ANALISI MATEMATICA C

Programma Dettagliato:

• 15.09.08, 3 ore, aula N1
  Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, esempi ed esercizi. Definizione di sfera aperta, esempi. Definizioni di punto interno, esterno, isolato, di frontiera, di accumulazione per un insieme. Esempi. Definizioni di frontiera, parte interna, chiusura di un insieme; di insieme limitato, illimitato; di insieme aperto, chiuso. Esempi ed esercizi. definizione di successione, successione limitata in uno spazio metrico. Definizione di limite di una successione

• 18.9, 3 ore, aula N3
  Commenti alla definizione di limite. Unicità del limite, con dimostrazione. Condizione di Cauchy, motivazione, definizione, esempi. Una successione convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Non vale il viceversa, con controesempio. Una successine di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergente è limitata, con dimostrazione. Metriche equivalenti: definizione e sua simmetria (per esercizio), esempi. Invarianza per passaggio tra metriche equivalenti. Spazi normati: definizione ed esempi. Richiami sulle matrici: funzioni lineari, perchè il prodotto si fa così, norma operatoriale di una matrice. Uno spazio normato è anche uno spazio metrico con proprietà aggiuntive, con dimostrazione. Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici.

• 29.09.08, 3 ore, Aula N1
  Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici. Unicità del limite per funzioni, con dimostrazione. Continuità per funzioni tra spazi metrici: definizione, esempi, differenze e analogie con la definizione di limite. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Relazione tra definizione di limite per successioni e per funzioni, con dimostrazione. Definizioni di funzioni continue su un insieme, uniformemente continue, di Lipschitz; esempi. Significato geometrico della condizione di Lipschitz. Relazioni tra questi tipi di continuità, con dimostrazione. Ruolo del valore delle costanti di Lipschitz. Definizione di contrazione: motivazione, esempi. Il Teorema delle contrazioni, inizio della dimostrazione.

• 02.10.08, 3 ore, Aula N3
  Il Teorema delle contrazioni, dimostrazione. Necessità dell eipotesi del teorema delle contrazioni: esempi. Il teorema delle contrazioni con parametro, motivazione, dimostrazione.
  Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie in forma normale: motivazioni, esempi, significato dei termini. Riduzione ad equazioni di ordine 1, su un esempio. Definizione di soluzione, scelta della regolarità. Un'equazione differenziale non è un problema ben posto, con dimostrazione. Problema di Cauchy, definizione e definizione di soluzione. Esempi. La datazione attraverso il ¹⁴C.

• 09.10.08, 3 ore, aula N3
  Equazioni differenziali ordinarie, riepilogo su: definizione di problema di Cauchy, definizione di soluzione di un problema di Cauchy. Un problema di Cauchy senza soluzione: esempio. Il teorema di Peano, senza dimostrazione. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni. Definizione di funzione localmente Lipschitz, definizione ed esempi. Il Teorema di Cauchy locale: enunciato; significato di "locale"; significato dell'unicità. Inizio della dimostrazione del Teorema di Cauchy, parte relativa all'esistenza.

• 16.10.08, 3 ore, Aula N3
  Teorema locale di Cauchy, fine della dimostrazione. Lemma di Grönwall, con dimostrazione. Dipendenza continua per soluzioni di Problemi di Cauchy, con dimostrazione. Esempi di utilizzo del teorema sulla dipendenza continua. Esempio di problema di Cauchy con soluzione solo locale. La dipendenza continua su intervalli di tempo illimitati può non esserci, esempi. Il problema del paracadutista e della caduta in un liquido, studio qualitativo.

• 23.10.08, 3 ore, Aula N3
  Il Teorema di Cauchy locale: significato di locale. Il teorema di Cauchy globale: enunciato, dimostrazione, differenze con il caso locale. Introduzione alle serie numeriche: legame con le successioni, definizione di convergenza, convergenza assoluta, condizione di Cauchy. Una condizione necessaria per la convergenza, con dimostrazione. La serie armonica, la serie geometrica. Il criterio integrale per la valutazione della convergenza di una serie, esempio. Il criterio di Leibniz, senza dimostrazione. Esempio di serie convergente ma non assolutamente convergente. Il criterio del rapporto, con dimostrazione.

• 30.10.08, 3 ore, Aula N3
  Riepilogo. Serie numeriche: criterio della radice e del confronto, con dimostrazioni. Introduzione alle successione e serie di funzioni: definizione di convergenza puntuale, esempi. Proprietà che passano al limite puntuale: positività e monotonia debole, con dimostrazione, per successioni e per serie. La continuità non passa al limite puntuale, con dimostrazione. Definizione di convergenza uniforme, per successioni e per serie. Relazioni tra convergenza puntuale ed uniforme, con dimostrazione, per successioni e per serie. Il limite uniforme di funzioni continue è continuo, per successioni e per serie.

