Programma Dettagliato:

(26.09.02, 4 ore) Presentazione del corso

Definizione di spazio metrico, esempi.

Definizioni preliminari: sfera aperta; punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione; insieme aperto, chiuso; diametro, insieme limitato. Esempi.

Successione in uno spazio metrico: definizione, definizione di limite, unicità del limite (con dimostrazione).

Condizione di Cauchy: definizione, una successione di Cauchy è convergente (con dimostrazione), una successione di Cauchy è limitata (con dimostrazione). Definizione di spazio metrico completo. Esempi.

Connessione: definizione di insiemi separati, sconnessi, connessi. Esempi.

(30.09.02, 4 ore) Caratterizzazione dei connessi in R, senza dimostrazione.

Definizione di compattezza.

Compatto implica chiuso e limitato, con dimostrazione. Viceversa in R^n, senza dimostrazione.

Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici.

Limiti in R^2 e limiti in R: differenze e principali strategie di calcolo. Esempi.

Limite di una funzione lungo successioni, senza dimostrazione

Unicità del limite, dimostrazione per esercizio.

Definizione di continuità in un punto ed in un insieme. Rapporto con la definizione di limite.

Un punto di A o è isolato per A o è di accumulazione per A, dimostrazione per esercizio.

Continuità lungo successioni, senza dimostrazione.

Una funzione continua manda compatti in compatti, con dimostrazione.

Una funzione continua manda connessi in connessi, senza dimostrazione.

Definizione di uniforme continuità. Esempi. Rapporto con la continuità.

Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua, con dimostrazione.

Definizione di funzione Lipschitziana. Esempi grafici. Rapporto con l'uniforme continuità, dimostrazione per esercizio. Esempi di funzioni uniformemente continue non Lipschitziane.

Definizione di norma. Uno spazio normato è ache uno spazio metrico, dimostrazione per esercizio.

Una norma sulle matrici, senza dimostrazione.

Ogni applicazione lineare R^n -> R^m è Lipschitziana, con dimostrazione.

Rappresentazione di funzioni R^2 -> R e R^3 -> R. Esempi.

Derivata direzionale:definizione e metodo di calcolo.

(03-10-02, 4 ore, esercitazioni) Esempi di spazi metrici: la metrica discreta, la metrica euclidea in R^n, esempi di metriche in R^2, la metrica della convergenza uniforme, ...

Esempi di palla aperta e chiusa rispetto ad alcune metriche in R e in R^2.

Spazi metrici completi: esempi ed esercizi vari.

Esercizi riguardanti la parte interna, la chiusura, la frontiera, il diametro di un insieme, punti d'accumulazione e isolati.

Risoluzione di alcuni temi di esami riguardanti gli spazi metrici e le successioni.

Verifica di un limite per una funzione di due variabili.

Calcolo di alcuni semplici limiti.

(07.10.02, 4 ore) Richiami sulla definizione di derivata parziale e direzionale. Esempi e casi particolari.

Legame tra limiti per una funzione vettoriale e limiti per le sue componenti, con dimostrazione.

La derivabilità in ogni direzione non implica la continuità, esempio.

Riformulazione della definizione di derivata per funzioni reali di variabile reale.

Definizione di o piccolo per funzioni vettoriali di più variabili.

Definizione di derivata totale.

Unicità della derivata totale, con dimostrazione.

La derivabilità totale implica la continuità, con dimostrazione.

La derivabilità totale implica la derivabilità in ogni direzione, con dimostrazione.

Condizione sufficiente per la derivabilità totale, con dimostrazione.

Metodo di calcolo per la derivata totale, con giustificazione.

Derivata totale della somma, con dimostrazione.

Derivata totale del prodotto scalare per funzione, dimostrazione per esercizio.

Derivata totale del prodotto scalare, dimostrazione per esercizio.

Derivata totale della funzione composta, con dimostrazione.

Giustificazione della definizione di prodotto di matrici.

Definizione di segmento, Formula degli accrescimenti finiti, senza dimostrazione.

(10-10-02, 4 ore, esercitazioni) Calcolo di limiti ed esempi di limiti che non esistono. Coordinate polari per il calcolo di limiti. Studio della continuità di funzioni di piú variabili.

Esercizi vari riguardanti le derivate parziali e direzionali e le derivate di ordine superiore al primo.

Il concetto di differenziale: esercizi ed applicazioni. Relazioni fra la differenziabilità, derivabilità e continuità di una funzione di piú variabili e controesempi vari.

Il teorema del differenziale totale.

Un esercizio rigurardante la continuità, derivabiltà e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali.

(14.10.02, 2 ore) Derivate seconde per funzioni di più variabili.

Il Lemma di Schwarz, con dimostrazione.

