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Programma Lezioni:

27.09, 2 ore
Presentazione del corso.
Definizione di spazio metrico, esempi.
Definizione disfera; punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione; parte interna, chiusura; diametro, insieme limitato. Esempi.
Definizione di spazio normato. Esempi. La norma definisce una distanza invariante per traslazioni ed omogemea, solo enunciato.

28.09, 2 ore
Definizione di metrica invariante per traslazione e di metrica omogenea. La norma definisce una distanza invariante per traslazioni ed omogemea, dimostrazione. Metriche che possono/non possono essere definite attraverso una norma.
Successione in uno spazio metrico: definizione di successione limitata. Definizione di limite, di condizione di Cauchy. Esempi.
Definizione di spazio metrico completo. Esempi.
Legami tra convergenza, condizione di Cauchy e limitatezza, con dimostrazione.
Legami tra successioni in R^n e successioni in R, solo enunciato.

04.10, 2 ore
Legami tra successioni in R^n e successioni in R, dimostrazione.
Definizione di insieme connesso, significato, esempi. Caratterizzazione degli aperti connessi in R^n, senza dimostrazione.
Definizione di insieme compatto: significato ed esempi. Ogni compatto e' chiuso e limitato, con dimostrazione. Viceversa in R^n, cenno di dimostrazione.
Rappresentazione di funzioni R^n -> R^m nei casi n=1,2 e m=1,2.
Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici.
Rapporto tra limiti di funzioni e limiti di successioni, con dimostrazione.

05.10, 2 ore
Unicità del limite di funzioni, con dimostrazione.
Una definizione "sbagliata" di continuità. Definizione di continuità in un punto ed in tutto il dominio. Relazione con la definizione di limite, equivalenza con un'altra definizione, con dimostrazione. Un punto di A o e' isolato per A o e' di accumulazione per A, con dimostrazione.
Teorema di Weierstrass, con dimostrazione.
Continuità e insiemi connessi, senza dimostrazione.
Uniforme continuità: definizione ed esempi. Legame con la continuità, con dimostrazione. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua con dimostrazione.
Definizione di funzione Lipschitziana. rilevanza del valore della costante di Lipschitz.
Una funzione Lipschitziana è uniformemente continua, con dimostrazione.

11.10, 2 ore
Definizione di contrazione, esempi.
Il teorema delle contrazioni: motivazione, dimostrazione. Il caso con dipendenza Lipschitz da un parametro, dimostrazione. Necessità delle ipotesi, esempi.
Una funzione lineare R^n -> R^m e' Lipschitziana, con dimostrazione. Norma di una matrice.
Introduzione al calcolo di limiti per funzioni di piu' variabili. Cosa fare se si pensa che il limite non esiste. Esempi.

12,10, 2 ore
Cosa fare se si penas che il limite esiste. Esempi.
Teoremi sulle funzioni continue a valori reali: teorema di Weierstrass, con dimostrazione; teorema dei valori intermedi, senza dimostrazione; teorema di esistenza degli zeri, con dimostrazione; teorma della permanenza del segno, con cenno di dimostrazione.
Definizione di derivata parziale, derivata direzionale. Esempi.
L'esistenza di tutte le derivate direzionali non implica la continuità, esempio.
Definizione di opiccolo per funzioni R^n -> R^m.
Definizione di differenziabilità.

18.10, 2 ore
Commenti sulla definizione di differenziabilità.
Unicità della derivata totale, con dimostrazione.
Legame derivata totale - continuità, con dimostrazione.
Legame derivata totale - parziale, con dimostrazione.
Legame derivata totale - direzionale, con dimostrazione.
Come calcolare la derivata totale. Esempi.
Cenni sullo sviluppo di Taylor.
Teorema del differenziale totale, con dimostrazione.
Regole di derivazione, con dimostrazione: derivta della somma, del prodotto per scalare, della composizione. Derivata del prodotto scalare, per esercizio.

19.10, 2 ore
Giustificazione del prodotto di matrici.
Definizione di segmento, di insieme convesso in R^n. Esempi.
Formula degli accrescimenti finiti, con dimostrazione ed esempio che può non valere l'uguaglianza.
Perchè non si fanno derivate in uno spazio metrico.
Definizione di C^1, C^2, ..., C^infinito. Se una funzione ha derivata nulla su un connesso aperto..., con dimostrazione.
Derivate seconde: definizione. Introduzione allo sviluppo di Taylor al secondo ordine.

25.10, 2 ore
Lemma di Schwarz, con dimostrazione.
Sviluppo di Taylor al secondo ordine, con dimostrazione. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: multicriterio e scalari.definizione di massimo/minimo locale libero.
Il teorema di Fermat sui punti stazionari, con dimostrazione.
Il significato geometrico del gradiente, con dimostrazione. Metodo del gradiente per determinare punti di massimo e di minimo.
Forme quadratiche: definizione, proprieta', definite/semidefinite positive/negative, non definite. Esempi. Criterio di Sylvester, senza dimostrazione.
Condizione necessaria al secondo ordine, con dimostrazione.

26.10, 2 ore
Forme quadratiche, definizioni ed esempi.
Definizione di funzione implicita, esempi.
Il teorema della funzione implicita, il caso lineare con dimostrazione.
Introduzione al caso non lineare.

