ANALISI MATEMATICA 2 - EDILE ARCHITETTURA

Anno Accademico 2008-2009

Programma Dettagliato:

Lezioni

18.09.08, 2 ore, aula N3
Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, esempi ed esercizi. Definizione di sfera aperta, esempi ed esercizi. Definizioni di punto interno, esterno, isolato, di frontiera, di accumulazione per un insieme. Esempi.

19.09.08, 2 ore, aula N3
Definizioni di parte interna, frontiera, chiusura; insieme aperto, chiuso. esempi. La parte interna è contenuta nell'insieme, con dimostrazione. La chiusura contiene l'insieme, con dimostrazione. Esempi. Definizione di insieme aperto, chiuso; esempi. Definizione di diametro, insieme limitato, illimitato; esempi. Proprietà del diametro, per esercizio. Definizione di spazio normato, esempi. Ogni spazionormato è uno spazio metrico con speciali proprietà, con dimostrazione. Non vale il viceversa, esempio. Definizione di metriche equivalenti, esempi. Richiami sulle matrici: definizione, significato, motivazione della regola del prodotto. Norma operatoriale sulle matrici: definizione.

22.09.08, 2 ore, aula N1
Successioni in uno spazio metrico: definizione, definizione di limitatezza, esempi. Definizione di limite di una successione, esempi, commenti. Unicità del limite, con dimostrazione. Come calcolare i limiti di successioni in Rⁿ, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Condizione di Cauchy: motivazione, definizione, esempi. Definizione di spazio completo.

25.09.08, 2 ore, Aula N3
Caratterizzazione della chiusura di un insieme, con dimostrazione. Una successione convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Una successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergene è limitata. Insiemi separati, sconnessi, connessi: definizione ed esempi. Insiemi compatti, definizione. Compatto implica chiuso e limitato, con dimostrazione. In Rⁿ, compatto equivale a chiuso e limitato, senza dimostrazione. Definizione di limite per funzioni: costruzione della definizione, motivazione, esempi, una definizione che non funziona.

29.09.08, 2 ore, Aula N1
Definizione di limite per funzioni. Unicità del limite, con dimostrazione. Legame tra limiti di funzioni e di successioni, con dimostrazione. Unicità del limite, con dimostrazione. Introduzione allo studio dei limiti di funzioni di più variabili: strategie, esempi. Definizione di funzione continua: una definizione "cattiva", esempi.

02.10.08, 2 ore, Aula N3
Legame continuità e limiti, con dimostrazione. Legame continuità e successioni, con dimosrazione. La composizione di funzioni continue è una funzione continua: costruzione dell'enunciato e dimostrazione. Immagine di un compatto attraverso una funzione continua: dimostrazione, il caso di Analisi 1. Immagine di un connesso attraverso una funzione continua, senza dimostrazione, il caso di Analisi 1. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. L'uniforma continuità implica la continuità, con dimostrazione. Il teorema di Cantor, con dimostrazione. Osservazioni sulle funzioni uniformemente continue. Definizione di funzione Lipschitziana. La Lipschitzianità implica la continuità uniforme, dimostrazione per esercizio.

06.10.08, 2 ore, Aula N1
La Lipschitzianità implica la continuità uniforme, con dimostrazione. Come riconoscere una funzione Lipschitziana: il caso di Analisi 1, metodo grafico, esempi. Ogni funzione lineare su Rⁿ è Lipschitziana, con dimostrazione. Definizione di contrazione: esempi, differenze con le funzioni Lipschitziane. Il teorema delle contrazioni: enunciato; dimostrazione; necessità delle ipotesi; il caso reale, con dimostrazione; il caso con dipendenza Lipschitz da un parametro, con dimostrazione.

07.10.08, 2 ore, Aula N1
Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione. Proposizione analoga sulla continuità. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione; limite del prodotto (di numeri reali, scalare per funzione, scalare di vettori, vettoriale di vettori) e prodotto dei limiti, con dimostrazione. Proposizioni analoghe sulla continuità. Rappresentazione di funzioni: esempi, motivazioni. Derivate parziali e direzionali: motivazioni, definizione, esempi, notazione.

13.10.08, 2 ore, Aula N1
Derivate parziali e direzionali: calcolo. Una funzione derivabile lungo ogni direzione ma non continua. Rivisitazione della derivabilità di Analisi 1. Definizione di differenziabilità: motivazione, esempi, notazione, casi particolari. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. La differenziabilità implica la continuità, con dimostrazione. La differenziabilità implica la derivabilità direzionale e parziale, con dimostrazione. Come è costruita la derivata totale, con dimostrazione.