Definizione di matrice Hessiana e sua simmetria, con dimostrazione.

Sviluppo di Taylor al secondo ordine, con dimostrazione per esercizio.

Definizione di massimo/minimo locale/assoluto per funzioni di più variabili.

Massimizzazione/minimizzazione rispetto a uno o più criteri.

Condizioni necessarie all'estremalità al primo ordine, con dimostrazioni.

Condizione necessaria all'estremalità al secondo ordine, con dimostrazione.

(14.10.02, 2 ore, esercitazioni) Esercizi riguardanti il differenziale di funzioni a valori vettoriali ed il differenziale di funzioni composte.

Risoluzione di esercizi tratti da temi esame.

Esercizi vari riguardanti il gradiente e le curve di livello di una funzione.

Esercizi riguardanti l'uniforme continuità e la lipschitzianità di funzioni.

(17.10.02, 2 ore) Condizioni necessarie per la determinazione di un punto di massim/minimo, esempi.

Forme quadratiche: definizione, primeproprietà ed esempi. Definizioni di forme definite/semidefinite positive/negative, non definite.

Diagonalizzazione di una forma quadratica e Teorema di Sylvester, senza dimostrazione. Esempi.

Condizioni sufficienti per la determinazione di un punto di massim/minimo, con dimostrazione.

Metodo "del gradiente" per determinare un punto di massimo7minimo locale, senza dimostrazione.

Distinzione tra punti di massimo/minimo liberi e vincolati. Metodi di ricerca.

Il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, senza dimostrazione.

Teorema di Lagrange nel caso di 2 variabili indipendenti, con giustificazione geometrica. Uso dei moltiplicatori di Lagrange.

(17.10.02, 2 ore, esercitazioni) esercizi sull'uniforme continuità.

Massimi e minimi di funzioni regolari definite su R^2, su un compatto (con il bordo).

Massimi e minimi di funzioni non regolari.

Massimi e minimi di funzioni a simmetria radiale

Esefcizi presi dai temi d'esame.

(21.10.02, 4 ore) Definizione di funzione implicita, esempi.

Teorema della funzione implicita, il caso lineare con dimostrazione.

Teorema della funzione implicita, il caso generale, senza dimoztrazione.

Regola di derivazione per la funzione implicita, con dimostrazione "sbagliata".

Dimostrazione analitica del teorema dei moltiplicatori di Lagrange, nel caso n=2.

Funzione inversa, definizione.

Teorema della funzione inversa, il caso lineare con dimostrazione.

Teorema della funzione inversa, il caso generale senza dimostrazione.

Esempio di funzione localmente invertibile ovunque ma non globalmente invertibile.

Integrali doppi (nessuna dimostrazione): metodi di calcolo, esempi, proprietà. Regola per il cambiamento di coordinate.

Cenni sugli integrali tripli.

Definizione di curva, curva semplice, curva chiusa.

Definizione di lunghezza di una curva, regola di calcolo (senza dimostrazione).

24-10-02 (2 ore, esercitazioni)

Massimi e minimi liberi: esercizi vari, anche tratti da temi esame.

Massimi e minimi vincolati. Esercizi vari svolti mediante la parametrizzazione del bordo, le curve di livello, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

(24.10.02, 2 ore) Successioni e serie di funzioni. Definizioni.

Convergenza puntuale per successioni e per serie: definizione, condizione necessaria e sufficiente (con dimostrazione), esempi. Limite puntuale di una somma, di un prodotto ..., con dimostrazione.

Il limite puntuale di funzioni monotone è monotono, con dimostrazione.

Condizione di Cauchy per la convergenza puntuale di successioni e di serie di funzioni. Legame con l'esistenza del limite puntuale, con dimostrazione.

Proprietà delle funzioni di una successione che vengono perse nel passaggio al limite puntuale, esempi

Definizione di convergenza uniforme e legame con la convergena nello spazio metrico C^0.

(28.10.02, 2 ore) Condizione necessaria alla convergenza puntuale di una serie, senza dimostrazione.

Convergenza uniforme: una condizione necessaria e sufficient, con dimostrazione. Confronto con la convergenza puntuale. entrambi per successioni e per serie di funzioni.

La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, con dimostrazione. Conroesempio all'implicazione inversa. Strategia tipo per lo studio della convergenza uniforme.

Condizione di Cauchy per la convergenza uniforme di successioni e di serie di funzioni.

C^0 e' completo, con dimostrazione. Il limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua, con dimostrazione. Esempio della necessità della convergenza uniforme.

L'integrazione definita è lineare e Lipschitziana, con dimostrazione. Il limite uniforme "passa" sotto il segni di integrale su intervalli limitati. controesempi nel caso della convergenza puntuale e nel caso della convergenza uniforme su insiemi non limitati.

