• Presentazione del corso
• Definizione di spazio metrico, esempi.
• Definizioni preliminari: sfera aperta; punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione; insieme aperto, chiuso, parte interna, frontiera, chiusura; diametro, insieme limitato. Esempi.
• Spazio normato: definizione ed esempi. La norma definisce una distanza invariante per traslazione e omogenea, con dimostrazione.
  
• Successione in uno spazio metrico: definizione, definizione di limite, unicità del limite (con dimostrazione).
• Condizione di Cauchy: definizione, una successione di Cauchy è convergente (con dimostrazione), una successione di Cauchy è limitata (con dimostrazione). Definizione di spazio metrico completo. Esempi.
• R è completo, senza dimostrazione. ]0,1[ non è completo, con dimostrazione.
• Convergenza in R^2 ed in R, per esercizio.
  
• Connessione: definizione di insiemi separati, sconnessi, connessi. Esempi.
• Compatto: definizione. Compattezza in R^n, senza dimostrazione. Compatto implica chiuso e limitato, con dimostrazione.
  

• 07.10.03, 4 ore
• Un chiuso e limitato non compatto, in dettaglio.
• Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici.
• Limiti in R^2 e limiti in R. Rappresentazione di funzioni R^2 -> R e R -> R^2.
• Limite di una funzione lungo successioni, senza dimostrazione
• Unicità del limite, una dimostrazione eseguita ed una per esecizio.
• Definizione di continuità in un punto ed in un insieme. Rapporto con la definizione di limite.
• Un punto di A o è isolato per A o è di accumulazione per A, con dimostrazione.
• Continuità lungo successioni, senza dimostrazione.
• Una funzione continua manda compatti in compatti, con dimostrazione. Teorema di Weierstrass.
• Una funzione continua manda connessi in connessi, senza dimostrazione. Definizione di curva.
• Definizione di uniforme continuità. Esempi. Rapporto con la continuità.
• Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua, con dimostrazione.
• Definizione di funzione Lipschitziana. Esempi grafici. Rilevanza del valore della costante di Lipschitz. Definizione di distanze equivalenti.
• Rapporto Lipschotzianita' <-> uniforme continuità, con dimostrazione. Esempi di funzioni uniformemente continue non Lipschitziane.
• Ogni applicazione lineare R^n -> R^m è Lipschitziana, con dimostrazione.
• Definizione di una norma sulle matrici.

• 14.10.03, 4 ore
• Limiti per funzioni definite su sottoinsiemi di R^2: esempi e strategie di calcolo. Uso delle coordinate polari.
• Definizione di derivata parziale, derivata direzionale, funzione derivabile. Esempi.
• La derivabilità in ogni direzione non implica la continuità: esempio.
• Riformulazione della definizione di derivata per funzioni reali di variabile reale.
• Definizione di o piccolo per funzioni vettoriali di più variabili.
• Definizione di derivata totale.
• Unicità della derivata totale, con dimostrazione.
• La derivabilità totale implica la continuità, con dimostrazione.
• La derivabilità totale implica la derivabilità in ogni direzione, con dimostrazione.
• Metodo di calcolo per la derivata totale, con giustificazione.
• Derivata totale del prodotto scalare per funzione, con dimostrazione.
• Derivata totale della somma, con dimostrazione.
• Derivata totale della funzione composta, con dimostrazione.
• Giustificazione della definizione di prodotto di matrici.
• Definizione di segmento, Formula degli accrescimenti finiti, senza dimostrazione.

• 21.10.03, 4 ore
• Perche' non si fanno derivate in uno spazio metrico.
• Teorema del differenziale totale, con dimostrazione.
• Definizione di C^1.
  
• Se una funzione differenziabile ha derivata totale nulla su un connesso allora ..., dimostrazione nel caso di un convesso.
• Derivate seconde: definizioni. Lemma di Schwarz, con dimostrazione.
• Definizione di C^2, di matrice Hessiana.
  
• Sviluppo di Taylor al secondo ordine, senza dimostrazione.
• Introuzione al teorema della funzione implicita.
• Definizione di contrazione. Il Teorema delle contrazione, con dimostrazione. Il caso reale.
• Teorema delle contrazioni con parametro, senza dimostrazione.
  

• 28.10.03, 4 ore
• Il Teorema della Funzione Implicita: il caso lineare, con dimostrazione. L'equazione di Keplero.
• Dimostrazione nel caso generale (per sistemi). Il metodo di Newton per determinare gli zeri di una funzione reale di una variabile reale.
• Il Teorema della Funzione Implicita: regola di derivazione con dimostrazione "sbagliata".
  
• Il Teorema della Funzione Implicita: il caso n=2, m=1 e regola di derivazione.
  
• Il Teorema della funzione Inversa, dimostrazione per esercizio.
• Introduzione ai problemi di ottimizzazione: ottimizzazione multicriterio.
• Il significato geometrico del gradiente, con dimostrazione.
• Il gradiente è perpendicolare alle linee di livello, con giustificazione geometrica.
• Teorema di Fermat per funzioni di più variabili., con dimostrazione. Esempi.
• Metodo "del gradiente" per determinare punti di massimo/minimo locale.

