ANALISI MATEMATICA 2 - EDILE ARCHITETTURA

Anno Accademico 2007-2008

Programma Dettagliato:

Lezioni

17.09.07, 2 ore, Aula M1
Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, esempi ed esercizi. Definizione di sfera aperta, esempi ed esercizi.
17.09.07, 2 ore, Aula N3
Definizione di punto isolato, interno, esterno, di frontiera, di accumulazione; parte interna, chiusura, frontiera. Esempi di relazioni tra queste definizioni. Esempi. Un punto interno di un insieme appartiene all'insieme, con dimostrazione. Un insieme è contenuto nella sua chiusura e contiene la sua parte interna, con dimostrazione. Definizione di insieme aperto, chiuso. Esempi. Definizione di diametro, insieme limitato, illimitato. Insiemi finiti/infiniti e limitati/illimitati. Definizione di spazio normato ed esempi. Uno spazio normato è anche uno spazio metrico e con una distanza che ha proprietà in più, con dimostrazione.
18.09.07, 2 ore, Aula N1
Definizione di metriche equivalenti: motivazione ed esempi. Successioni in uno spazio metrico: definizione, definizione di limitatezza, esempi. Definizione di limite di una successione, esempi. Unicità del limite, con dimostrazione. Come calcolare limiti di successioni in R^n, con dimostrazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso successioni, con dimostrazione. Caratterizzazione della chiusura, con dimostrazione.
24.09.07, 2 ore, Aula N3
Condizione di Cauchy: motivazione, definizione, esempi. Una successione convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Una successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergene è limitata. La serie armonica tende a +infinito, con dimostrazione, legame con la condizione di Cauchy. Insiemi separati, sconnessi, connessi: definizione ed esempi. Insiemi compatti, definizione. Compatto implica chiuso e limitato. In R^n, compatto equivale a chiuso e limitato, senza dimostrazione.
25.09.07, 2 ore, Aula N1
Compatto implica chiuso e limitato, con dimostrazione. In R^n, compatto equivale a chiuso e limitato, senza dimostrazione. Definizione di limite per funzioni: costruzione della definizione, motivazione, esempi, una definizione che non funziona. Unicità del limite, dimostrazione diretta per esercizio. Legame tra limiti di funzioni e di successioni, senza dimostrazione. Unicità del limite, con dimostrazione. Alcuni tipi di funzioni, esempi. Introduzione allo studio dei limiti di funzioni di più variabili: strategie, esempi.

01.10.07, 3 ore (Aule N5 e N2)
Definizione di funzione continua: una definizione "cattiva", definizione, esempi. Legame continuità e limiti, con dimostrazione. Legame continuità e successioni, con dimosrazione. Definizione di funzione uniformemente continua, esempi. L'uniforma continuità implica la continuità, con dimostrazione. Definizione di funzione Lipschitziana, esempi. La Lipschitzianità implica la continuità uniforme, con dimostrazione. Come riconoscere una funzione Lipschitziana: il caso di Analisi 1, metodo grafico, esempi. Richiami sulle funzioni lineari: definizione di matrice, legame con le funzioni lineari, motivazione della regola per il prodotto di matrici; ogni funzione lineare su R^n è Lipschitziana, con dimostrazione. Immagine di un compatto/connesso attraverso una funzione continua: dimostrazione, il caso di Analisi 1 La composizione di funzioni continue è una funzione continua: costruzione dell'enunciato e dimostrazione.

04.10.07, 2 ore, Aula N9
Il teorema di Cantor, con dimostrazioe. Osservazioni sulle funzioni uniformemente continue. Definizione di contrazione: esempi, differenze con le funzioni Lipschitziane. Il teorema delle contrazioni: enunciato; dimostrazione; necessità delle ipotesi; il caso reale, con dimostrazione; il caso con dipendenza Lipschitz da un parametro, con dimostrazione.

