per funzioni, motivazione, esempi, enunciato. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e di successioni, con dimostrazione. Una seconda dimostrazione dell'unicità del limite. Strategie per il calcolo di limiti di funzioni definite su sottoinsiemi di R²: esempi. Definizione di continuità di una funzione in un punto: motivazione, esempi, enunciato, una definizione "cattiva".

• 29.09.2009, 2 ore, Aula N4
  Un punto di un insieme o è isolato o è di accumulazione pe quell'insieme, con dimostrazione. Legame continuità e limti, con dimostrazione. Legame continuità e successioni, con dimostrazione. La composizione di funzioni continue è continua: costruzione dell'enunciato e dimostrazione. L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua è un compatto, con dimostrazione; il caso di nalisi 1. L'immagine di un connesso attraverso una funzione continua è un connesso, senza dimostrazione; il caso di nalisi 1. Funzioni uniformemente continue, differenza con la continuità. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua, con dimostrazione.

• 05.10.09, 2 ore, Aula N4
  Commenti alle definizioni di continuità. Una funzione uniformemente continua è anche continua, con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana: motivazione, esempi, il caso di Analisi 1. Ruolo del valore numerico della costante di Lipschitz. Una funzione Lipschitz è uniformemente continua, con dimostrazione. Richiami sulle matrici: definizione delprodotto e sua motivazione. Definizione di norma di una matrice. Una funzione lineare su Rⁿ è Lipschitz. Definizione di contrazione, commenti. Il teorema delle contrazioni: presentazione, enunciato, dimostrazione

• 06.10.09, 2 ore, Aula N4
  Conclusione della dimostrazione del teorema della contrazioni, commenti, necessità di parti della dimostrazione, un'applicazione al caso R→R. Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz dal parametro, con dimostrazione. Teoremi su limiti e continuità per funzioni definite su spazi metrici a valori in Rⁿ, con dimostrazione (alcune per esercizio). Il teorema della permenenza del segno, con dimostrazione. Rappresentazione di funzioni Rⁿ→R^m in vari casi a seconda dei valori di n e m. Introduzione al calcolo differenziale: derivate parziali e direzionali, definizioni, motivazioni, esempi.

• 12.10.09, 2 ore, Aula N2
  definizioni di derivat parziali e direzionali. Una funzione derivabile parzialmente ma non continua. Differenziabilità: motivazione della definizione, confronto con Analisi 1, i casi scalare e vettoriale, esempi. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. Una funzione differenziabile è continua, con dimostrazione. Legame differenziabilità - derivabilità parziale e direzionale, come determinare la derivata totale a partire dalle derivate direzionali, con dimostrazione. Differenziabilità della somma di funzioni e del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione.

• 13.10.09, 2 ore, Aula N4
  Derivata del prodotto scalare, con dimostrazione. Teorema del differenziale totale: motivazione, uso, dimostrazione nel caso n=2, m=1. Derivata della funzione composta: costruzione dell'enunciato, dimostrazione. Il teorema degli accrescimenti finiti non vale se m>1: esempio. Un analogo delteorema degli accrescimenti finiti, con dimostrazione

• 19.10.09, 3 ore, Aula N2
  Precisazioni sul teorema degli accrescimenti finiti. Osservazioni su derivate totali prime e seconde. Il Lemma di schwarz: motivazione, enunciato, dimostrazione. Introduzione al teorema della funzione implicita: esempi, equazione di Keplero, definizione di funzione implicita, natura locale del problema. Il caso linmeare: enunciato e dimostrazione. Enunciato generale del Teorema della Funzione Implicita: esistenza, come intedere l'unicità, esempi. Il metodo di Newton per determinare gli zeri di una funzione reale di variabile reale. Inizio della dimostrazione del Teorema della Funzione Implicita nel caso generale, ruolo del Teorema delle Contrazioni. Un sottoinsieme chiuso di un completo è completo, con dimostrazione.

