ANALISI MATEMATICA 2 - EDILE ARCHITETTURA

Programma Dettagliato:

• 26.09.06, 2 ore, Lezione
  Introduzione al corso. Spazi metrici: definizione ed esempi. Definizione di sfera aperta. Definizione di punto interno, esterno, isolato, di accumulazione. Esempi. Definizione di parte interna, frontiera, chiusura. Definizione di insieme aperto, chiuso. Esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato, esempi. Inclusioni tra insieme, parte interna e chiusura.

• 27.09.06, 2 ore, Lezione
  Definizione di metriche equivalenti, esempi. Spazio normato: definizione ed esempi. Distanza in uno spazio normato e sue proprieta', con dimostrazione. Successioni in uno spazio metrico: definizione, limitatezza. Definizione di limite di una successione: esempi e commenti. Unicita' del limite di una successione, con dimostarzione. Successioni in R^n e successioni in R, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: definizione ed esempi. Ogni successione convergente e' di Cauchy, con dimostrazione. Esempi di successioni di Cauchy non convergenti. Ogni successione di Cauchy e' limitata, con dimostrazione. Ogni successione convergente e' limitata, con dimostrazione.

• 28.09.06, 2 ore, Lezione
  Insiemi separati, sconnessi, connessi: definizione ed esempi. Caratterizzazione dei punti di accumulazione attraverso le successioni, con dimostrazione. Insiemi compatti, definizione. Compatto implica chiuso e limitato, con dimostrazione. In R^n, compatto equivale a chiuso e limitato, senza dimostrazione. Limiti di funzioni: definizione ed esempi. Unicita' del limite, con dimostrazione. Limiti di funzioni e limiti di successioni, senza dimostrazione.

• 29.09.06, 2 ore, Lezione
  Introduzione allo studio dei limiti per funzioni di piu' variabili. Limiti di funzioni e limiti di successioni, senza dimostrazione. Continuita' di una funzione: definizione "sbagliata" e "corretta". Un punto di un insieme o e' isolato o e' di accumulazione per quell'insieme. Condizione necessaria e sufficiente per la continuita' (attraverso il limite), con dimostrazione. Immagine di un compatto attraverso una funzione continua, con dimostrazione. Uniforme continuita': definizione ed esempi.

• 03.10.2006, 2 ore, Lezione
  L'immagine di un connesso tramite una funzione continua e' un connesso, con dimostrazione. Il caso di R^n. Definizione di curva e supporto di una curva. Definizione di funzione Lipschitziana. Richiami su matrici ed applicazioni lineari su R^n. Giustificazione del prodotto di matrici. Definizione di norma di una matrice. Ogni funzione lineare su R^n e' Lipschitz, con dimostrazione. Ogni funzione Lipschitz e' uniformemente contina, con dimostrazione. Ogni funzione continua su un compatto e' uniformemente continua, con dimostrazione. Definizione di contrazione. Il teorema delle contrazioni, solo enunciato.

• 04.10.2006, 2 ore, Esercitazione
  Esempi di spazi metrici; esercizi sul calcolo della distanza fra 2 funzioni rispetto opportune metriche; un esempio di 2 funzioni continue "vicine" rispetto una metrica e "lontane" rispetto un'altra; la palla aperta rispetto alcune metriche definite in R^n.

• 5.10.2006, 2 ore, Lezione
  Il teorema delle contrazioni, con dimostrazione. Definizione di funzione contrattiva in una variabile e Lipschitz nell'altra. Il Teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitz da un parametro, con dimostrazione. Teoremi sui limiti per funzioni a valori in R, con dimostrazione. Esempi.

• 06.10.06, 2 ore, Esercitazioni,
  Esempi di sfere in spazi metrici, anche di dimensione infinita; insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera, di accumulazione, isolati. Diametro di un insieme. Uno spazio metrico in cui ogni insieme e' sia aperto sia chiuso. Esrcizi.

• 10.10.2006, 2 ore, Lezione
  Notazioni in R^2, R^3 e R^n. Derivate parziali e direzionali: definizioni, esempi, proprieta'. Esempio di una funzione derivabile parzialmente e lungo ogni direzione ma non continua. Definizione di differenziabilita', definizione di o piccolo, ruolo delle applicazioni lineari. Se una funzione e' differenziabile allora e' derivabile parzialmente, lungo ogni direzione, ..., con dimostrazione. Unicita' della derivata totale, con dimostrazione.