(28-10-02, 2 ore, esercitazioni)

Il teorema delle funzioni implicite (il teorema fornisce una condizione sufficiente, ma non necessaria)

Esercizi vari ed alcuni temi esame.

(31-10-02, 4 ore, esercitazioni)

Il teorema dell'invertibilità locale e globale: esercizi ed esempi vari, tra cui l'esempio di una funzione localmente invertibile in ogni punto di R^2, ma non globalmemte invertibile.

Curve: semplici, chiuse, regolari e piane; esercizi riguardanti la lunghezza di una curva e il vettore tangente ad una curva.

Integrali doppi risolti mediante l'uso delle formule di riduzione, mediante opportuni cambiamenti di coordinate e servendosi di eventuali simmetrie del dominio e della funzione integranda. Esercizi vari, tra cui il calcolo dell'integrale di e^{x^2} su R, ed esercizi tratti da temi esame.

(04-11-02, 2 ore, esercitazioni)
Integrali tripli risolti mediante l'uso delle formule di riduzione, mediante il passaggio in coordinate cilindriche e sferiche.
Esercizi vari sugli integrali tripli (anche tratti da temi esame) tra cui il calcolo di volumi di solidi.

(04.11.02, 2 ore)

L'integrazione indefinita è lineare e Lipschitziana, per esercizio.

La derivazione è lineare ma non continua, con dimostrazione.

La convergenza uniforme delle derivate implica ..., con dimostrazione. La versione per le serie di funzioni per esercizio.

La convergenza uniforme di una successione di funzioni derivabili non implica la derivabilità del limite, con dimostrazione.

Definizione di convergenza quadratica.

Serie di potenze: definizione, esempi.

La convergenza di una serie di potenze in un punto implica ..., con dimostrazione.

La non convergenza di una serie di potenze in un punto implica ..., con dimostrazione.

Definizione di raggio di convergenza, con dimostrazione. Esempi. (Calcolo della somma di una serie geometrica, con dimostrazione).

Criterio della radice e criterio del rapporto, senza dimostrazione.

Esempi di possibili comportamenti sul bordo del cerchio di convergenza.

Perchè le serie di potenze si studiano in C.

(07.11.02, 4 ore, esercitazioni)

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme e relazione fra le due (con esempi e controesempi). Relazioni fra continuità della successione di funzioni e la funzione limite. Esercizi vari.

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale: si tratta di una C.S., ma non necessaria. Esempi ed esercizi.

Teorema riguardante la derivabilità di una successione di funzioni e la derivabilità della funzione limite con esempi.

Esercizi vari, tratti anche da temi esame.

(11.11.02, 2 ore)

Raggio di una serie di potenze e raggio della serie derivata, senza dimostrazione

Proprietà di una funzione reale definita attraverso una serie di poitenze, con dimostrazione.

Definizione di C^(infinito). Definizione di funzione analitica.

Rapporto tra l'insieme delle funzioni analitiche e C^(infinito): esempio di una funzione C^(infinito) NON analitica, con dimostrazione.

Tipo di approssimazione fornito da uno sviluppo di Taylor.

Critero di Weierstrass per l'analiticità di una funzione C^(infinito).

(11-11-02, 2 ore, esercitazioni)

Serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale e relazioni fra le varie convergenze con esempi.

Esercizi vari, alcuni dei quali svolti applicando i teoremi di derivazione e integrazione per serie.

Calcolo dell'integrale di (e^x/x) su un arbitario intervallo [a,b], a>0.

Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza e della somma di alcune serie.

(14.11.02, 4 ore)

Serie di Fourier: definizione di funzione periodica, esempi (mantissa).

Definizione di polinomio trigonometrico.

Determinazione della formula per i coefficienti di Fourier, in dettaglio.

Esempio di sviluppo in serie di Fourier, la serie non converge puntualmente alla funzione di partenza.

Teoremi di convergenza sulle serie di Fourier (senza dimostrazione): definizione di funzione continua a tratti. Se una funzione è continua a tratti, allora tutti i coeffieinti di Fourier esistono finiti, teorema di convergenza puntuale, teorema di convergenza uniforme.

Equazioni differenziali ordinarie: definizione, esempi di e.d.o. e non. Forma normale, ordine di un e.d.o.

Definizione di problema ben posto, di problema di Cauchy; esempi di problemi di Cauchy e non.

Riduzione di un problema di Cauchy di ordine n ad uno del primo ordine, con dimostrazione.

Introduzione allo studio qualitativo della logistica.

(18.11.02, 2 ore, esercitazione)

Serie di potenze: calcolo del raggio e della somma in alcuni casi particolari.

Serie di Fourier, coefficienti di fourier per funzioni pari o dispari.