• 20.10.09, 2 ore, Aula N4
  Dimostrazione del teorema della funzione implicita. Regola di derivazione della funzione implicita, solo cenno di dimostrazione. Il caso n=1, m=1, formule esplicite. Osservazioni sulla notazione per le derivate. Il Teorema della Funzione Inversa: il caso lineare, con dimostraione, il caso non lineare, con dimostrazione. Definizione di gradi di libertà: rilevanza del numero di equazioni di vincolo, cenni alla definizione corretta. Caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ, senza dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto convesso o su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione.

• 26.10.09, 3 ore, Aula N2
  Richiami sulla caratterizzazione degli aperti connessi in Rⁿ. Definizione di C⁰(A;Rⁿ), C^k(A;Rⁿ) e C^∞(A;Rⁿ). Introduzione al problema dell'ottimizzazione, ruolo di R, esempi. Definizioni di massimo/minimo, punto di massimo/minimo locale/assoluto forte/debole. Il significato geometrico del gradiente: esempi. Il Teorema di Fermat, con dimostrazione. Richiami su forme bilineari e quadratiche: definizioni, principali proprietà, esempi, definizioni di forme quadratiche definite/semidefinite positive/negative.Condizione necessaria al secondo ordine per l'ottimalità, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine per l'ottimalità, con dimostrazione.

• 27.10.09, 2 ore, Aula N4
  Esempi sull'uso delle condizioni al primo ed al secondo ordine per la ricerca di punti di massimo/minimo liberi. Diagonalizzazione di sylvester: giustificazione, risultato, esempi, senza dimostrazione. Definizioni di piano tangente, punto stazionario, punto di sella, curva di livello. Significato geometrico del gradiente: il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, con dimostrazione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange: significato geometrico, dimostrazione nel caso n=2, osservazione sul numero di equazioni e di incognite.

• 02.11.09, 2 ore, Aula N2
  Integrali multipli: discussione sulla definizione di area (volume lunghezza) e su come calcolare e aree (i volmi, le lunghezze). Formule di calcolo per gli integrali doppi, formula per il cambiamento di coordinate e sua giustificazione, i casi delle coordinate polari nel piano, polari e cilindriche nello spazio. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: definizione dei termini, vari esempi. Passaggio alle equazioni in forma normale, ruolo del teorema della funzione implicita. Passaggio ad equazioni (sistemi) di ordine 1, esempio. Definizione di soluzione di un'equazione differenziale. Ruolo degli intervalli, ruolo dell'insieme di definizione della funzione che definisce l'equazione. Definizione di problema di Cauchy e sua motivazione. Definizione di soluzione di un problema di Cauchy.

• 03.11.09, 2 ore, Aula N4
  Problema di Cauchy per equazioni differenzali ordinarie di ordine superiore al primo, esempi. Definizione di soluzione massimale, motivazione, problema del senso dell'unicità. Un problema di Cauchy con esistenza, unicità e dipendenza continua (l'esame del ¹⁴C). Un problema di Cauchy senza soluzione, esempio dettagliato. Il teorema di Peano, enunciato senza dimostrazione. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni, esempio dettagliato. Definizione di funzione localmente Lipschitz in x uniformemente in y, esempi e legame con la Lipschitzianità, con dimostrazione. Soluzioni approssimate: le poligonali di Eulero. Enunciato del Teorema di Cauchy: esistenza, unicità e dipendenza continua. Inizio della dimostrazione: schema generale, equivalenza tra problema di Cauchy ed equazione integrale.

• 09.11.09, 2 ore Aula N2
  Dimostrazione del Teorema di Cauchy Locale, in dettaglio.

