Analisi Superiore 2

Rinaldo M. Colombo

Obiettivo del corso:

Programma del corso: PROVVISORIO!

1. Teoria delle distribuzioni: seminorme, convergenza, derivate deboli.
2. Funzioni BV: definizioni e proprietà, in particolare per funzioni di una variabile.
3. Leggi di conservazione: il caso lineare, l'equazione scalare, il problema di Riemann.
4. Applicazioni: dinamica dei fluidi, traffico stradale, combustione.

Bibliografia:

• Bressan, A.: Hyperbolic systems of conservation laws. Oxford university press, 2000.
• Dafermos, C.M.: Hyperbolic conservation laws in continuum physics. Springer, 2000.
• Serre, D.: Systems of conservation laws. Cambridge university press. 1999
• Volpert, A.I., Hudiaev, S.I.: Analysis in classes of discontinuous functions and equations of mathematical physics. Dordrecht, 1985
  

Programma Svolto

• Lezione 1
  Presentazione del corso: introduzione alle leggi di conservazione, un po' di storia, le equazioni di Eulero, il modello LWR, il caso lineare e scalare.

• Lezione 2
  Il casono lineare, scalare e sistema: soluzione completa. Definizione di matrice iperbolica. Il caso scalare non lineare: dimuzione della pendenza, nascita delle singolarità, esempi fisici. Definizione di soluzione integrale. Introduzione alla definizione di soluzione debole.

• Lezione 3
  Introduzione agli spazi vettoriali topologici: definizione; definizione di limitatezza, esempi; definizione di compattezza, un insieme chiuso e limitato non compatto, cenni ai criteri di compattezza; condizione di Cauchy e legame con la definizione di limite, esempi. Definizione di supporto, di funzioni C^infinito. Una funzione C^infinito non analitica, una funzione C^infinito a supporto compatto. Definizione di seminorma e topologia indotta da una famiglia separante di seminorme.

• Lezione 4
  Spazi vettoriali seminormati: definizione, esempi. Cenno agli spazi localmente convessi. Duale di C^0. duale di L^p. definizione di spazio riflessivo, esempi. Distribuzioni: topologia, identificazioni di spazi di funzioni e di misure. Derivazione di distrbuzioni: esempi.

• Lezione 5
  Leggi di conservazione scalari: definizione di soluzione integrale, problema di Riemann, soluzioni "regolari", onde di rarefazione, onde di shock. Il caso del traffico.

• Lezione 6
  Lo spazio BV in una variabile: definizione, definizione di variazione totale, esempi, legami con C^0, proprietà principali. Introduzione al teorema di Helly.

• Lezione 7.
  Il teorema di Helly. Il teorema di Helly con dipendenza Lipschitz in L1 da una variabile. Definizione di entropia e flusso di entropia.

• Lezione 8
  Consistenza di un Riemann solver. Esempio: il semaforo.

• Lezione 9
  Soluzione completa del problema di Riemann per un'equazione scalare, il caso u^l < u^r.

• Lezione 10
  Soluzione completa del problema di Riemann per un'equazione scalare, il caso u^l > u^r. Cenni su convessità e concavità. Introduzione al Wave Front Tracking per l'equazione scalare.

• Lezione 11
  Il wave front tracking per un'eqauzione scalare: controllo delnumero dionde, controllo della variazione totale, Lipschitzianità nel tempo

• Lezione 12
  Introduzione al Problema di Riemann per sistemi di leggi di conservazione: iperbolicità, uso del teorema della funzione implicita, curve di rarefazione, curve di shock..

• Lezione 13
  Il Problema di Riemann per sistemi id leggi di conservazione: curve di rarefazione di shock. Discontinuità di contatto. Introduzione al wave front tracking per i sistemi, stime di interazione.

• Lezione 14
  Wave front tracking per sistemi di leggi di conservazione: stime di interazione, potenziali di Glimm, esistenza di soluzioni.q