ANALISI MATEMATICA 2 - EDILE ARCHITETTURA

Programma Dettagliato:

• 26.09.05, 2 ore, Lezione
  Introduzione al corso. Spazi metrici: definizione ed esempi. Definizione di sfera aperta. Definizione di punto interno, esterno, isolato, di accumulazione. Esempi. Definizione di parte interna, frontiera, chiusura. Definizione di insieme aperto, chiuso. Esempi. Definizione di diametro, di insieme limitato, esempi. Definizione di metriche equivalenti, esempi. Inclusioni tra insieme, parte interna e chiusura.

• 28.09.05, 2 ore, Lezione
  Spazio normato: definizione ed esempi. Distanza in uno spazio normato, con dimostrazione. Successioni in uno spazio metrico: definizione, limitatezza. Definizione di limite di una successione: esempi e commenti. Unicita' del limite di una successione, con dimostarzione. Successioni in R^n e successioni in R, senza dimostrazione. Condizione di Cauchy: definizione ed esempi. Ogni successione convergente e' di Cauchy, con dimostrazione. Esempi di successioni di Cauchy non convergenti.

• 30.09.05, 2 ore, Lezione
  Insiemi separati, sconnessi, connessi: definizione ed esempi. Insiemi compatti. Compatto implica chiuso e limitato, con dimostrazione. Introduzione allo studio di funzioni. Limiti di funzioni: definizione ed esempi. Unicita' del limite, con dimostrazione.

• 30.09.05, 2 ore, Lezione
  Limiti di funzioni e limiti di successioni, senza dimostrazione. Continuita' di una funzione: definizione "sbagliata" e "corretta". Condizioni necessarie e sufficienti per la continuita' (con il limite e con le successioni), con dimostrazione. Immagine di un compatto attraverso una funzione continua, con dimostrazione. Uniforme continuita': definizione ed esempi.

• 03.10.05, 2 ore, Esercitazioni
  Spazi metrici: metrica discreta, alcuni esempi di metriche in R^2, la metrica della convergenza uniforme e la metrica L1. Intorno di un punto in alcune metriche di R^2, nella metrica della convergenza uniforme.

• 05.10.05, 2 ore, Lezione
  L'immagine di un connesso tramite una funzione continua e' un connesso, con dimostrazione. Definizione di curva. Definizione di funzione Lipschitziana; il caso R -> R, esempi. Una funzione Lipschitziana e' uniformemente continua, con dimostrazione; controesempio al viceversa. Richiami sulle matrici e sul loro prodotto. Norma di una matrice. Un'applicazione lineare R^n -> R^m e' Lipschiotziana. Definizione di contrazione, esempi. Il teorema delle contrazioni, con dimostrazione

• 07.10.05, 2 ore, Lezione
  Il teorema dlle contrazioni: osservazioni, esempi che mostrano la necessita' delle ipotesi. Il teorema delle contrazioni con dipendenza da parametri, con dimostrazione. Funzioni definite su uno spazio metrico a valori in R: esempi. Teoremi del confronto per il calcolo dei limiti. Il teorema di Weierstraß con dimostrazione. Il teorema dei valori intermedi, con dimostrazione senza il metodo di bisezione. Esempi di calcolo di limiti per funzioni R^2 -> R.

• 07.10.05, 2 ore, Esercitazioni
  Intorno di un punto in alcune metriche di R^2, nella metrica della convergenza uniforme. Esercizi su chiusura, parte interna, frontiera, insieme dei punti di accumulazione di un insieme. Diametro di un insieme.

• 13.10.05, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi su funzioni Lipschitziane, contrazioni e determinazione di punti fissi. Complementi di teoria sulle equazioni differenziali ordinarie lineari: alcuni richiami sulle equazioni lineari del primo ordine.