• 10.11.09, 2 ore, Aula N4
  Il Lemma di Grönwall, con dimostrazione. La dipendenza continua nel Teorema di Cauchy Locale, con dimostrazione. Una funzione C¹ è localmente Lipschitz, con dimostrazione. Conseguenze della dipendenza esponenziale dal tempo. Esempi di mancanza di dipendenza continua su intervall illimitati. Un problema di Cauchy regolare con esistenza solo locale. Definizione di funzione sublineare, esempi e relazioni con la Lipschitzianità. Le equazioni del paracadutista.

• 16.11.09, 2 ore, Aula N2
  Il Teorema di Cauchy Globale, con dimostrazione. Un esempio di studio qualiotativo di un'equazione differenziale scalare al primo ordine in forma normale. Introduzione alle successioni di funzioni: problema della definizione di convergenza e di quali proprietà passano al limite. Richiami sulle serie numeriche, definizione, esempi. Serie di funzioni, definizione. Definizione di convergenza puntuale.

• 17.11.09, 2 ore, Aula N4
  Successioni di funzioni: definizione di convergenza puntuale. La convergenza puntale conserva la mnotonia debole e la positività, con dimostrazione, esempi. Definizione di convergenza uniforme. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale ed i limit coincidono, con dimostrazione. Unicità dei limiti puntuali ed unifomre. La convergenza puntuale non conserva la continuità, esempio. La convergenza uniforme conserva la continuità, con dimostrazione. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰. La condizione di Cuachy relativa alla convergenza uniforme, definizione, esempi. La condizione di Cuachy relativa alla convergenza uniforme implica la convergenza unfiorme, con dimostrazione. Completezza di C⁰, con dimostrazione. Ripetizione delle proposizioni e definizioni precedentei per le serie. Le convergenze puntuali ed uniforme non conservano la derivabilità, esempio.

• 23.11.09, 3 ore, Aula N2
  Passaggio al limite sotto il segno di integrale: il caso di un intervallo limitato (con dimostrazione) e illimitato (esempio). Integrazione definita, calcolo della primitiva, calcolo della derivata in un punto, calcolo della derivata come funzioni (operatori): linearità e Lipschitzianità o esempio che ne mostra la non continuità. Una proposizione che lega derivazione e limite uniforme, con dimostrazione. Richiami sulle serie numeriche: convergenza semplice e assoluta, definizioni; una condizione necessaria per la convegenza, con dimostrazione; criteri del confronto; criterio del raporto, con dimostrazione; criterio della radice, criterio integrale, esempio; criterio di Leibniz; esempi. Ripetizione di vari risultati sulle successioni di funzioni nel caso di serie di funzioni, con dimostrazioni. Una condizione necessaria per la convergenza puntuale/uniforme, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale di una serie. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Introduzione alle serie di potenze.

• 26.12.09, 2 ore, Aula N4
  Un esempio di insieme chiuso e limitato non compatto, in dettaglio. Serie di potenze: definizione di raggio di convergenza e proposizioni che la giustificano, con dimostrazione. Criteri del rapporto e della radice per determinae il raggio di convergenza, senza dimostrazione. Raggio della sereie delle derivate e degli integrali, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze: la funzione esponenziale, seno, coseno e loro raggi di convergenza. Legame tra esponenziale e funzioni trigonometriche, con dimostrazione; la formula di Eulero, la funzione esponenziale è un autovettore della derivazione. Perchè le serie di potenze si studioano in C, esempio dettagliato. Definizione di funzione analitica, esempi. Regolarità delle funzioni analitiche e significato dei coefficienti della serie di potenze, con dimostrazione.