16.10.08, 2 ore, Aula N3
Richiami sulla differenziabilità, il caso m=1, n=2. Il teorema del differenziale totale, con dimostrazione. Derivata di una somma, del prodotto scalare per funzione e della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato e dimostrazione, esempi. Il Teorema di Lagrange può non valere per funzioni a valori vettoriali: esempio. Formula degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Definizione di segmento e di insieme convesso. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto convesso/stellato, allora è costante, con dimostrazione. Esistenza delle poligonali in insiemi aperti connessi, senza dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione. Notazione: gli spazi C⁰, C¹.

20.10.08, 2 ore, Aula N1
Il Lemma di Schwarz, ruolo, dimostrazione, conseguenze. Definizione di C^1, C^k. Introduzione al problema della funzione implicita: esempi, definizione. Il caso lineare, con dimostrazione. Enunciato del teorema della funzione implicita, inizio della dimostrazione. Cenni al metodo di Newton per determinare gli zero di equazioni non lineari.

23.10.08, 2 ore, Aula N1
Il teorema della funzione implicita: enunciato, dimostrazione, esempi, il caso x in R e y in R, problemi di notazione. Definizione rigorosa di gradi di libertà: esempio. Regola di derivazione per la funzione implicita: cenno di dimostrazione.

28.10.08, 2 ore, Aula N1
Il teorema della funzione inversa, con dimostrazione. Derivata della funzione inversa, dimostrazione per eseercizio. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: esempi, il ruolo di R. Definizione di punto di massimo/minimo locale/assoluto. Il teorema di Fermat, con dimostrazione. Il gradiente: cosa indica, significato geometrico. Sviluppo di Taylor al secondo ordine: funzioni a valori reali/vettoriali, senza dimostrazione. Definizione di matrice Hessiana. Una condizione necessaria al secondo ordine per l'ottimalità di un punto, con dimostrazione.

30.10.08, 2 ore, Aula N3
Precisazioni sui teoremi della funzione implicita e inversa. Derivazione della funzione inversa: dimostrazione. Condizioni necessarie al primo e secondo ordine per la ricerca di punti di estremo, con dimostrazioni. Condizioni sufficienti al secondo ordine, con dimostrazione. Definizione di punto di sella, di punto stazionario. Esempi delle varie situazioni. Introduzione alla ricerca di massimi e minimi vincolati. Il teorema dei motiplicatori di Lagrange

03.11.08, 2 ore, Aula N1
Il teorema dei motiplicatori di Lagrange, dimostrazione nel caso n=2, enunciato nel caso generale; osservazioni sul numero di equazioni e di incognite. Cenni agli integrali multipli: regole di calcolo, differenza con le definizioni di lunghezza, area, volume. Formula per il cambiamento di variabili. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi.

06.11.08, 2 ore, Aula N1
Equazioni differenziali ordinarie: esempi; definizione di ordine, forma normale. Riduzione a forma normale al primo ordine: esempio. Necessità della condizione iniziale. Un problema di Cauchy con eistenza e dipendenza continua: la crescita della popolazione umana. Un problema di Cauchy senza soluzione: esempio. Il teorema di Peano, senza dimostrazione. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni: esempio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi.

11.11.08, 2 ore, Aula N1
Il Teorema di Cauchy Locale, con dimostrazione.

13.11.08, 2 ore, aula N3
Il Lemma di Grönwall, con dimostrazione. dipendenza continua da equazione e dato iniziale nei problemi di cauchy, con dimostrazione. Interpretazione funzionale della dipendenza continua. Esempi di utilizzo della dipendenza continua, importanza della limitatezza dell'intervallo dei tempi, esempi e controesempi. Un problema di Cauchy con esistenza solo locale. La crescita logistica, utilizzo del teorema di Cauchy nello studio qualitativo di un problema di Cauchy

17.11.08, 2 ore, Aula N1
Il teorema di esistenza globale di Cauchy: esempio, significato di locale e globale, definizione di funzione sublineare, dimostrazione. conclusione sulla equazioni differenziali ordinarie. Introduzione alle successioni di funzione: motivazione, esempio, definizione di serie. definizione di convergenza puntuale per successione e per serie. Una "meta-proposizione".