• 14.10.05, 2 ore, Lezione
  Introduzione al calcolo differenziale. Derivabilita' parziale: definizione, esempi. La derivabilita' parziale non implica la continuita', con dimostrazione. Derivabilita' direzionale: definizione, esempi. La derivabilita' direzionale non implica la copntinuita', con dimostrazione. Definizione di o piccolo. Differenziabilita': definizione e sue motivazioni, casi particolari, legame con la derivabilita' di Analisi 1. La derivata totale di una funzione costante e di una funzione lineare, con dimostrazione. Unicita' della derivata totale, con dimostrazione

• 14.10.05, 2 ore, Esercitazione
  Spazi metrici completi e non, esempi vari anche in dimensione infinita. Il teorema delle contrazioni: applicazioni, esempi e controesempi. Esempi di funzioni con infiniti punti fissi.

• 17.10.05, 2 ore, Esercitazione
  Ricerca del dominio per funzioni di più variabili. Verifica di limiti per funzioni di più variabili, calcolo di limiti ed esempi vari.

• 19.10.05, 2 ore, Lezione
  Commenti sulla definizione di differenziabilita'. La differenziabilita' implica la continuita', la derivabilita' parziale e la derivabilita' in ogni direzione, con dimostrazione. Come calcolare la derivta totale. Esempi. Una condizione sufficiente per la differenziabilita', con dimostraizone. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto scalare, del prodotto per scalare, della composizione, con dimostrazione.

• 21.10.05, 2 ore, Lezione
  Derivata del prodotto per scalare, con dimostrazione. Definizione di segmento, di convesso. Formula degli accrescimenti finiti: esempio in cui non vale, dimostrazione nei casi in cui vale. Derivate seconde: quante potrebbero essere. Teorema di Schwarz, con dimostrzione.

• 21.10.05, 2 ore, Esercitazione
  Calcolo di limiti mediante il passaggio in coordinate polari e studio della continuità per funzioni di più variabili.

• 24.10.04, 2 ore, Lezione
  Cenni sullo sviluppo di Taylor al secondo ordine di funzioni di più variabili. Funzioni implicite: definizioni, esempi: esistenza ed unicità, non esistenza, esistenza e non unicità. Il teorema della funzioni implicta: il caso lineare, con dimostrazione. Cenni sul metodo di Newton per la ricerca di zeri di una funzione scalare di una variabile reale. Il teorema della funzione implicita, con dimostrazione.

• 28.10.05, 2 ore, Lezione
  Il teorema della funzione implicita: riepilogo, unicità, il caso n=m=1, significato geometrico, intercambiabilità delle coordinate. Derivata della funzione implicita: regola di calcolo (dimostrazione incompleta). Esempio: sviluppo di Taylor della funzione definita dall'equazione di Keplero. Ruolo del teorema della funzione implicita nella definizione e nella determinazione dei gradi di libertà di un sistema.

• 28.10.05, 2 ore, Esercitaizone
  Calcolo di derivate direzionali e parziali, relazione e non fra la derivabilità e la continuità per funzioni di una sola variabile e per funzioni di più variabili.

• 04.11.05, 2 ore, Esercitazione
  Differenziabilità per funzioni di più variabili e suo significato geometrico. Relazione e non fra la differenziabilità, la derivabilità e la continuità per funzioni di più variabili. Esercizi vari anche tratti da temi esame.

• 07.11.05, 2 ore, Esercitazione
  Il teorema del differenziale totale: applicazioni ed esempi. Derivate di ordine superiore al primo per funzioni di più variabili. Il lemma di Schwarz con controesempio. Esercizi vari anche tratti da temi esame.

• 09.11.05, 2 ore, Lezione
  Teorema della funzione inversa, con dimostrazione. Introduzione alla ricerca di massimi e minimi liberi, problemi di ottimizzazione. Teorema di Fermat, con dimostrazione. richiami sulle forme quadratiche e sulla loro diagonalizzazione.

• 11.11.05, 2 ore, Lezione
  Riepilogo sulle condizioni necessarie per l'ottimalità. Condizione sufficiente al secondo ordine per l'ottimalità, con dimostrazione. Esempi. Come capire se una matrice definisce una forma quadratica definita/semidefinita positiva/negativa: il caso diagonale, esempi, il criterio di Sylvester, senza dimostrazione. Il significato geometrico del gradiente: esempi. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione geometrica ("intuitiva").