• 30.11.09, 3 ore, Aula N2
  Riepilogo sulle funzioni analitiche. Un esempio di funzione C^∞ con serie di Taylor convergente ma non analitica, in dettaglio. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, ruolo delle costanti, esempi. Definizione di polinomio trigonometrico, di serie trigonometrica. Lemma sul calcolo di alcuni integrali, senza dimostrazione. Definizione di coefficienti di Fourier di una funzione e prima giustificazione della loro formula, con dimostrazione. Definizione di funzione C⁰ e C¹ a tratti. Se una funzione è continua a tratti, allora esistono i suoi coefficienti di Fourier, con dimostrazione. Una condizione per la convergenza di una serie di Fourier in un punto, senza dimostrazione. Una condizione per la convergenza puntuale di una serie di Fourier in [-π π], senza dimostrazione. Una condizione per la convergenza uniforme di una serie di Fourier in [-π π], senza dimostrazione. Il caso delle funzioni C⁰ e C¹. Un'altra giustificazione della formula per i coefficienti di Fourier: minimo della distanza quadratica ..., con dimostrazione. Cenno ad un'interpretazione geometrica delle serie di Fourier.

• 01.12.09, 2 ore, Aula N4
  Calcolo delle derivate di una funzione definita tramite un integrale, con dimostrazione. Introduzione al calcolo delle variazioni: esempi. Definizioni di curva, supporto di una curva, curva chiusa, curva semplice, curva regolare. Esempio di curva regolare. Esempio di curva C¹ il cui supporto ha un angolo. Definizione di lunghezza di una curva, di curva rettificabile. Esempio di curva rettificabile, esempio di curva non rettificabile.

• 14.01.09, 2 ore, Aula N2
  Riassunto di quanto visto sul calcolo delle variazioni. Deduzione dei funzionali integrali legati al problema della geodetica e della brachistocrona. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione, nei casi scalare e vettoriale. Deduzione delle equazioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica, risoluzione.

• 15.01.09, 2 ore, Aula N4
  Il problema della brachistocrona: risoluzione (omettendo alcuni calcoli). Il problema isoperimetrico e quello della catena, formalizzazione, ruolo e natura del vincolo. Necessità delle equazioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale con vincolo integrale, con dimostrazione. Solzione completa del problema isoperimetrico. Soluzione del problema della catena, omettendo alcuni calcoli.

• 22.01.02, 2 ore, Aula N4
  Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

• 17.09.09, 2 ore, Aula N4
  Sfere aperte in spazi metrici: R con la distanza euclidea; tre distanze nel piano; la distanza discreta e la distanza delle ferrovie francesi nel piano; C⁰([0,1];R) con la distanza del sup.

• 18.09.09, 2 ore, Aula N1
  Esercizi sugli elementi di topologia in spazi metrici in R e in R². Esempi di metriche equivalenti e non. Calcolo di diametri in spazi metrici. Esercizi presi da temi d'esame.

• 24.09.09, 2 ore, Aula N4
  Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso l'inf. Calcolo di un diametro in C⁰([0,1];R) con le distanze d_∞ e d₂. Esercizi su connessione, cmpattezza e completezza, anche presi da temi d'esame. Un esempio di successione in R².

• 25.09.09, 2 ore, Aula N1
  Esercizi su compattezza e connessione. La sfera unitaria in C⁰([0,1];R) con la distanza del sup non è compatta. C¹([0,1];R) con la distanza del sup non è completo. Esempio di una successione in C⁰([0,1];R) convergente con la distanza quadratica e non con quella del sup. Esercizi presi da temi d'esame.

• 01.10.09, 2 ore, Aula N4
  Calcolo di limiti per funzioni di due variabili: esercizi vari. continuità e successioni: esercizi da temi d'esame.

• 02.10.09, 2 ore, aula N1
  Calcolo dilimiti utilizzando le coordinate polari nel piano. Complementi alla definizione di limite per funzioni a valori reali: funzioni tendenti a ∞, esempi.

• 08.10.09, 2 ore, Aula N4
  Calcolo di limiti di funzioni di due variabili. Esercizi presi da temi d'esame.

• 09.10.09, 2 ore, Aula N1
  Coordinate cilindriche e sferiche e loro uso nel calcolo di limiti. Necessità delle ipotesi del teorema delle contrazioni: esempi.

• 15.10.09, 2 ore, Aula N4
  Esercizi su derivate parziali e direzionali, anche da temi d'esame.