08.10.07, 3 ore (Aule N5 e N3)
Teorema della permanenza del segno, con dimostrazione. Limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Limite del prodotto (scalcare, vettoriale, per scalare) e prodotto dei limiti, con dimostazione. Derivate parziali e direzionali: motivazioni, definizione, esempi, notazione, calcolo. Una funzione derivabile lungo ogni direzione ma non continua. Definizione di differenziabilità: motivazione, esempi, notazione. Unicità della derivata totale, con dimostrazione. La differenziabilità implica la continuità, con dimostrazione. La differenziabilità implica la derivabilità, con dimostrazione. Come è costruita la derivata totale, con dimostrazione.

15.10.07, 3 ore, Aule N5 e N3.
Richiami sulla differenziabilità, il caso m=1 e n=2. Il teorema del differenziale totale, con dimostrazione. Derivata di una somma, del prodotto scalare per funzione e della composizione di funzioni: costruzione dell'enunciato e dimostrazione. Varie scritture per la derivata della funzione composta. Ogni funzione lineare è differenziabile, con dimostrazione. Il Teorema di Lagrange può non valere per funzioni a valori vettoriali: esempio. Formula degli accrescimenti finiti, con dimostrazione. Definizione di segmento e di insieme convesso. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto convesso, allora è costante, con dimostrazione. Esistenza delle poligonali in insiemi aperti connessi, senza dimostrazione. Se una funzione ha derivata nulla su un aperto connesso, allora è costante, con dimostrazione.

18.10.07, 2 ore, Aula N9
Il Lemma di Schwarz, ruolo, dimostrazione, conseguenze. Definizione di C^1, C^k. Introduzione al problema della funzione implicita: esempi, definizione. Il caso lineare, con dimostrazione. Enunciato del teorema della funzione implicita, motivazione delle ipotesi attraverso il caso lineare.

22.10.07, 2 ore, Aule N5 e N3.
Il teorema della funzione implicita: dimostrazione. Regola di derivazione per la funzione implicita: cenno di dimostrazione. L'equazione di Keplero, nel caso di eccentricità 1. La definizione rigorosa di gradi di libertà. Il teorema della funzione inversa: il caso lineare, con dimostrazione, il caso generale, con dimostrazione. Derivata della funzione inversa. Introduzione allo studio di massimi e minimi: rilevanza e motivazione del caso scalare, distinzione tra estremi liberi e vincolati, definizione di massimo/minimo locale libero.

25.10.07, 2 ore, Aula N9
Il Teorema di Fermat per la ricerca di massimi e minimi, con dimostrazione. Il gradiente dà la direzione di massima crescita di una funzione, con dimostrazione. Lo sviluppo di Taylor al secondo ordine, senza dimostrazione, spiegazione dei termini, il caso di due variabili, cenni al caso di funzioni vettoriali. Condizione necessaria e condizione sufficiente perchè un punto sia di massimo o minimo locale per una funzione: dimostrazione, esempi. Introduzione alla ricerca di punti di massimo e minimo vincolati: motivazione, esempi. Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, il caso di due variabili, con dimostrazione.

05.11.07, 2 ore, Aula N3
Il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange: motivazione del problema, soluzione geometrica, dimostrazione, utilizzo. Integrali doppi: distinzione tra formule di calcolo e definzioni, cenni alla costruzione dell'integrale di Riemann, formule di riduzione, formule per il cambiamento di coordinate, il caso delle coordinate polari.

08.11.07, 2 ore, Aula N9
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, esempi, applicazioni, il caso "senza x". Definizione di soluzione, di problema di Cauchy. Il decadimento radioattivo. Un problema di Cauchy senza soluzione. Il teorema di Peano, senza dimostrazione.

12.11.07, 2 ore, Aula N3
Un problema di Cauchy con infinite soluzioni, esempio. Definizione di funzione localmente Lipschitz, esempi. Il teorema di Cauchy; enunciato, il significato di "unicità", dimostrazione. La legge del calore di Newton.

