ANALISI MATEMATICA A - INGEGNERIA GESTIONALE

Anno Accademico 2005-2006

Programma Dettagliato:

26.09.05, 2 ore, Lezione
Introduzione al corso. Alcune notazioni. Proprieta' di somma e prodotto in R, Q, Z, N. Proprieta' caratteristiche di R: gruppo abeliano, campo, campo ordinato, proprieta' "del sup". Radice di 2 e' irrazonale, con dimostrazione.

27.09.05, 2 ore, Lezione
Definizioni di massimo e minimo. Definizione alternativa di sup e inf. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato rispetto ad un sottoinsieme di R. Definizioni di parte interna, frontiera, chiusura. Esempi vari.

30.09.05, 2 ore, Lezione
Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Successioni: maggioranti, minoranti, sup, inf, max, min. Definizione e caratterizzazione, con dimostrazione. Esempi di limiti. Definizione di parte intera. Unicita' del limite, con dimostrazione.

03.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Insiemi numerici: sup, inf, max, min, punti di frontiera, accumulazione, interni, isolati; operatori e funzioni elementari: grafici e caratteristiche (exp, log, sen, cos), relazioni e proprietà fondamentali, calcoli, espressioni ed uguaglianze in R utilizzando le proprietà dei logaritmi. Esercizi tratti anche dai temi d'esame

04.10.05, 2 ore, Lezione
Commenti sulla definizione di limite. Una successione convergente di termini non negativi/positivi ha limite non negativo/positivo, con dimostrazione. Se una successione ha limite strettamente positivo/negativo, allora la successione e' definitivamente positiva/negativa, con dimostrazione. Se una successione ha limite piu'/meno infinito, allora la successione e' definitivamente positiva/negativa, con dimostrazione. Successioni strettamente/debolmente crescenti/decrescenti/monotone: definizione ed esempi. Una successione debolmente monotona converge a sup/inf, con dimostrazione. Inroduzione alle forme di indeterminazione: limite della somma e somma dei limiti, con dimostrazione. Esempi vari. Limite del prodotto scalare per successione convergente, con dimostrazione.

07.10.05, 2 ore, Lezione
Limite della somma e sommadei limiti: forme di indeterminazione. Limite del prodotto e prodotto dei limiti: forme determinate con dimostrazioni, forme indeterminate con esempi. Limite della successione degli inversi e inverso del limite: forme determinate con dimostrazioni, forme indeterminate con esempi. Lmite del rapporto e rapporto dei limiti, per esercizio. Teoremi di confronto, con dimostrazione. Teorema dei carabinieri, con dimostrazione. Esempi di limiti di successioni. Ordine di infinito: tabella ed esempi.

10.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Funzioni elementari e grafici relativi ( parte intera, segno, retta, parabola, quadrighe, cubiche, irrazionali, trigonometriche, iperboliche), successioni, esercizi di definizione delle caratteristiche. Esercizi tratti anche dai temi d'esame.

11.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Successioni elementari, studio della loro natura e caratteristiche (da successione e sottosuccessione, inf, sup, max, min) limitatezza, regolarità, alternanza, oscillanti deduzione dei grafici da quelli fondamentali mediante operazioni di trasformazioni Esercizi tratti anche dai temi d'esame

14.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Successioni, calcolo dei limiti tabelle di rappresentazione, forme di confronto, forme indeterminate, esercizi applicativi risoluzione delle forme di indeterminazione Esercizi tratti anche dai temi d'esame.

17.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Calcolo dei limiti per successioni, confronto, teorema dei carabinieri, limiti notevoli legati a esponenziale e sen confronto tra successioni esempi di non esistenza del limite Esercizi tratti anche dai temi d'esame.

18.10.05, 2 ore, Lezione
Esercizi sui limiti. Condizione di Cauchy: definizione, esempi. Se una successione converge allora e' di Cauchy, con dimostrazione. Una successione di Cauchy in R e' convergente, senza dimostrazione. Esempi di utilizzo del confronto tra infiniti. Funzioni reali di variabile: definizione di grafico, esempi. Richiami su funzioni iniettive, suriettive e biettive. Operazioni sulle funzioni: definizioni e proprieta'. Definizione di maggiorante/minorante, sup/inf, max/min di una funzione. Introduzione alla definizione di limite.

21.10.05, 2 ore, Lezione
Definizioni di limite: costruzione delle definizioni. Esempi di limiti che non ha senso considerare, esempi di limiti che non esistono. Unicita' del limite, con dimostrazione nei vari casi. Teorema della permanenza del segno per i limiti, con dimostrazione. Equivalenza tra calcolo di limiti di funzioni e calcolo di limiti di successioni, con dimostrazione. Limite del prodotto per scalare, della somma, del prodotto di funzioni aventi limite finito (forme determinate), con dimostrazione.

24.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Calcolo dei limiti per successioni mediante confronto di infiniti, artifici di calcolo, applicazione dei limiti notevoli nelle sue varie forme Esercizi tratti anche dai temi d'esame Esercizi tratti dai temi d'esame sulla limitatezza per successioni, sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstass, successioni definite ricorsivamente, teorema di Cauchy limitatezza e monotonia per la determinazione dell'esistenza e del calcolo del limite per la successione.

25.10.05, 2 ore, Lezione
Limiti per x che tende a x0- e x0+: definizioni, esempi e proprietà. Teorema dei carabinieri per funzioni, nei vari casi, con dimostrazione. Limiti notevoli e confronto tra infiniti. Vari esempi di calcolo di limiti. Introduzione alla definizione di continuità: motivazione, una definizione "sbagliata", la definizione "giusta".

