Programma del Corso

1. Spazi vettoriali topologici, localmente convessi e seminormati. Principali definizioni e proprietà: limitatezza, compattezza, completezza, continuità. Esempi.
2. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali topologici. Il duale di uno spazio localmente convesso. Teoremi di Hahn-Banach. Esempi.
   
3. Topologia debole: definizione, limitatezza, convergenza di successioni. Esempi.
4. Riflessività: definizioni, criteri, condizioni necessarie e/o sufficienti.
5. Topologia debole*: definizioni, teorema di Banach - Alaoglu. Esempi.
6. Teoria delle distribuzioni: introduzione, derivata debole. Esempi.
   
7. Teoria della misura: introduzione.
8. Teorema di rappresentazione di Riesz, in dettaglio nel caso di una distribuzione monotona.
9. Teorema di Radon-Nikodym.

Complementi

1. Duale di Lp (Brezis, Teorema IV.11; Kantorovic Akilov, Teorema 2, p.264)
   
2. Lp con p in ]0,1[ (Wheeden Zygmund, 7 p.143)
   
3. Misure con segno e vettoriali (Diestel Uhl)
   
4. Teorema di Riesz
5. Duale di C0 (Folland, p.215)
   
6. Teorema di Kakutani (riflessivo sse B(0,1) w compatta) (Brezis: Teorema III.16)
   
7. Teorema di Milman (unif. convesso implica riflessivo) (Yosida: Teorema 2, Capitolo 5, Paragrafo 2)
   
8. Spazi di James (isomorfi al biduale ma non riflessivi) (James)
   
9. Teorema di Ascoli Arzela' (compattezza in C0) (Kolmogorov Fomin, Capitolo 2, Paragrafo 7, Teorema 4)
   
10. Teorema di Helly (compattezza in BV)
11. Teorema di Kolmogorov (compattezza in Lp)
12. Teorema di Dunford Pettis (compattezza debole in Lp) (Edwards)
    
13. Caratterizzazione dimensione finita con e.d.o. (in spazi non riflessivi) (Cellina)
    
14. Teorema di Lyapunov (Cesari, Capitolo 16, Paragrafo 1, rudin F.A., Teorema 5.5)
    

Testi

1. Brezis, H. Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Masson, Paris, 1983.
   
2. Cellina, A. On the nonexistence of solutions of differential equations in nonreflexive spaces.
   Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 1069--1072
3. Cesari, L. Optimization : theory and applications. Springer, 1983
4. Diestel, J.; Uhl, J. J., Jr. Vector measures. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1977
5. Edwards, R. E. Functional analysis. Theory and applications. Dover Publications, Inc., New York, 1995.
   
6. Folland, G.B. Real analysis. Modern techniques and their applications. Second edition. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
7. James, R.C. A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, (1951). 174--177.
8. Kantorovic, L.V.; Akilov, G.P.: Analisi funzionale. Editori Riuniti, 1977.
   
9. Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. Elements of the theory of functions and functional analysis. Graylock Press, Albany, N.Y. 1961.
10. Yosida, K. Functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
11. Lax, P. D. Functional analysis. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 2002.
12. Rudin, W. Functional analysis. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.
13. Rudin, W. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987.
14. Wheeden, R. L.; Zygmund, A. Measure and integral. An introduction to real analysis. Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, 1977.