• 11.11.05, 2 ore, Esercitazioni
  Esercizi vari sul calcolo differenziale tratti da temi esame.

• 14.11.05, 2 ore, Esercitazioni
  Il teorema della funzione implicita o del Dini (condizione suff. ma non necessaria; controesempio); esempi ed applicazioni di tale teorema; esercizi vari anche tratti da temi esame e risolti mediante l'ausilio del teorema del Dini

• 16.11.05, 2 ore, Lezione
  Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, dimostrazione analitica. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, dimostrazione analitica. Integrali multipli: regole di calcolo. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: significato, esempi, definizioni. Riduzione di un'equazione differenziale ordinaria generica ad un'equazione in forma normale del primo ordine, esempi. Definizione di problema di Cauchy e di soluzione, ruolo degli intervalli. Esempi.

• 18.11.05, 2 ore, Lezione
  Equivalenza problema di Cauchy - equazione integrale. Il teorema di Peano, senza dimostrazione. Un problema di Cauchy con infinite soluzioni. Il teorema di Cauchy, con dimostrazione.

• 18.11.05, 2 ore, Esercitazioni
  Esercizi sul teorema della funzione implicita. Il teorema di Dini per i sistemi.

• 21.11.05, 2 ore, Esercitazioni
  Uniforme continuita' e lipschitzianita': implicazione fra esse e teoremi vari. Esercizi, anche tratti da temi esame, sull'uniforme continuita' e lipschitzianita', anche per funzioni a valori vettoriali.

• 23.11.05, 2 ore, Lezione
  Un problema di Cauchy senza soluzione: esempio. Dipendenza continua nei problemi di Cauchy: il lemma di Gronwall, con dimostrazione; il teorema di Cauchy locale con dipendenza continua, con dimostrazione. L'equazione del calore di Newton: studio qualitativo rigoroso.

• 25.11.05, 2 ore, Lezione
  Non è stato possibile fare lezione a causa di uno sciopero.

• 25.11.05, 2 ore, Esercitazione
  Non è stato possibile fare esercitazione a causa di uno sciopero.

• 30.11.02, 2 ore, Lezione
  Un problema di Cauchy regolare con soluzione solo locale. Definizione di funzione sublineare. Il teorema di Cauchy globale, con dimostrazione. La dipendenza continua delle soluzioni necessita di intervalli di tempo limitati, esempi var. Una funzione C1 soddisfa alle ipotesi del teorema di Cauchy locale, con cenno di dimostrazione. L'esame al Carbonio 14. Introduzione allo studio delle successioni di funzioni: ruolo degli spazi metrici, esempi, definizione di convergenza puntuale.

• 02.12.05, 2 ore, Lezione
  Convergenza puntuale: definizione. Proprietà conservate dalla convergenza puntuale: segno e monotonia debole con dimostrazione ed esempi. La continuità non viene conservata: esempio. Conveergenza uniforme. definizione. Legame convergenza uniforme e convergenza puntuale, con dimostrazione. Convergenza uniforme e convergenza nello spazio metrico C⁰. Proprietà conservate dalla convergenza uniforme: segno, monotonia debole e continuità, con dimostrazione ed esempi. L'integrazione definita come funzione: linearità e Lipschitzianità, con dimostrazione. La derivazione come funzione: linearità e non continuità, con dimostrazione.

• 02.12.05, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi su massimi e minimi, anche tratti da temi d'esame, in domini compatti e non.

• 05.12.05, 2 ore, Esercitazione
  Esercizi su massimi e minimi anche vincolati utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e le curve di livello e parametrizzando il bordo.

• 07.12.05, 2 ore, Lezione
  Convergenza uniforme e derivazione, un teorema con dimostrazione. Serie di funzioni: definizione e legame successioni - serie, definizioni di convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme con dimostrazione; altri risultati sulle serie di funzioni per esercizio. Cenni alla convergenza quadratica. Serie di potenze: preliminari, definizione, insieme di convergenza (con dimostrazione), raggio di convergenz (definizione). Esempi di serie di potenze, perchè le serie di potenze si studiano in C.