• 11.10.2006, 2 ore, Lezione
  Metriche equivalenti. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi. La completezza non passa ai sottoinsiemi. La metrica discreta e' completa.

• 12.10.2006, 2 ore, Lezione
  Notazione per le derivate totali. Piani ed iperpiani tangenti. Teorema del differenziale totale, con dimostrazione. Derivazione del prodotto scalare per funzione, della somma e della composizione di funzioni, con dimostrazione. Definizione di segmento e di insieme convesso, esempi. Formula degli accrescimenti finiti, con dimostrazione.

• 13.10.2006, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi su teorema delle contrazioni e calcolo di limiti, anche con esempi di limiti che non esistono

• 17.10.2006, 2 ore, Lezione
  Formula degli accrescimenti finiti lungo un segmento ed in un aperto convesso, con dimostrazione. Proprieta' degli aperti connessi in R^n, senza dimostrazione. Se la derivata e' nulla allora ... in un aperto connesso ed in un aperto convesso, con dimostrazione. Notazioni legate alla differenziabilita', definizione di C^1. Derivate parziali di ordine successivo: definzione e notazione. Calcolo del numero di derivate seconde di una funzione. Definizione di C^2, di matrice Hessiana. Il Lemma di Schwarz, con dimostrazione. La matrice Hessiana e' simmetrica, con dimostrazione. Introduzione al problema delle funzioni implicite

• 18.10.2006, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi sul calcolo dei limiti anche con il passaggio alle coordinate polari ed esercizi riguardanti la continuita'

• 19.10.2006, 2 ore, Lezione
  Il problema della funzione implicita: motivazioni, esempi, definizione di funzione implicita. Cenni al metodo di Newton per la ricerca di zeri di una funzione. Il teorema di Dini, con dimostrazione. Derivata della funzione implicita, con dimostrazione "sbagliata".

• 20.10.2006, 2 ore Esercitazione
  Esercizi sul calcolo di derivate direzionali, parziali, di ordine superiore. Esercizi da temi d'esame.

• 24.10.2006, 2 ore, Lezione
  Teorema della funzione implicita: il caso n=m=1, il ruolo delle coordinate, "correzione" della dimostrazione della regola di derivazione. Il problema della definizione dei gradi di liberta' di un sistema. Esempi. Il teorema della funzione inversa: il caso lineare, con dimostrazione; il caso generale, con dimostrazione. Sviluppi di Taylor al secondo ordine per funzioni di piu' variabili, senza dimostrazione. Introduzione al problema dell'ottimizzazione: importanza del caso scalare. Definizione di massimo/minimo locale forte/debole. Il teorema di Fermat, con dimostrazione. Una condizione necessaria al secondo ordine, senza dimostrazione. Introduzione alle forme quadratiche.

• 25.10.2006, 2 ore, Esercitazione
  Differenziabilita' e suo significato geometrico. Equazione del piano tangente al grafico di una funzione. Relazioni fra differenziabilita', derivabilita' e continuita': esempi e controesempi.

• 26.10.2006, 2 ore, Lezione
  Forme quadratiche: definizione, esempi, relazione con la ricerca di massimi e minimi liberi, principali proprieta' (con dimostrazione). Condizione necessaria al secondo ordine per l'esistenza dio massimi/minimi, con dimostrazione. Condizione sufficiente al secondo ordine per l'esistenza dio massimi/minimi, con dimostrazione. Esempi e controesempi. Il significato geometrico del gradiente

• 27.10.2006, 2 ore, Esercitazione
  Il Teorema del differenziale totale: esempi e controesempi. Il lemma di Schwartz: esempi e controesempi. Esercizi da temi d'esame.

• 31.10.2006, 2 ore, Lezione
  Introduzione alla ricerca di massimi/minimi vincolati. Curve e superfici di livello: definizioni, esempi, posizione del gradiente (con dimostrazione). Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: procedimento geometrico e dimostrazione.

• 02.11.2006, 2 ore, Lezione
  Integrali doppi: regole di calcolo e regola per il cambiamento dicoordinate, senza dimostrazione. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato dei termini, definizioni, esempi. Definizione di soluzione, di problema ben posto e di problema di Cauchy.