15.11.07, 2 ore, Aula N9
Il lemma di Gronwall, motivazione, dimostrazione. Il teorema di Cauchy: la dipendenza continua, enunciato motivazione, dimostrazione, esempi, una visione funzionale, un esercizio. Il problema del paracadutista.

19.11.07, 3 ore, Aule N5 e N3
Il Teorema di esistenza globale di Cauchy, con dimostrazione. Esempi sulla non dipendenza continua su intervalli illimitati. Esempi di problemi non di Cauchy. Il problema della caduta in un liquido. Introduzione allo studio di successioni e serie di funzioni: motivazione, definizioni, esempi, convergenza puntuale. La convergenza puntuale conserva la monotonia debole e la positività, con dimostrazione (anche per le serie). La convergenza puntuale non conserva la continuità, esempio. Convergenza uniforme: motivazione, definizione, confronto con la convergenza puntuale (con dimostrazione), unicità del limite (con dimostrazione), strategia per gli esercizi.

22.11.07, 2 ore, Aula N9
La convergenza uniforme conserva la continuità, con dimostrazione. Condizione di Cauchy e "completezza" rispetto alla convergenza uniforme, con dimostrazione anche su insiemi non limitati. Convergenza uniforme ed integrazione, con dimostrazione ed esempi. Lo spazio C^0 e la convergenza uniforme: completezza di C^0 su un compatto, con dimostrazione. Regolarità di: integrale definito, primitiva, derivazione; con dimostrazione ed esempi. Un legame tra convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione.

27.11.07, 2 ore, Aula N3
Riepilogo sui risulati sulle serie di funzioni. Serie di potenze: motivazione, definizione, studio in C. Proposizioni che permettono di definire il raggio di convergenza, con dimostrazione. Come e dove convergono le serie di potenze, con dimostrazione. Definizione di raggio di convergenza, esempi. Criteri per la determinazione del raggio di convergenza, cenno di dimostazione. Raggio della serie derivata, senza dimostrazione. Esempio di serie di potenze in due variabili. Serie di potenze e polinomio di Taylor. Esempi di serie di potenze. Legame tra funzione esponenziale e funzioni trigonometriche, con dimostrazione. Perchè le serie di potenze si studiano in C. Funzione analitica: definizione, esempi. Proprietà delle funzioni analitiche, con dimostrazione.

29.11.07, 2 ore, Aula N9
Esercizi sulle funzioni analitiche. Una funzione C^infinito non analitica: esempio dettagliato. Il criterio di Weierstraß, senza dimostrazione. Introduzione alle serie di Fourier: motivazione, esempi, confronto dettagliato con lo sviluppo di Taylor. Definizione di funzione periodica. Visione geometrica dello sviluppo di Fourier e formula dei coefficienti.

03.12.07, 2 ore, Aula N3
Formula per i coefficienti di Fourier: altre 2 motivazioni, con dimostrazione. Linearità dei coefficienti di Fourier, dimostrazione ed esempi. Coefficienti di Fourier di funzioni pari/dispari, con dimostrazione. Definizione di funzione continua a tratti, esempi. Una funzione continua a tratti ammette coefficienti di Fourier, con dimostrazione. Convergenze della serie di Fourier, senza dimostrazione.

06.12.07, 2 ore, Aula N9
Teoremi sulla convergenza puntuale ed uniforme delle Serie di Fourier, senza dimostrazione. Spiegazione, esempi. Introduzione al calcolo delle variazioni. Esempi. Definizione di curva, curva chiusa, curva regolare, vettore tangente, retta tangente; esempi. Formula per la lunghezza di una curva.

10.12.07, 2 ore, Aula N3
Definizione di curva semplice, di curva rettificabile, di lunghezza di una curva; esempi: la lunghezza di un segmento (dimostrazione per esercizio), lunghezza di una circonferenza. Regola di calcolo per l'area di una porzione di piano delimitata da una curva semplice chiusa, senza dimostrazione. formalizzazione del problema della geodetica e del problema isoperimetrico. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. L'equazione di Eulero Lagrange, stazionarietà di un funzionale integrale, con dimostrazione. Soluzione del problema della geodetica in C^1.