• 04.11.03, 4 ore
• Esempio in cui c'e' un'unica funzione implicita differenziabile, ma il teorema delle funzioni implicite non si applica.
  
• Forme quadratiche: definizione, esempio, scrittura matriciale ed in componenti.
• Varie proprieta' delle forme quadratiche, con dimostrazione.
• Forme quadratiche definite/semidefinite positive/negative: definizione ed esempi.
• Sviluppo di Taylor al secondo ordine, dimostrazione per esercizio.
• Definizione di punto stazionario. 
• Derivta direzionale in un punto di massimo/minimo, con dimostrazione.
• Il Teorema di Fermat per funzionidi piu' variabili (condizione necessaria al primo ordine), con dimostrazione.
• Condizione necessaria al secondo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione.
• Perche' la condizione necessaria non e' sufficiente. Condizione sufficiente al secondo ordine per punti di massimo/minimo, con dimostrazione. Esempi vari.
• Curve e curve regolari in R^n: definizioni, giustificazione delle definizioni. Vettore tangente: definizione, significato fisico e geometrico.
• Il gradiente è perpendicolare alle linee di livello, con dimostrazione.
• Il problema dell'ottimizzazione vincolata.
• Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, caso n=2, con dimostrazione e giustificazione geometrica.
  

• 06.11.03, 4 ore
• Lunghezza di una curva: necessita' di una definizione, definizione. Regola di calcolo, con cenno di dimostrazione.
• Lunghezza di un segmento, calcolo secondo la definizione.
• Additivita' della lunghezza di una curva, senza dimostrazione.
• Indipendenza della lunghezza di una curva dalla parametrizzazione, senza dimostrazione.
• Definizioni di curva semplice e di curva chiusa.
  
• Integrali doppi: motodo di calcolo (formule di riduzione).
• Alcune proprieta' degli integrali doppi, senza dimostrazione.
• Formula per il cambiamentoi di variabile negli integrali doppi, senza dimostrazione.
• Integrali tripli: regola di calcolo.
• Calcolo del volume di una sfera.
• Introduzione alle equazioni (o sistemi) differenziali ordinarie in forma normale: significato di queste parole, esempi di equazioni differenziali non ordinarie.
• Nozione di problema "ben posto".
• Ordine di una equazione differenziale ordinaria.
  
• Equivalenza tra equazioni al primo ordine ed equazioni di ordine superiore, dimostrazione nel caso del secondo ordine.
• Problema di Cauchy, definizione.
  

• 11.11.03, 4 ore
• Equazioni differenziali ordinarie.
• Definizione di soluzione, regolarita' della soluzione. Esempi.
• Problema di Cauchy: esempi di problemi con infinite soluzioni e senza soluzioni.
• Il Teorema di Peano, senza dimostrazione.
• Equivalenza tra problema di Cauchy ed equazione integrale.
  
• Il Teorema di esistenza locale ed unicita' di Cauchy, enunciato senza e con la dipendenza continua dai parametri..
• Ruoli della dipendenza da t e da x.
• Dimostrazione del Teorema di esistenza locale ed unicita' di Cauchy.
  

• 25.11.03, 4 ore
• Il teorema delle contrazioni con dipendenza (Lipschitz) dal parametro, con dimostrazione.
• Il teorema di Cauchy con dipendenza continua (LIpschitz) dai parametri, con dimostrazione.
• Esempi sulla dipendenza continua su intervalli limitati e non.
• Interpretazione funzionale della dipendenza continua.
• Definizione di sublinearitaà.
  
• Esempio di roblema di Cauchy "molto" regolare con soluzione solo locale.
  
• Teorema di esistenza ed unicità globale, senza dimostrazione.
• Esempi di modelli basati su equazioni differenziali ordinarie e loro studio qualitativo: la legge del calore di Neewton, la logistica ed il decadimento radioattivo.
  

• 02.12.03, 4 ore
• Equazioni differenziali lineari: definizione, esempi, rapporto con il teorema di Cauchy.
• Equazioni differenziali lineari scalari del primo ordine: metodo di soluzione.
• Equazioni differenziali lineari scalari a coefficienti costanti: trasformazione in sistema lineare al primo ordine.
• Equazioni differenziali autonome: definizione. Invarianza per traslazione temporale.
• Equazioni autonome della meccanica classica: principio di conservazione dell'energia.
• Il problema del paracadutista.
• Riepilogo sulle equazioni differenziali ordinarie: definizioni, teoremi di Peano, di Cauchy, esempi, studio qualitativo di equazioni scalari del primo ordine.
• Introduzione al calcolo delle variazioni. 