02.11, 2 ore
Il teorema della funzione implicita, con dimostrazione.
Derivata della funzione implicita, regola di calcolo.
Il caso n=m=1. Ruolo di x e di y.
Il teorema della funzione inversa: il caso lineare, con dimostrazione.
Il teorema della funzione inversa: il caso generale, con dimostrazione.
Derivata della funzione inversa, regola di calcolo.

05.11, 2 ore
Funzioni implicite: equazione di Keplero.
Introduzione all'ottimizzazione vincolata. Definizione di curve di livello.
Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello: motivazione geometrica e dimostrazione.

08.11, 2 ore
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange: motivazone geomettrica e dimostrazione.
Curve: definizione: curve regolari, motivazione della definizione. Una curva C^1 con un angolo. Curve semplici; curve chiuse. Esempi. Lunghezza di una curva: definizione, motivazione, esempi.

09.11, 2 ore
Cenni sugli integrali doppi. Metodo di calcolo, cambiamento di coordinate. Il caso delle coordinate polari.
Equazioni differenziali ordinarie: introduzione, esempi.
Definizione, ordine, forma normale, soluzione.
Equivalenza tra un'equazione differenziale ordinaria ed un'equazione (sistema) del primo ordine.
Problema di Cauchy: motivazione, derfinizione, esempi.
Un problema di Cauchy senza soluzione, con dimostrazione.
L'equazione del Carbonio 14.

12.11, 4 ore
Il teorema di Cauchy: enunciato, con e senza dipendenza continua. Dimostrazione completa nei due casi.
Esempi di Problemi di Cauchy con parametro: dipendenza su intervalli limitati, esistenza ed unicita' solo localmente.
La legge del calore di Newton.

16.11, 3 ore
Il teorema di Cauchy: due enunciati per la buona posizione globale, senza dimostrazione.
Equazioni autonome: definizione, esempi. Invarianza per traslazione temporale, con dimostrazione. Il teorema dell'energia cinectica, calcolo.
Introduzione al calcolo delle variazioni. Motivazione, esempi: la geodetica, il problema isoperimetrico, la brachistocrona, cavi pendenti.
Derivata di una funzione definita attraverso un integrale, con dimostrazione quasi completa.
Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione.
Introduzione alle condizioni necessarie per l'ottimalita'.

22.11, 4 ore
L'equazione di Eulero - Lagrange per un funzionale integrale, con dimostrazione. Il problema della geodetica, risoluzione completa. Il problema della brachistocrona, cenno di risoluzione. Il caso dell'ottimizzazione di un funzionale con vincolo, con dimostrazione. Il problema isoperimetrico, risoluzione completa. Il problema dei fili sospesi, cenni.
Introduzione a successioni e serie di funzioni. definizione di convergeza puntuale. Esempi. La convergenza puntuale conserva la monotonia, con dimostrazione.
La convergenza puntuale conserva la positivita', con dimostrazione.
La convergenza puntuale non conserva la continuita', con dimostrazione.
Definizione di convergenza uniforme: esempi. Legame convergenza uniforme - convergenza puntuale, con dimostrazione.
La convergenza uniforme conserva la continuita', con dimostrazione. Esempi.
Convergenza uniforme come convergenza in uno spazio metrico.
Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme. Completezza, con dimostrazione.
L'integrale definito e' una funzione Lipschitziana, con dimostrazione. Integrale del limite e limite degli integrali, con dimostrazione. Esempio sulla necessita' delle ipotesi.

23.11, 3 ore
L'integrazione indefinita e' lineare e Lipschitziana, con dimostrazione.
La derivazione e' lineare e non continua, con dimostrazione.
Un insieme chiuso e limitato non compatto, con dimostrazione dettagliata.
Convergenza uniforme e derivazione, con dimostrazione.
Serie di funzioni: successione delle somme parziali, definizione, esempi. Estensione delle proposizioni sulla convergenza di successioni alla convergenza di serie, esempi.
Convergenza totale: definizione, esempi.
Distanza quadratica: definizione, dimostrazione della disuguaglianza traingolare omessa, legami con la distanza "del sup".
Serie di potenze: introduzione, definizione. Serie della funzione esponenziale e suo legame con le funzioni trigonometriche.
Raggio di convergenza: definizione e proposizioni che rendono questa definizione sensata, Convergenza total delle serie di potenze. Esempi.
Criterio del rapporto e della radice, senza dimostrazione.
Perche' le serie dipotenze si studiano in C: esempi.

 29.11, 4 ore
Ricapitolazione su successioni e serie di potenze.
Serie di Taylor. Il raggio della serie derivata coincide con quello della serie originaria, senza dimstrazione. Proprieta' delle funzioni analitiche: regolarita', serie primitiva e derivata, con dimostrazione.
Una funzione C^infinito non analitica, esempio.
Criterio di Weierstrass per l'analiticita' di una funzione, senza dimostrazione.
Esempi di sviluppi di Taylor, metodi di calcolo.
Serie di Fourier: definizione di funzione periodica, di periodo. Come passare da una funzione di periodo T ad una di periodo pi greco, con dimostrazione. Estensione di una funzione per periodicita', con dimostrazione. Esempio: funzione mantissa e parte intera.
Formula per il calcolo dei coefficienti di Fourier: due diverse deduzioni, con dimostrazione.
Una funzione senza coefficienti di fourier, due funzioni le cui serie di Fourier convergono ma non alla funzione di partenza.
Criteri per l'esistenza dei coefficienti di Fourier, per la convergenza puntuale e per la convergenza uniforme di una serie di Fourier.
Esempi sugli sviluppi di Fourier.

 30.11, 3 ore