• 03.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Il gradiente e suo significato geometrico. Funzioni a valori vettoriali e loro differenziale.

• 07.11.2006, 2 ore, Lezione
  Esempi di problemi di Cauchy: senza soluzione, con un'unica soluzione, con infinite soluzioni. Teorema di Peano, senza dimostrazione. Definizione di funzioni localmente Lipschitz, esempi. Enunciato del Teorema di Cauchy locale. La legge del calore di Newton: studio qualitativo.

• 08.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi su funzioni a valori vettoriali. Uniforme continuita' e Lipschitzianita' di funzioni definite anche su spazi metrici e per funzioni a valori vettoriali. Gradiente.

• 09.11.2006, 2 ore, Lezione
  Dimostrazione del teorema locale di Cauchy. Esempio di problema di Cauchy con soluzione solo locale. La legge del calore di Newton: studio qualitativo

• 10.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Ricerca di massimi e minimi liberi per funzioni di piu' variabili in R^2 in domini aperti.

• 14.11.2006, 2 ore, Lezione
  Il lemma di Gronwall, con dimostrazione. dipendenza continua nel teorema di Cauchy locale, con dimostrazione. Definizione di sublinearita'. Il teorema di Cauchy globale, con dimostrazione. Esempi sulla non dipendenza continua su intervalli di tempo illimitati. Il problema del paracadutista.

• 15.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Massimi e minimi assoluti per funzioni continue in domini compatti. Estermi vincolati. Esercizi vari risolubili mediante la parametrizzazione del bordo.

• 16.11.2006, 2 ore, Lezione
  Conclusione sulle equazioni differenziali rdinarie: cenni su equazioni autonome, problemi inversi, problemi di controllo. Successioni di funzioni: definizione, definizione di convergenza puntuale, esempi. Proprieta' che "passano al limite" con la convergenza puntuale (monotonia e positivita') con dimostrazione. La continuita' non passa al limite puntuale, esempi. Definizione di convergenza uniforme, esempio. Relazione con la convergenza puntuale, con dimostrazione; unicita' del limite uniforme, con dimostrazione. Proprieta' che passano al limite uniforme (monotonia, positivita' e continuita'), con dimostrazione. Convergena uniforme come convergenza in C^0, con dimostrazione. Integrazione definita e derivazione in un punto sono Lipschitz? (Per esercizio).

• 17.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Eserizi sui massimi e minimi risolti anche con lìuso delle curve di livello e con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

• 21.11.2006, 2 ore, Lezione
  Integrazione definita: linearità e continuità, con dimostrazione. Derivazione in un punto: linearità e non continuità, con dimostrazione ed esempio. Integrazione indefinita e derivazione per esercizio. Derivazione e convergenza uniforme, con dimostrazione. Passaggio al limite sotto al segno di integrale, con dimostrazione. Importanza della limitatezza dell'intervallo: esempio. Serie di funzioni: ripetizione della definizione. Esempi di deinizioni, enunciati e dimostrazioni sulle serie di funzioni: continuità, condizione di Cauchy.

• 22.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Integrali doppi risolubili mediante l'applicazione delle formule di riduzione e mediante opportuni sostitutzioni. Utilizzo di simmetrie della funzione integranda e del dominio.

• 23.11.2006, 2 ore, Lezione
  Riepilogo su successioni e serie di fuzioni. esempi di convergenza rispetto alla distanza quadratica; C^0 con la distanza quadratica non e' completo, esempio. Serie di potenze: definizione, esempi. definizione di raggio di convergenza e proposizioni che la giustificano, con dimostrazione. Criterio del rapporto e della radice per serie di potenze. Esempi. Esponenziale complesso e funzioni trigonometriche: dimostrazione del legame. e^(pi i) +1 =0. Esempi di serie di potenze e loro raggi. Metodi per determinare sviluppi in serie di potenze: esempi. Perchè le serie di potenze si studiano in C: motivazione.

• 24.11.2006, 2 ore, Esercitazione
  Integrali doppi risolti anche con l'uso delle coordinate polari. Integrali impropri. Esercizi tratti dai temi d'esame.