28.10.05, 2 ore, Lezione
Legame continuità, - limiti, con dimostrazione. Continuità del prodotto per scalare, della sommma, del prodotto e della composizione di funzioni continue, con diverse dimostrazioni. Continuità di x -> 1/x, dimostrazione per esercizio. Continuità di 1 diviso una funzione continua, con diverse dimostrazioni. Elenco di funzioni elementari e loro continuità. Condizione necessaria e sufficiente per la continuità, attraverso le successioni, con dimostrazione.

31.10.05, 2 ore, Esercitazioni
Domini per funzioni rappresentazione del dominio in notazione topologica e sul piano cartesiano esercizi su funzioni pari e dispari esercizi su funzioni iniettive, suriettive, biiettive Esercizi tratti anche dai temi d'esame Grafici di alcune funzione ricavate dai grafici fondamentali mediante trasformazione, e caratteristiche relative alle funzioni stesse.

04.11.05, 2 ore, Esercitazioni
Esercizi sulla definizione di limite calcolo dei limiti di funzioni a valore finito e infinito soluzione delle forme di indeterminazione mediante scomposizione e raccoglimento, ed altre tecniche limite notevole sen x / x e forme derivate, esercizi applicativi ad esso Esercizi tratti anche dai temi d'esame.

07.11.05, 2 ore, Esercitazioni
Limite notevole exp x, e forme derivete forme di indeterminazione in potenza e procedure risolutive, esercizi in applicazione ad esso Esercizi tratti anche dai temi d'esame.

08.11.05, 2 ore, Lezione
Teorema della permanenza del segno per funzioni continue, con dimostrazione. Necessità delle ipotesi. Teorema degli zeri intermedi, con due dimostrazioni (metodo di bisezione). Teorema dei valori intermedi, dimostrazione per esercizio. Teorema di Wierstraß, senza dimostrazione, esempi di necessità delle ipotesi. Continuit&@224; della funzione inversa, senza dimostrazione, ruolo dell'insieme di definizione. Esempi di funzioni continue.

11.11.05, 2 ore, Lezione
Definizione di derivabilità e differenziabilità: varie motivazioni. Definizione di derivata, unicità della derivata, con dimostrazione. Definizione di "o piccolo": esempi ed algebra degli "o piccoli". Esempi di funzioni derivabili. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto e della composizione di funzioni derivabili, con dimostrazioni. Derivata del prodotto scalare per funzione derivabile, dimostrazione per esercizio. Tabella delle derivate delle funzioni elementari, senza dimostrazione. Utilizzo delle derivate nel calcolo dei limiti.

14.11.05, 2 ore, Esercitazioni
Continuità in un punto, in un intervallo. Non continuità. Teoremi sulle funzioni continue: esercizi anche tratti dai temi d'esame. Calcolo di derivate per funzioni elementari e composizioni di funzioni.

15.11.05, 2 ore, Lezione
Riepilogo sulla definizione di derivata. La derivabilità implica la continuità, con dimostrazione e controesempio al viceversa. Derivata della funzione reciproca e della funzione inversa, con dimostrazione "sbagliata". Motivazione geometrica delle ipotesi. Dalla monotonia al segno della derivata, con dimostrazione ed esempi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange, con dimostrazione. Ogni ipotesi è indispensabile: esempi. Dal segno della derivata alla monotonia, con dimostrazione.

17/11/05, 2 ore, Esercitazione
Derivazione: formule per il calcolo delle derivate per funzioni e le loro inverse. Esercizi relativi alle derivate, calcolo della tangente ad una funzione in un punto; legame tra funzione e derivata, tra continuità e derivabilità. Uso delle funzioni e sue derivate in equazioni Esercizi tratti anche dai temi d'esame

21/11/05, 2 ore, Esercitazione
Asintoti: verticale orizzontale obliqui; studio degli asintoti per funzioni, relazioni tra funzione e asintoti. Punti particolari: cuspidi e angolosi Esercizi tratti anche dai temi d'esame

22.11.05, 2 ore, Lezione
Dalla monotonia al segno della derivata, con dimostrazione. Condizioni sufficienti per un massimo/minimo locale forte/debole, con dimostraizone. Derivate di ordine successivo al primo: definizione. Sviluppo di Taylor di ordine n, senza dimostrazione: esempi, esercizi, significato. Uso dello sviluppo di Taylor nel calcolo dei limiti.

25.11.05, 2 ore, Esercitazione
Non è stato possibile fare esercitazione a causa di uno sciopero.

28/11/05, 2 ore, Esercitazione
Applicazione della derivate per studi di funzioni, relazioni tra le funzioni e le derivate, punti di massimo e di minimo, flessi; studio completo per le funzioni. Esercizi tratti anche dai temi d'esame

29.11.05, 2 ore, Lezione
Esercizio sul calcolo di limiti con l'uso di "o piccoli". Conseguenze dello sviluppo al secondo ordine: una condizione sufficiente per avere punti di minimo/massimo. Definizione di convessità e una condizione sufficiente per la convessità. Risposte a domande degli studenti.

02/12/05, 2 ore, Esercitazione
Sviluppi di Taylor per funzioni; algebra degli o piccolo; calcolo di limiti per funzioni anche con gli sviluppi di Taylor Esercizi tratti anche dai temi d'esame