Disuguaglianza di Bessel-Parseval.

Esercizi vari sulle serie di Fourier anche da temi d'esame.

(18.11.02, 2 ore)

Un problema di Cauchy senza soluzione.

Enunciato del Teorema di Peano.

Un problema di Cauchy con soluzione solo locale.

Un problema di Cauchy con infinite soluzioni.

Unicità della soluzione "a meno del dominio".

Enunciato del Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità della soluzione.

Dipendenza da parametri: esempi.

Enunciato del Teorema di Cauchy di esistenza, unicità e dipendenza continua della soluzione

(21.11.02, 2 ore)

Ulteriori precisazioni sul Teorema di Cauchy: dipendenza continua solo su intervalli limitati.

Esempi con dipendenza continua dal parametro.

visione "funzionale" della dipendenza continua. legame con la convergenza uniforme.

Come applicare il teorema locale.

Teorema di Cauchy globale, con Lipschitzianità globale e con la condizione di sublinearità.

Equazioni autonome: definizione. Invarianza per traslazione temporale, con dimostrazione.

Giustificazione rigorosa dello studio qualitativo della logistica: uso del Teorema di Cauchy.

(25.11.02, 2 ore, esercitazioni)
Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee e non omogenee, in cui il termine noto è particolare.
Esempi di un problema di Cauchy che non ammette soluzione, di un problema di Cauchy che ne ammette infinite, di un problema di Cauchy che ne ammette una sola globalmente.

(25.11.02, 2 ore, esercitazioni)
Equivalenza tra un problema di Cauchy ed un'equazione integrale, con dimostrazione.
Varie notazioni per le equazioni differenziali ordinarie.
Introduzione al calcolo delle variazioni: vari esempi di problemi tipici. Funzionali integrali, variazioni, esempi.
Lemma fondamentale del calcolo delle vaariazioni, con dimostrazione.
Equazione di Eulero per un funzionale integrale come condizione necessaria per l'ottimalitaà, con dimostrazione.
Il problema della geodetica, con soluzione.

(28.11.02, 2 ore) Definizione di contrazione. Il teorema delle contrazioni, con dimostrazione. Esempi nel caso di R.
Il teorema delle contrazioni con dipendenza Lipschitziana da un parametro, senza dimostrazione.
Esercizi sulla equazioni differenziali ordinarie: l'esame al C^14; la legge del calore di Newton.
Il problema della brachistocrona: deduzione del funzionale.

(28.11.02, 2 ore, esercitazioni) Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari: esercizi per calcolare direttamente la soluzione, uno studio qualitativo, un esercizio in cui la soluzione non puo' essere calcolata direttamente.
Un esercizio riguardante un'equazione differenziale del secondo ordine non lineare e risolubile mediante un'opportuna sostituzione.

(02.12.02, 2ore, esercitazioni) Equazioni differenziali del primo ordine: uno studio qualitativo, esercizi vari tratti da temi esame, anche riguradanti problemi di Cauchy in cui compare un parametro.

(02.12.02, 2 ore) Il Teorema di Cauchy: esistenza, unicità e dipendenza continua per equazioni differenziali ordinarie, con dimostrazione.
Introduzione al problema isoperimetrico.

(05.12.02, 2 ore) Il problema della brachistocrona: trattazione completa.
Stazionarietà di un funzionale integrale in presenza di vincoli integrali, con dimostrazione.
Il problema isoperimetrico, trattazione completa.

(05.12.02, 2 ore, esercitazioni)
Esercizi riguardanti le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee e a coefficienti continui. Un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine, equazioni differenziali del secondo ordine non lineari riconducibili ad equazioni differenziale del primo ordine, studi qualitativi di equazioni differenziali del primo ordine, esercizi tratti da temi esame.

(9-12-02, 4 ore, esercitazioni)
Esercizi riguardanti equazioni differenziali del primo e secondo ordine, anche non lineari, ma risolubile mediante semplici sostituzioni. Un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine, studi qualitativi di equazioni differenziali del primo ordine, esercizi tratti da temi esame.
Esercizi di ripasso riguardanti la ricerca di massimi e minimi anche per funzioni non differenziabili, un esercizio riguradante la lunghezza di una curva.

(12.12.02, esercitazioni, 2 ore)
Test eseguito dagli studenti.
Esercizi di ripasso riguardanti la ricerca di massimi e minimi e le equazioni differenziali ordinarie.

(12.12.02, 2 ore) Dimostrazione dettagliata del teorema della funzione implicita.
Esempio di e.d.o.: il paracadutista.

(16.12.02, esercitazioni, 4 ore)
Esercizi vari di ripasso tratti da temi esame

(19.12.02, esercitazioni, 4 ore)
Esercizi vari di ripasso tratti da temi esame.