• 28.11.2006, 2 ore, Lezione
  Definizione di convergenza totale per serie di funzioni. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, con dimostrazione. Convergenza totale delle serie di potenze, con dimostrazione. Raggio di una serie di potenze, della serie derivata e della serie integrale, senza dimostrazione. Definizione di funzione analitica, esempi. Una funzione analitica e' C^infinito e formula per i coefficient, con dimostrazione. Una funzione C^infinito e non analitica, esempio. Criterio di Weierstraß, senza dimostrazione. Introduzione alle serie di Fourier: distanza quadratica, definizione di funzione periodica, la funzione mantissa, definizione di polinomio trigonometrico. Alcuni integrali definiti, senza dimostrazione.

• 30.11.2006, 2 ore, Lezione
  Visione "geometrica" delle serie di Fourier. Se una serie di Fourier converge uniformemente, allora i coefficienti di Fourier della somma ..., con dimostrazione. derivazione di funzioni definite tramite integrali, con dimostrazione. Il polinomio di Fourier di una funzione è quello che meglio approssima la funzione, con dimostrazione. Definizione di funzione costante a tratti, esempi. Una funzione costante a tratti ammette coefficienti di Fourier, con dimostrazione. Convergenza puntuale delle serie di Fourier, senza dimostrazione

• 1.12.2006, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi sulle successioni di funzioni: la convergenza puntuale e uniforme, controesempi in cui la convergenza puntuale non implica quella uniforme, esercizi tratti da temi d'esame.

• 5.12.2006, 2 ore, Lezione
  Definizione di curva, curva regolare, curva semplice, curva chiusa; motivazioni ed esempi. Esempio di curva C1 con uno "spigolo". Definizione di vettore tangente e retta tangente. Definizione di lunghezza di una curva e formula di calcolo, senza dimostrazione. Area della regione individuata da una curva semplice chiusa. Introduzione al calcolo delle variazioni: esempi (geodetica, brachistocrona, ...). Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione.

• 6.12.2006, 2 ore, esercitazione
  Il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, esempio di un insieme chiuso e limitato ma non compatto, esercizi sulle serie di funzioni: la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale e implicazioni varie (con controesempi).

• 7.12.2006, 2 ore, Esercitazione
  L'uguaglianza di Bessel. Esercizi sulle serie di Fourier e sulle serie di potenze; calcolo del raggio di convergenza; teorema di derivazione per serie; calcolo della somma di alcune serie particolari.

• 12.12.2006, 2 ore, Esercitazione
  Il problema di Cauchy, teoremi di esistenza e unicita' locale e globale, esempi in cui si mostra come tali teoremi siano solo condizioni sufficienti ma non necessarie; risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine, anche tratti da temi di esame.

• 13.12.2006, 2 ore, Esercitazioni
  Esercizi su equazioni differenziali lineari e a variaili separabili, anche tratti da temi d'esame.

• 14.12.2006, 2 ore, Lezione
  Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni nel caso di funzioni a valori vettoriali: cenno di dimostrazione e dettagli per esercizio. Le equazioni di eulero Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica ed il problema della brachistocrona: deduzione del funzionale, scrittura delle equazioni di Eulero, cenno alla loro soluzione

• 15.12.2006, 2 ore, esercitazioni
  Equaioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti e sistemi lineari di equazioni differenziali del primo ordine a coefficiewnti costanti.

• 19.12.2006, 2 ore, Lezione
  Equazione di Eulero Lagrange per problemi con vincolo integrale. Il problema isoperimetrico, il problema della catenaria. Risoluzione di esercizi presi da temi d'esame.

• 20.12.2006, 2 ore, Lezione
  Risoluzione di esercizi presi da temi d'esame.

• 21.12.2006, 2 ore, Esercitazione.
  Problemi di Cauchy: studio qualitativo della soluzione.

• 03.01.2007, 2 ore, Esercitazione.
  Ripasso generale e svolgimento di un tema d'esame completo.

• 04.01.2007, 2 ore, Esercitazione.
  Ripasso generale e svolgimento di un tema d'esame completo.

• 05.01.2007, 2 ore, Esercitazione.
  Ripasso generale e svolgimento di un tema d'esame completo.

• 09.01.2006, 2 ore, Lezione
  Risoluzione di esercizi presi da temi d'esame.

• 10.01.2006, 2 ore, Lezione
  Risoluzione di esercizi presi da temi d'esame.

• 12.01.2006, 2 ore, Lezione
  Risoluzione di esercizi presi da temi d'esame.