• 09.12.05, 2 ore, Lezione
  Raggio di una serie di potenze e della serie derivata, senza dimostrazione. Definizione di funzione analitica. Principali proprietà delle funzioni analitiche, con dimosrazione. Esempio di na funzione C^(infinito) non analitica, con dimostrazione. Polinomio e serie di Taylor, metodi di calcolo. Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di polinomio e di serie di Fourier. Esempio: la mantissa. Una tabella di integrali di funzioni trigonometriche, senza dimostraione. La formula per i coefficienti di Fourier, con dimostrazione.

• 9.12.05, 3 ore, Esercitazioni
  Esercizi sugli integrali doppi, anche tratti da temi d'esame, risolti anche mediante cambiamento di coordinate.

• 12.12.05, 2 ore, Esercitazioni
  uccessioni di funzioni, convergenza puntuale ed uniforme, teoremi vari (fra cui passaggio al limite sotto il segno di integrale); esercizi vari, tratti anche da temi d'esame

• 14.12.05, 2 ore, Lezione
  Serie di Fourier: esempio e analogia con le serie di potenze. Cenno alla teoria L². Condizione necessaria per la convergenza uniforme, con dimostrazione. Condizioni sufficienti per l'esistenza dei coefficienti di Fourier, per la convergenza puntuale della serie di Fourier (e relativo limite) e per la convergenza uniforme, senza dimostrazione. Esempi.

• 16.12.05, 2 ore, Lezione
  Richiami sulle curve: definizione e sue motivazioni, vettore tangente, area di una regione racchiusa da una curca chiusa (senza dimostrazione), Teorema di Jordan (cenno). Introduzione al calcolo delle variazioni: il problema della geodetica, il problema isoperimetrico, il problema di cavi sospesi. Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione. Equazione di Eulero - Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione.

• 16.12.05, 2 ore, Lezione
  Ripetizione: Equazione di Eulero - Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica, trattazione completa. Il problema della brachistocrona, deduzione dell'equazione differenziale.

• Venerdi' 16, 3 ore, Esercitazioni
  Successioni e serie di funzioni, convergenza puntuale, uniforme, esempi ed esercizi (anche tratti da temi d'esame); teoremi fondamentali sulla convergenza uniforme, teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale; teorema di derivazione di una serie; esempi, controesempi ed applicazioni varie. Relazioni fra convergenza totale, uniforme, assoluta e puntuale di una serie di funzioni.

• Lunedi' 19, 2 ore, Esercitaizoni
  Serie di Fourier e serie di potenze; esercizi vari, anche tratti da temi d'esame

• Venerdi' 23, 4 ore, Esercitaizoni
  Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari; problema di Cauchy, teorema di esistenza locale e globale di Cauchy; esempi di problemi malposti; esercizi vari sulla risoluzione di problemi di Cauchy, anche tratti da temi d'esame; equivalenza fra un problema di Cauchy e l'equazione integrale di Volterra: esempi ed esercizi

• 09.01.2006, 2 ore, Lezione
  Riepilogo sul caolcolo delle variazioni. cometrattare problemi con vincolo integrale. Il problema isoperimetrico.

• 10.01.06, 2 ore, Lezione
  Il problema isoperimetrico: trattazione completa. La catenaria: impostazione e soluzione. Equazioni differenziali lineari: introduzione ed esempi. Esistenza, unicità e dipendenza continua globale, con dimostrazione. Operatore lineare che definisce l'equazione e suo nucleo e relativa dimensione. Definizioni di sistema fondamentale di soluzioni e di soluzione particolare. Il caso delle equazioni a coefficienti costanti.

• 13.01.06, 2 ore, Lezione
  Equazioni differenziali lineari: equazione caratteristica, come determinare la soluzione fondamentale, il caso di soluzioni multiple. Esempi: oscillatore armonico, il circuito LRC, l'ammortizzatore.

• 13.01.06, 2 ore, Lezione
  Risposte a domande degli studenti.