• 09.12.03, 4 ore
• Derivate parziali di una funzione definita tramite un integrale, con dimostrazione.
• Esempi di problemi ai limiti (equazione differenziale ordinaria con dato iniziale e finale assegnati)
• Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, con dimostrazione.
• Equazione di Eulero - Lagrange di un funzionale integrale, con dimostrazione.
• Il problema della geodetica, con soluzione.
• Il problema della brachistocrona, con soluzione.
• Introduzione ai problemi del calcolo delle variazioni con vincoli, il problema isoperimetrico.

• 16.12.03, 4 ore
• Equazioni di Eulero per un funzionale integrale con vincolo, con cenno di dimostrazione.
• La proprietà di Heine Borel non vale in C^0.
  
• Riepilogo di alcuni argomenti e risposte agli studenti.
  

Programma esercitazioni:

•  02-10-03 (2 ore)

•  Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme e relazione fra le due (con esempi e controesempi). Relazioni fra continuità della successione di funzioni e la funzione limite. Esercizi vari.

• Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale: si tratta di una C.S., ma non necessaria. Esempi ed esercizi.

• 03-10-03 (2 ore)
  • Teorema riguardante la derivabilità di una successione di funzioni e la derivabilità della funzione limite con esempi.
  • Esercizi vari, tratti anche da temi esame.
• 9-10-03 (4 ore)
  • Serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale e relazioni fra le varie convergenze con esempi.
  • Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza.
  • Serie di Fourier: coefficienti di Fourier (casi particolari: funzioni pari e dispari).
• 16-10-03 (4 ore)
  • Sviluppo di una funzione in serie di Fourier; identità di Parseval; esercizi vari ed alcuni temi esame.
  • Esempi di spazi metrici: la metrica euclidea in R^n, esempi di metriche in R^2, la metrica della convergenza uniforme.
  • Esempi di palla aperta rispetto ad alcune metriche in R^2.
  • Esercizi riguardanti la parte interna, la chiusura, la frontiera, il diametro di un insieme, punti d'accumulazione e isolati.
  • Risoluzione di alcuni temi esame riguardanti gli spazi metrici e le successioni.
  • Calcolo di limiti ed esempi di limiti che non esistono. Coordinate polari per il calcolo di limiti. Studio della continuità di funzioni di piú variabili.
  • Un esercizio riguardante le derivate parziali.
• 23-10-03 (4 ore)
  • Esempi di spazi metrici completi e non; esercizi riguardanti il teorema delle contrazioni.
  • Calcolo di limiti. Esercizi vari riguardanti le derivate parziali, direzionali e le derivate di ordine superiore al primo.
  • Il concetto di differenziale: esercizi ed applicazioni. Relazioni fra la differenziabilità, derivabilità e continuità di una funzione di piú variabili e controesempi vari.
• 30-10-03 (4 ore)
  • Il teorema del differenziale totale: si tratta di una condizione sufficiente, ma non necessaria.
  • Il lemma di Schwarz: controesempio.
  • Esercizi riguardanti il differenziale di funzioni a valori vettoriali ed il differenziale di funzioni composte. Risoluzione di esercizi tratti anche da temi esame.
  • Il teorema del Dini: il teorema fornisce una condizione sufficiente, ma non necessaria; esercizi vari.
• 06-11-03 (4 ore)
  • Esercizi riguardanti il teorema della funzione implicita e il teorema di invertibilità locale. Esempio di una funzione localmente invertibile in ogni punto di R^2, ma non globalmemte invertibile.
  • Integrali doppi risolti mediante l'uso delle formule di riduzione, mediante opportuni cambiamenti di coordinate e servendosi di eventuali simmetrie del dominio e della funzione integranda.
• 18-11-03 (4 ore)
  • Esercizi riguardanti gli integrali doppi e tripli anche con l'uso delle coordinate cilindriche. Curve: semplici, chiuse, regolari e piane; esercizi riguardanti la lunghezza di una curva.
  • Esercizi riguardanti i massimi e i minimi per funzioni di piú variabili.
    

• 20-11-03 (4 ore)
  • Esercizi vari riguardanti i massimi ed i minimi per funzioni di piu' variabili regolari e non, definite in R^2 e in insiemi compatti.
  • Esercizi tratti anche dai temi esame; esercizi risolti con l'uso delle curve di livello.
    

• 27-11-03 (4 ore)
  • Massimi e minimi liberi: esercizi vari, anche tratti da temi esame. Massimi e minimi vincolati: esercizi vari svolti mediante la parametrizzazione del bordo, le curve di livello, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
  • Teoremi di esistenza e unicità locale e globale per il problema di Cauchy. Esempi di un problema di Cauchy che non ammette soluzione, di un problema di Cauchy che ne ammette infinite, di un problema di Cauchy che ne ammette una sola globalmente.

• 04-12-03 (4 ore)
  • Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e in cui il termine noto ha un'espressione particolare.
  • Esercizi vari riguardanti il problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo e secondo ordine, alcuni dei quali risolti mediante sostituzione. Un esercizio in cui compare l'equazione integrale di Volterra.