13.12.07, 2 ore, Aula N9
Il problema della brachistocrona: soluzione completa. Il problema isoperimetrico: formalizzazione. L'equazione di Eulero con vincolo integrale: enunciato e dimostrazione. Calcoli finali esclusi. Soluzione del problema isoperimetrico. Il problema della catena: soluzione completa.

17.12.07, 2 ore, Aula N3
Riepilogo del corso. Risposte a domande degli studenti: il teorema delle contrazioni, completezza di C^0, introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Esempi di applicazioni della matematica.

20.12.2007, 2 ore, Aula N9
Risposte a domande degli studenti.

Esercitazioni

21.09.07, 2 ore, Aula N1
Esempi di metriche, anche in spazi di dimensioni infinita.

27.09.07, 2 ore, Aula N2
Intorni nelle diverse metriche, insiemi aperti/chiusi, punti interni, esterni e di frontiera.

28.09.07, 2 ore, Aula N1
Spazi metrici completi e non completi, anche in dimensione infinita. Completezza di C0([a,b]).

02.10.07, 2 ore, Aula N2
Calcolo di limiti per funzioni di più variabili.

05.10.07, 2 ore, Aula N1
Calcolo di limiti, anche con le coordinate polari. Continuità di una funzione.

09.10.07, 2 ore, Aula N2
Derivate parziali e direzionali. Differenziabilità di una funzione.

12.10.07, 2 ore, Aula N1
Implicazioni tra differenziabilità, derivabilità e continuità. Significato geometrico della differenziabilità.

16.10.07, 2 ore, Aula N2
Teorema del differenziale totale, Lemma di Schwarz. Esercizi tratti da temi d'esame.

19.10.07, 2 ore, Aula N1
Uniforme continuità e Lipschitzianità. Funzioni a valori vettoriali e loro differenziabilità.

22.10.07, 2 ore, Aula N2
Il Teorema della Funzione Implicita. Esercizi tratti da temi d'esame.

26.10.07, 2 ore, Aula N1
Il Teorema della Funzione Implicita. Esercizi tratti da temi d'esame.

30.10.07, 2 ore, Aula N2
Invertibilità locale e globale. Esercizi tratti da temi d'esame.

06.11.07, 2 ore, Aula N1
Massimi e minimi liberi

09.11.07, 2 ore, Aula N2
Esercizi sui massimi e minimi liberi, anche per funzioni di 3 variabili.

13.11.07, 3 ore, Aula N2
Esercizi sui massimi e minmi vincolati, svolti anche con le curve di livello e con il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

16.1..07, 2 ore, Aula N1
I teoremi di Cauchy locale e globale. Esercizi sui problemi di Cauchy e soluzioni di equazioni differenziali.

20.11.07, 2 ore, Aula N2
Problemi di Cauchy ed equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.

23.11.07, 2 ore, Aula N1
Esercizi sugli integrali doppi.

23.11.07, 2 ore, Aula N3
Esercizi sugli integrali doppi.

30.11.07, 2 ore, Aula N1
Convergenza puntuale ed uniforme per le successioni di funzioni.

04.12.07, 2 ore, Aula N3
Convergenza puntuale ed uniforme per le successioni di funzioni, passaggio al limite sotto al segno di integrale e teorema di derivazione per successioni.

07.12.07, 2 ore, Aula N1
Successioni e serie di funzioni con le varie convergenze.

10.12.07, 3 ore, Aula N2
Serie di funzioni ed esercizi tratti da temi d'esame.

11.12.07, 2 ore, Aula N1
Serie di potenze e calcolo del raggio di convergenza. Somma di alcune serie particolari.

12.12.07, 2 ore, Aula N2
Serie di Fourier.

18.12.07, 2 ore, Aula N1
Esercizi tratti da temi d'esame.

21.12.07, 2 ore, Aula N1
Esercizi tratti da temi d'esame.