20.11.08, 2 ore, Aula N3
La debole monotonia e la debole positività passano al limite puntuale, con dimostrazione. La continuità non passa al limite puntuale: esempio. Convergenza uniforme: motivazione, definizione, esempi. Relazione tra convergenza uniforme e puntuale, con dimostrazione. Unicità del limite uniforme, con dimostrazione. Proprietà che passano al limite uniforme: debole monotonia, debole positività, continuità, con dimostrazione. Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme: definizione. Una successione di Cauchy per la convergenza uniforme ammette limite uniforme, con dimostrazione. Convergenza uniforme e distanza in C⁰. Completezza di C⁰, con dimostrazione. strategie per gli esercizi sulle successioni di funzioni. Il caso delle serie, esercizio.

24.11.08, 2 ore, Aula N1
riepilogo sulle successioni di funzioni. convergenza uniforme e itnegrazione: un esempio su intervalli illimitati; limite degli integrali ed integrale del limite, con dimostrazione. Proprietà dell'integrazione definita, con dimostrazione. Proprietà dell'integrazione indefinita, con dimostrazione per esercizio. La derivazione è lineare, con dimostrazione. La derivazione non è continua, esempio. Un insieme chiuso e limitato non compatto: esempio dettagliato. Convergenza uniforme e derivazione, una dimostrazione. Passaggio dalle proprietà della convergenza puntuale/uniforme per successioni alle analoghe proprietà per le serie: un esempio, esercizio. Condizione necessaria per la convergenza puntuale/uniforme di una serie, con dimostrazione. Definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione

28,11.08, 2 ore, Aula N3
Serie di potenze: introduzione, motivazione, definizione, un primo motivo per la scelta di C. Definizione di raggio di convergenza e proposizioni che la motivano/giustificano, con dimostrazione. Esempi. Criterio del rapporto e della radice, senza dimostrazione. Raggio della serie derivata, senza dimostrazione. Polinomi di Taylor: ripasso. Proprietà di una funzione reale definita attraverso una serie di potenze, con dimostrazione. Esempi di funzioni edfinite attraverso serie di potenze: l'esponenziale complesso. funzioni trigonometriche complesse. Legame esponenziale - funzioni trigonometriche. L'esponenziale è un autovettore della derivazione. Esercizi sul calcolo dei raggiodi convergenza.

01.12.08, 2 ore , Aula N1
Definizione (semplificata) di funzione analitica, richiami sulle proprietà delle funzioni analitiche: se una funzione è analitica, allora è C^infinto, già dimostrato. Una funzione C^infinto non analitica: esempio dettagliato. Il criterio di Weierstrass, senza dimostrazione. Perchè le serie di potenze di studiano in C: esempi dettagliati. Introduzione alle serie di Fourier: confronto con le serie di Taylor, ruoli della distanza infinita e della distanza quadratica. Definizione di funzione periodica; esempio: la funzione mantissa. Definizione di polinomio trigonometrico, di coefficiente di Fourier, di serie di Fourier di una funzione assegnata. Se una serie di Fourier converge uniformemente, allora ..., con dimostrazione.

04.12.08, 2 ore, Aula N1
Il polinomio trigonometrico che meglio approssima una funzione: calcolo dettagliato. Una presentazione geometrica delle serie di Fourier. definizione di funzione continua a tratti, esempi. Una funzione continua a tratti ha tutti i coefficienti di fourier finiti, con dimostrazione. Convergenza di una serie di Fourier e suo limite in un punto, su R, motivazione delle ipotesi, senza dimostrazione. Convergenza uniforme di una serie di Fourier, motivazione delle ipotesi, senza dimostrazione.

11.12.08, 2 ore, Aila N3
Definizione di curva e di curva chiusa: motivazione, esempi. Definizione di lunghezza di una curva; regola di calcolo, senza dimostrazione. Introduzione al Calcolo delle variazioni: motivazioni; esempi. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Le equazioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione.

15.12.08, 2 ore, Aula N1
Precisazioni sulle equazioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale. Il problema della geodetica: formalizzazione, soluzione. Il problema della Brachistocrona: formalizzazione, soluzione. Il problema isoperimetrico: formalizzazione, necessità dell'introduzione di vincoli. Le equazioni di Eulero-Lagrange per un funzionale integrale con vincolo integrale: con dimostrazione.

18.12.08, 2 ore, Aula N3
L'uguaglianza di Bessel Parseval: significato geometrico, senza dimostrazione. Ricapitolazione sul calcolo delle variazioni. Ottimizzazione di un funzionale integrale vincolato da un funzionale integrale: deduzione di una condizione necessaria con dimostrazione. Il problema isoperimetrico: formalizzazione e risoluzione completa. Il problema della catenaria, formalizzazione e risoluzione (quasi) completa.