• 16.10.09, 2 ore, N1
  Esercizi presi da temi d'esame sulla differenziabilità.

• 22 ottobre 2009, 2 ore, Aula N4
  Esercizi sulla differenziabilità presi da temi d'esame. Un esercizio sulla derivazione della funzione composta, legame fra limitatezza della derivata totale e Lipschitzianità per una funzione differenziabile.

• 23 ottobre 2009, 2 ore, Aula N1
  Esercizi sui legami tra uniforme continuità, limitatezza e Lipschitzianità per funzioni di più variabili; derivazione della funzione composta, differenziabilità di una funzione a valori vettoriali. Richiamo del teorema della funzione implicita ed esercizi di applicazione del teorema e calcolo delle derivate della funzione nel punto.

• 29.10.09, 2 ore, Aula N4
  Esercizi presi da temi d'esame relativi al teorema della funzione implicita: il caso standard, il caso di dimensione maggiore, il caso globale.

• 30.10.09, 2 ore, Aula N1
  Esercizi sul teorema della funzione implicita: determinazione di rette e piani tangenti.Studio locale di y-xsiny=0. Esercizi sul teorema di inversione locale. Un esempio di inversione globale.

• 05.11.09, 2 ore, Aula N4
  Esercizi sull'inversione locale e globale di funzioni di 2 variabili. Ricerca di massimi e minimi liberi utilizzando la matrice Hessiana. Esercizi presi da temi d'esame.

• 06.11.09, 2 ore, Aula N1
  Ricerca di massimi e minimi liberi utilizzando la matrice Hessiana e lo studio del segno della variazione della funzione. Un esempio di ricerca di estremi vincolati. Esercizi presi da temi d'esame.

• 12.11.09, 2 ore, Aula N4
  Esercizi su massimi e minimi con vincoli compatti: utilizzo di curve di livello o di parametrizzazioni della frontiera. Esercizi presi da temi d'esame.

• 13.11.09, 2 ore, Aula N1
  Un esempio di ricerca di massimi e minimi vincolati con 3 variabili. Esercizi sui moltiplicatori di Lagrange. Esempi di ricerca di massimo/minimo assoluti e di estremi superiore/inferiore per funzioni definite su R². Esercizi presi da temi d'esame.

• 19.11.09, 2 ore, Aula N4
  Massimi e minimi liberi su R². Integrali doppi: vari esercizi anche da temi d'esame.

• 20.11.09, 2 ore, Aula N1
  Integrali doppi, anche con cambi di variabile. Integrali tripli. Esercizio sul Teorema di Cauchy Locale.

• 26.11.09, 2 ore, Aula N4
  Esercizi sui teoremi di Cauchy locale e globale sull'esistenza di soluzioni di problemi di Cauchy. Esercizi presi da temi d'esame.

• 27.11.09, 2 ore, aula N1
  Studio qualitativo di soluzioni di problemi di Cauchy. Esercizi presi da temi d'esame.

• 03.12.09, 2 ore, Aula N4
  Risoluzione di equazioni differenziali lineari e non. Esercizi presi da temi d'esame. Convergenza puntuale di successione di funzioni.

• 04.12.09, 2 ore, Aula N1
  Esercizi su convergenza puntuale ed uniforme di successione di funzioni.

• 11.12.09, 2 ore, Aula N1
  Esercizi sulla convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni. Esercizi su serie numeriche. Esercizi presi da temi d'esame.

• 17.12.09, 2 ore, Aula N4
  Esercizi su serie di funzioni; su serie di potenze, calcolo del raggio di convergenza. Esercizi presi da temi d'esame.

• 18.12.09, 2 ore, Aula N1
  Calcolo della somma di alcune serie di potenze. Un problema di Cauchy risolto attraverso una serie di potenze. Serie di Fourier: convergenza, calcolo dei coefficienti, esercizi presi da temi d'esame.