• 06.11.08, 3 ore, Aula N3
  Definizione di condizione di Cauchy uniforme; una successione di funzioni di Cauchy uniforme converge. Convergenza uniforme e convergenza in C⁰. Completezza di C⁰, con dimostrazione. Convergenza uniforme e integrazione: esempio, teorema con dimostrazione. L'integrazione definita, risp. indefinita, è lineare e Lipschitz, con dimostrazione, risp. per esercizio. La derivazione è lineare ma non continua, con esempio. Un teorema su convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione. Estensione di alcuni risultati ottenuti per successioni al caso delle serie: esempi, esercizi. Introduzione ale serie di potenze. Definizione di raggio di convergenza di una serie e proposizioni che la motivano, con dimostrazione. Metodi per determinare il raggio di convergenza, senza dimostrazione. Esempi di serie di potenze e calcolo dei relativi raggi. L'esponenziale complesso: e^2pi+1=0

• 10.11.08, 3 ore, Aula N1
  Raggio di una serie di potenze e della serie delle derivate, senza dimostrazione. La somma di una serie di potenze convergente è una funzione analitica e formula per i coefficienti, con dimostrazione. Una funzione C^infinito non analitica, esempio dettagliato. funzioni analitiche e raggio di convergenza della loro serie, esempi. Perchè le serie di potenze si studiano in C. Precisazioni sulla norma operatoriale di una matrice: definizione e principali proprietà. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo, il caso delle funzioni costanti. Una tavola di ntegrali definiti. Definizione di polinomio trigonometrico, coefficiente di Fourier, serie di Fourier. Giustificazione a posteriori della formula per i coefficienti di Fourier, con dimostrazione. Paragone tra serie di Taylor e serie di Fourier, cenno.

• 17.11.08, 3 ore, Aula N1
  Il polinomio di fourier di una funzione è il polinomio trigonometrico che meglio la approssima nel senso della distanza quadratica, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti. Toremi che assicura l'esistenza dei coefficienti di fourier, la convergenza puntuale della serie di Fourier, la convergenza puntuale della serie di Fourier alla funzione data, la convergenza uniforme della serie di Fourier, senza dimostrazione. Un'interpretazione geometrica degli sviluppi di Fourier. Risposte a domande degli studenti.

• 22 Settembre (3 ore, Aula N1):
  spazi metrici ed esempi vari di metriche, anche in dimensione infinita. Palla aperta e chiusa, geometria della palla in R^2 rispetto a varie metriche. Punto interno, esterno, di frontiera, isolato e d'accumulazione per un insieme.

• 25 Settembre (3 ore, Aula N3):
  determinazione del diametro di un insieme, esempi di insiemi limitati e non. Esercizi sulla convergenza di successioni e successioni di Cauchy in spazi metrici. Esempi di spazi metrici completi e non, anche in dimensione infinita.

• 6 Ottobre (3 ore, Aula N1):
  Problema di Cauchy, applicazioni dei teoremi di esistenza e unicita' locale e globale, controesempi a tali teoremi. Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari.

• 13 Ottobre (3 ore, Aula N1):
  risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non. Esercizi vari sui problemi di Cauchy, anche tratti da temi d'esame.

• 20 Ottobre (3 ore, Aula N1):
  studio qualitativo della/e soluzione/i di problemi di Cauchy, ricerca di soluzioni stazionarie.

• 27 Ottobre (3 ore, Aula N1):
  successioni di funzioni: esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme, relazione fra convergenza uniforme e puntuale con esempi e controesempi. Risoluzione di temi d'esame.

• 3 Novembre (3 ore, Aula N1):
  applicazioni e controesempi del teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Esercizi vari tratti da temi d'esame.

• 10 Novembre (3 ore, Aula N3):
  serie numeriche, condizione necessaria alla convergenza di una serie. Applicazioni del criterio della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico e di Leibnitz per serie numeriche.

• 12 Novembre (2 ore, Aula N2):
  serie di funzioni: esercizi sulla convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Relazione fra i vari tipi di convergenza.

• 17 Novembre (3 ore, Aula N1):
  esercizi sulle serie di funzioni e sulle serie di potenze con calcolo del raggio di convergenza, anche tratti da temi d'esame.

• 19 Novembre (2 ore, Aula N2):
  esercizi sulle serie di Fourier, applicazioni dell'uguaglianza di Bessel-Parceval.