22.12.08, 2 ore, Aula N1
Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

23.11.08, 2 ore, aula N1
Determinazione di sfere aperte in spazi metrici: 1) il caso del piano con tre distanze; 2) il caso dello spazio metrico discreto; 3) il caso della "distanza delle ferrovie francesi"; 4) il caso dello spazio C([0,1]) con la distanza del sup. Equivalenza tra metriche.

26.09.08, 2 ore, Aula N1
Esercitazioni. Esempi di metriche non equivalenti: 1) nel piano 2) sullo spazio C([0,1]). Esercizi sugli elementi di topologia in spazi metrici (parte interna/chiusura/bordo/punti isolati): 1) in R; 2) nel piano; 3) in C([0,1]).

Martedì 30/9/2008, 2 ore, aula N1
Esercizi sul calcolo del diametro: 1) il caso del piano rispetto alle distanze d_2 e d_\infty 2) il caso di C([0,1]) rispetto alla distanza quadratica e alla distanza del sup. Calcolo di limiti di successioni: 1) il caso del piano rispetto alla metrica euclidea 2) un esempio in C([0,1]). Esercizi su limitatezza, completezza e connessione in spazi metrici.

Venerdì 3/10/2008, 2 ore, Aula N3
Esercizi su connessione e compattezza in spazi metrici, soprattutto in R e R2. Limiti per funzioni di più variabili: studio delle restrizioni.

9/10/2008, 2 ore, Aula N3
Calcolo di limiti lungo restrizioni per funzioni di due e tre variabili.

10/10/2008, 2 ore, Aula N3
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Limiti per le funzioni positivamente omogenee.

14/10/2008, 2 ore, aula N1
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili. Utilizzo delle coordinate polari nel piano.

7/10/2008, 2h, aula N3
Calcolo di limiti con coordinate cilindriche e sferiche. Calcolo delle derivate parziali per funzioni di più variabili reali.

21/10/2008, 2h, aula N1
Derivate parziali e direzionali, esercizi sulla differenziabilità.

24/10/2008, 2h, aula N3
Esercizi sulla differenziabilità.

Esercitazione 28/10/2008, 2h, aula N1:
sercizi sul rapporto tra differenziabilità, continuità, lipschitzianità e uniforme continuità.

Esercitazione 31/10/2008, 2h, aula N3:
Differenziabilità per funzioni a valori vettoriali ed esercizi sulla funzione impliita.

Esercitazione 4/11/2008, 2h, aula N1
Esercizi sul teorema della funzione implicita.

Esercitazione di recupero 6/11/2008, 2h, aula MTB
Esercizi sul teorema della funzione implicita e di inversione locale.

Esercitazione 7/11/2008, 2h, aula N3
Esercizi sulla classificazione dei punti stazionari tramite la matrice hessiana. Il problema del "caso dubbio".

Esercitazione 11/11/2008, 2h, aula N1:
Classificazione dei punti stazionari. Massimi e minimi assoluti.

Esercitazione di recupero 13/11/2008, 2h, aula MTB:
Massimi e minimi assoluti

Esercitazione 18/11/2008, 2h, aula N1:
Massimi e minimi assoluti.

Esercitazione di recupero 20/11/2008, 2h, aula MTB:
Massimi e minimi assoluti. Integrali doppi.

Esercitazione 23/11/2008, 2h, aula N3:
Integrali doppi: formula del cambiamento di variabili, specialmente nel caso delle coordinate polari. Equazioni differenizali ordinarie: applicazioni del teorema di esistenza ed unicità locale.

Esercitazione 2/12/2008, 2h, aula N1:
Equazioni differenizali ordinarie: studio qualitativo delle soluzioni (dominio massimale, souluzioni stazionarie, segno, crescenza e decrescenza).

Esercitazione di recupero 4/12/2008, 2h, aula MTB:
Equazioni differenizali ordinarie: studio qualitativo delle soluzioni (studio anche della concavità e convessità

Esercitazione 5/12/2008, 2h, aula N3: Equazioni differenizali ordinarie: il caso delle equazioni a variabili separabili, lineari del primo ordine a coefficienti continui, lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme.

Esercitazione 9/12/2008, 2h, aula N1: Successione di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme, passaggio al limite sotto il segno di integrale.